文档文本内容
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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第Ⅰ卷1 至2
页，第Ⅱ卷3 至5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考
生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂
其他答案标号。
2．本卷共8 小题，每小题5 分，共40 分。
参考公式：
·如果事件
、
互斥，那么
．
·如果事件
、
相互独立，那么
．
·圆柱的体积公式
，其中
表示圆柱的底面面积，
表示圆柱的高．
·棱锥的体积公式
，其中
表示棱锥的底面面积，
表示棱锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合
，则
A．
B．
C．
D．
2．设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为
A．2
B．3
C．5
D．6
1
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3．设
，则“
”是“
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出
的值为
A．5
B．8
C．24
D．29
5．已知抛物线
的焦点为
，准线为，若与双曲线
的两条渐近线分别
交于点
和点
，且
（
为原点），则双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
6．已知
，
，
，则
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
是奇函数，将
的图象上所有点的横坐标
伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为
．若
的最小正周期为
，且
2
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，则
A．
B．
C．
D．
8．已知
，设函数
若关于
的不等式
在
上恒成立，则
的
取值范围为
A．
B．
C．
D．
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12 小题，共110 分。
二．填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．是虚数单位，则
的值为_____________．
10．
的展开式中的常数项为_____________．
11．已知四棱锥的底面是边长为
的正方形，侧棱长均为
．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧
棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
12．设
，直线
和圆
（
为参数）相切，则
的值为_____________．
3
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13．设
，则
的最小值为_____________．
14．在四边形
中，
，点
在线段
的延长线上，且
，则
_____________．
三．解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13 分）
在
中，内角
所对的边分别为
．已知
，
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值．
16．（本小题满分13 分）
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为
．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，
且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用
表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量
的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设
为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校的天
数恰好多2”，求事件
发生的概率．
17．（本小题满分13 分）
如图，
平面
，
，
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角
的余弦值为
，求线段
的长．
4
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18．（本小题满分13 分）
设椭圆
的左焦点为
，上顶点为
．已知椭圆的短轴长为4，离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点
在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点
为直线
与
轴的交点，点
在
轴的负半轴
上．若
（
为原点），且
，求直线
的斜率．
19．（本小题满分14 分）
设
是等差数列，
是等比数列．已知
．
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
其中
．
（i）求数列
的通项公式；
（ii）求
．
20．（本小题满分14 分）
设函数
为
的导函数．
（Ⅰ）求
的单调区间；
5
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（Ⅱ）当
时，证明
；
（Ⅲ）设
为函数
在区间
内的零点，其中
，证明
．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求
，再求
。
6
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【详解】因为
，
所以
.
故选D。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助
数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2.设
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线
在
轴上的截距，
故目标函数在点
处取得最大值。
由
，得
，
所以
。
故选C。
【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定
目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结
合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．
7
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3.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
，即
，
等价于
，故
推不出
；
由
能推出
。
故“
”是“
”的必要不充分条件。
故选B。
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p 进行判断；
(2)集合法：根据由p，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方
法特别适合以否定形式给出的问题．
4.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图，逐步写出运算结果。
【详解】详解：
，
结束循环，故输出
。
故选B。
【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循
环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；③要明确
循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
8
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5.
【答案】D
【解析】
【分析】
只需把
用
表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】的方程为
，双曲线的渐近线方程为
，
故得
，
所以
，
，
，
所以
。
故选D。
【点睛】双曲线
的离心率
。
6
【答案】A
【解析】
【分析】
利用利用
等中间值区分各个数值的大小。
【详解】
，
，
9
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，故
，
所以
。
故选A。
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。
7.
【答案】A
【解析】
【分析】
只需根据函数性质逐步得出
值即可。
【详解】
为奇函数，可知
，
由
可得
；
把其图象上各点的横坐标伸长到原来的
倍，得
，
由
的最小正周期为
可得
，
由
，可得
，
所以
，
。
故选C。
【点睛】在
处有定义的奇函数必有
。
8.
【答案】C
【解析】
10
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【分析】
先判断
时，
在
上恒成立；若
在
上恒成立，转化为
在
上恒成立。
【详解】首先
，即
，
当
时，
，
当
时，
，
故当
时，
在
上恒成立；
若
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
令
，则
，
易知
为函数
在
唯一的极小值点、也是最小值点，
故
，所以
。
综上可知，
的取值范围是
。
故选C。
【点睛】
在
上恒成立，等价于
；
在
上恒成立，等价于
。
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共6 小题.
11
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9. 是虚数单位，则
的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】解法一：
。
解法二：
。
【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，
再根据题意求解．
10.
是展开式中的常数项为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出
的值，再求出其常数项。
【详解】
，
由
，得
，
故所求的常数项为
.
【点睛】二项式中含有负号时，要把负号与其后面的字母看作一个整体，计算中要特别注意符号。
11.已知四棱锥的底面是边长为
的正方形，侧棱长均为
.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧
棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_______.
12
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【答案】
【解析】
【分析】
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。
【详解】四棱锥的高为
，
故圆柱
高为，圆柱的底面半径为
，
故其体积为
。
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
12.设
，直线
和圆
（
为参数）相切，则
的值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出
满足的方程，解之解得。
【详解】圆心坐标为
，圆的半径为
，
所以
，
即
，
解得
。
【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判
13
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断。
13.设
，则
的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
把分子展开化为
，再利用基本不等式求最值。
【详解】
，
等号当且仅当
，即
时成立。
故所求的最小值为
。
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。
14.在四边形
中，
，点
在线段
的延长线上，且
，则
_________.
【答案】
【解析】
【分析】
可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
【详解】解法一：如图，过点
作
的平行线交
于
，
因为
，故四边形
为菱形。
因为
，
，所以
，即
.
14
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因为
，
所以
.
解法二：建立如图所示的直角坐标系，则
，
。
因为
∥
，
，所以
，
因为
，所以
，
所以直线
的斜率为
，其方程为
，
直线
的斜率为
，其方程为
。
由
得
，
，
所以
所以
。
15
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【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。
三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.在
中，内角
所对
边分别为
.已知
，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到
的比例关系，然后利用余弦定理可得
的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得
的值，然后利用两角和的正弦公式可得
的值.
【详解】（Ⅰ）解：在
中，由正弦定理
，得
，又由
，得
，即
.又因为
，得到
，
.由余弦定理可得
.
16
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（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得
，从而
，
，故
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定
理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为
.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，
且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用
表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量
的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设
为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校的天数恰
好多2”，求事件
发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公
式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30 之前到校的概率均为
，
故
，从面
.
所以，随机变量
的分布列为：
17
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0
1
2
3
随机变量
的数学期望
.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30 之前到校的天数为
，则
.
且
.
由题意知事件
与
互斥，
且事件
与
，事件
与
均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基
础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
17.如图，
平面
，
，
.
18
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（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角
的余弦值为
，求线段
的长.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
（Ⅲ）
【解析】
【分析】
首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线BF 的方向向量和平面ADE 的法向量的关系即可证明线面平行；
(Ⅱ)分别求得直线CE 的方向向量和平面BDE 的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF 长度的方程，解方程可
得CF 的长度.
【详解】依题意，可以建立以A 为原点，分别以
的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标
系(如图)，
19
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可得
.
设
，则
.
(Ⅰ)依题意，
是平面ADE 的法向量，
又
，可得
，
又因为直线
平面
，所以
平面
.
(Ⅱ)依题意，
，
设
为平面BDE 的法向量，
则
，即
，
不妨令z=1，可得
，
因此有
.
所以，直线
与平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ)设
为平面BDF 的法向量，则
，即
.
20
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不妨令y=1，可得
.
由题意，有
，解得
.
经检验，符合题意｡
所以，线段
的长为
.
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体
几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
18.设椭圆
的左焦点为
，上顶点为
.已知椭圆的短轴长为4，离心率为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点
在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点
为直线
与
轴的交点，点
在
轴的负半轴上.
若
（
为原点），且
，求直线
的斜率.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
或
.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c 的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P 的值，从而可得OP 的斜率，然后利用斜率公式可得MN 的斜率表达式，
最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.
【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为
，依题意，
，又
，可得
，b=2，c=1.
所以，椭圆方程为.
21
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(Ⅱ)由题意，设
.设直线
斜率为
，
又
，则直线
的方程为
，与椭圆方程联立
，
整理得
，可得
，
代入
得
，
进而直线
的斜率
，
在
中，令
，得
.
由题意得
，所以直线
的斜率为
.
由
，得
，
化简得
，从而
.
所以，直线
的斜率为
或
.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性
质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.
19.设
是等差数列，
是等比数列.已知
.
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
22
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（Ⅱ）设数列
满足
其中
.
（i）求数列
的通项公式；
（ii）求
.
【答案】（Ⅰ）
；
（Ⅱ）（i ）
（ii ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列
的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进
行等价变形，结合等比数列前n 项和公式可得
的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
.
依题意得
，解得
，
故
，
.
所以，
的通项公式为
，
的通项公式为
.
(Ⅱ)(i)
.
所以，数列
的通项公式为
.
23
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(ii)
.
【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和
数列求和的基本方法以及运算求解能力.
20.设函数
为
的导函数.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）当
时，证明
；
（Ⅲ）设
为函数
在区间
内的零点，其中
，证明
.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为
的单调递减区间为
.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明
【解析】
分析】
24
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(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数
的单调区间；
(Ⅱ)构造函数
，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数
的最小值即
可证得题中的结论；
(Ⅲ)令
，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.
【详解】(Ⅰ)由已知，有
.
当
时，有
，得
，则
单调递减;
当
时，有
，得
，则
单调递增.
所以，
的单调递增区间为
，
的单调递减区间为
.
(Ⅱ)记
.依题意及(Ⅰ)有：
，
从而
.当
时，
，故
.
因此，
在区间
上单调递减，进而
.
所以，当
时，
.
25
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(Ⅲ)依题意，
，即
.
记
，则
.
且
.
由
及(Ⅰ)得
.
由(Ⅱ)知，当
时，
，所以
在
上为减函数，
因此
.
又由(Ⅱ)知
，故：
.
所以
.
【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想
和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.
26
