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第四章 三角函数与解三角形
§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
两角和与差的正
弦、余弦、正切公
式的应用
2024·全国甲卷
2024·全国新Ⅱ卷
2024·全国新Ⅰ卷
2023·全国新Ⅰ卷
2022·全国新Ⅱ卷
该内容是新高考卷的必考内容，
一般会考查两角和与差的正弦、余
弦、正切公式及倍角公式变形应用和
半角公式变形应用，同时也需掌握升
幂公式和降幂公式，掌握拼凑角思
想，需加强复习备考。
【知识梳理】
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝cos
α cos
β ＋
sin
α sin
β ；
(2)公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝cos
α cos
β －
sin
α sin
β ；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin
α cos
β －
cos
α sin
β ；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin
α cos
β ＋
cos
α sin
β ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2.辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(
α ＋
φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin__α cos
__α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos
2 α －
sin
2 α ＝2cos
2 α －
1 ＝1 －
2sin
2 α .
(3)公式T2α：tan 2α＝.
【名师点拨】
1.两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－＝－1.
2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
tan2α＝.
3.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，
1－cos 2α＝2sin2α，
1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β 是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任
意角α，β 都成立.( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
(5)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.( )
2.sin π
12 －❑√3cos π
12的值为( )
A.0
B.－❑√2
C.2
D.❑√2
3.若2cos α－sin α＝0，则tan(α −π
4)等于( )
A.－1
3
B.1
3
C.－3
D.3
4.若tan α＝1
3 ，tan(α＋β)＝1
2 ，则tan β＝ .
【名师点拨】
1.熟记两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(4)tan αtan β＝1－tan α ＋tan β
tan(α ＋β) ＝tan α −tan β
tan(α −β) －1.
2.谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件；
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值
对应的角不唯一.
【必练核心题型】
题型一 两角和与差的三角函数公式
【典例】1.若
cos(
π
4 ＋α)
cos(
π
4 −α)
＝3，则tan(α ＋π
4)等于( )
A.－3
B.－1
3
C.1
3
D.3
【典例】2.若cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，则tan α 等于( )
A.
❑√3
3
B.－
❑√3
3
C.❑√3
D.－❑√3
【变式训练】
变式1.已知sin(α－β)＝1
3 ，cos αsin β＝1
6 ，则sin(α＋β)等于( )
A.2
3
B.2❑√2
3
C.－2
3
D.－2❑√2
3
变式2.(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)等于(
)
A.－3m
B.－m
3
C.m
3
D.3m
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
【典例】1.已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x.若x＝θ 时，f(x)取得最大值，则cos
(θ＋π
4)等于( )
A.7 ❑√2
10
B.－7 ❑√2
10
C.
❑√2
10
D.－
❑√2
10
【典例】2.tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°·tan 20°tan 30°＝ .
【变式训练】
变式1.若sin α＋❑√3cos α＝1，且α∈(0，π)，则α＝ .
变式2.若α＋β＝－3 π
4 ，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
题型三 角的变换问题
【典例】1.已知sin(α ＋π
4)＝4
5 ，α∈(
π
4 ，π
2)，则cos α 等于( )
A.
❑√2
10
B.3 ❑√2
10
C.
❑√2
2
D.7 ❑√2
10
【典例】2.已知α∈(
π
2 ，π)，β∈(0，π
2)，若sin(α＋β)＝1
3 ，cos β＝
❑√3
3 ，则sin
α 等于( )
A.1
3
B.
❑√3
3
C.5 ❑√3
9
D.
❑√3
9
【变式训练】
变式1.已知α，β∈(
π
3 ，5 π
6 )，若sin(α ＋π
6)＝4
5 ，cos(β −5 π
6 )＝5
13 ，则sin(α
－β)的值为( )
A.16
65
B.33
65
C.56
65
D.63
65
变式2.已知θ∈(
π
4 ，π
2)，且sin(θ＋π
4)＝4
5 ，则tan θ 等于( )
A.7
B.4
3
C.1
7
D.12
5
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°等于( )
A.
❑√3
2
B.1
2
C.－1
2
D.－
❑√3
2
2.已知α 为锐角，且sin(α ＋π
3)＝sin(α −π
6)，则tan α 等于( )
A.❑√3
B.2＋❑√3
C.❑√6
D.❑√6＋❑√3
3.若sin 18°＝m，则sin 63°等于( )
A.
❑√2
2 (
❑√1−m
2－m)
B.1
2m＋
❑√3
2
❑√1−m
2
C.
❑√2
2 (m＋❑√1−m
2)
D.
❑√3
2 m＋1
2
❑√1−m
2
4.已知sin α＋sin β＝1
2 ，cos α＋cos β＝1
3 ，则cos(α－β)的值等于( )
A.－7
12
B.－17
18
C.－59
72
D.59
72
【答案】C
【解析】sin α＋sin β＝1
2⇒sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝1
4 ，
①
cos α＋cos β＝1
3⇒cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝1
9 ，
②
①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝13
36⇒cos(α－β)＝1
2×(
13
36 −2)＝－59
72.
5.已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0 的两个根，则tan 2α 等于( )
A.－1
B.1
C.－2
D.2
6.定义运算|
ab
c d|＝ad－bc，若cos α＝1
7 ，|
sin α sin β
cosα cos β|＝3 ❑√3
14 ，0<β<α<π
2 ，则β 等于
( )
A. π
12
B.π
6
C.π
4
D.π
3
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.下列等式成立的有( )
A.tan 15°＝
❑√3
6
B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1
D.❑√3sin 15°＋cos 15°＝1
8.下列结论正确的是( )
A.sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)
B.❑√15sin x＋❑√5cos x＝❑√5sin(x＋π
6)
C.f(x)＝sin x
2＋cos x
2的最大值为2
D.tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知sin(
π
2 ＋α)＝1
2 ，α∈(−π
2 ，0)，则cos(α −π
3)
的值为 .
10.在△ABC 中，已知tan A＋tan B＋❑√3tan Atan B＝❑√3，则C＝ .
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)已知sin(α－β)＝1
2 ，sin(α＋β)＝1
3.
(1)证明：tan α＋5tan β＝0；(6 分)
(2)计算tan(α −β)−tan α ＋tan β
tan
2α tan(α −β)
的值.(7 分)
12.(15 分)如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐
角α 与钝角β 的终边与单位圆O 分别交于A，B 两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于
点M，已知S△OAM＝
❑√5
5 ，点B 的横坐标是－7 ❑√2
10 .
(1)求cos(α－β)的值；(7 分)
(2)求2α－β 的值.(8 分)
【尖子拔高训练】每小题5 分，共10 分
13.(2024·吕梁模拟)tan 80°−❑√3
sin 80°
的值为( )
A.❑√3
B.
❑√3
2
C.2
D.4
14.已知sin(α ＋π
2)＝sin β，sin α＋cos α＝1＋❑√3
2
，sin β＋cos β＝1＋❑√3
2
，则
cos(α－β)＝ .
