专题 01 集合与常用逻辑用语（十大题型七大易错题）
【题型1】 集合的含义和表示
1．（2025届江西省华大联盟高三联考（三模）三模数学试题）已知集合
A={0,a,a2),B={a−1,3a−2),a∈R，则A∪B中的元素个数至少为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先根据A求出a≠0且a≠1，再根据a2−a+1= ( a− 1) 2 + 3 >0可得a−1与
2 4
0,a,a2均互异，结合特例可得正确的选项.
【详解】由A中元素的互异性可得a≠0,a≠a2，故a≠0且a≠1，
而a2−a+1= ( a− 1) 2 + 3 >0，故当a≠0且a≠1时，a−1与0,a,a2均互异，
2 4
故A∪B中至少有4元素，取a=2，此时A={0,2,4),B={1,4)，
此时A∪B有4个元素，故A∪B中的元素个数至少为4个，
故选：C.
2．（2020·新疆喀什·二模）已知集合A={1,2}，B={2,4}，则C={xy∣x∈A,y∈B}
的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出集合C即可.
【详解】集合A={1,2},B={2,4}，则C={xy∣x∈A,y∈B}={2,4,8}，
所以集合C的元素个数为3个.
故选：C
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知
{a,b}⊆{−1,0,1,2,3,4},(a,b)∈{(x,y)|x2+ y2≤4}，则(a,b)可能的取值的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【分析】根据题意，分a=−1，a=0和a=1，三种情况讨论，结合x2+ y2≤4，得到
(a,b)得情况，即可得到答案.
【详解】当a=−1时，由(a,b)∈{(x,y)|x2+ y2≤4}，可得b∈{0,1}，所以(a,b)
为(−1,0)或(−1,1)；当a=0时，由(a,b)∈{(x,y)|x2+ y2≤4}，可得
b∈{−1,1,2}，
所以(a,b)为(0,−1)或(0,1)或(0,2)；
当a=1时，由(a,b)∈{(x,y)|x2+ y2≤4}知，b∈{−1,0}，
所以(a,b)为(1,−1)或(1,0)；
当a=2，则b=0，所以(a,b)为(2,0)综上，共有8种取值．
故选：D．
4．（2025·河南·模拟预测）已知集合A={0,1)，B={0,a+1,a−1)，若A⊆B，则a=
（ ）
A．2 B．0 C．0或2 D．−2或2
【答案】C
【分析】分a+1=1和a−1=1两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案.
【详解】①当a+1=1时，解得a=0，此时B={0,1,−1)，满足题意，
②当a−1=1时，解得a=2，此时B={0,3,1)，满足题意，
故选：C.
5．多选题（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若x,y∈M，则
x
∈M；②若x,y∈M，则x+ y∈M.下列说法中正确的有（ ）.
y
A．−1∈M. B．2025∈M.
C．若x,y∈M，则xy∈M. D．若x,y∈M，则x−y∈M.
【答案】BC
【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B.x
【详解】对于A，若−1∈M，令x= y=−1，则 =1∈M,x+ y=−2∈M，令
y
x x
x=−1,y=1，则 =−1∈M,x+ y=0∈M，令x=1,y=0，不存在 ，即y≠0，
y y
矛盾，所以−1∉M，故A错误，
x
对于B，由于集合M非空，取任意元素x∈M，根据性质①，得 =1∈M，再根据
x
性质②，得1+1=2∈M，进而1+2=3∈M,⋯,2024∈M,2025∈M，故B正
确，
1 1
对于C，因为1∈M,x∈M，所以 ∈M，因为y∈M, ∈M，所以
x x
y
=xy∈M
1 ，故C正确，
x
对于D，若x=1,y=2，则x−y=−1∉M，故D错误，
故选：BC.
6．多选题（25-26高一上·全国·课后作业）给定数集M，若对于任意x，y∈M，都有
x+ y∈M，且x−y∈M，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合M={x|x=3k,k∈Z))为闭集合
D．若集合M ，M 为闭集合，则M ∪M 也为闭集合
1 2 1 2
【答案】ABD
【详解】取x=1，y=2，则x−y=−1∉N，故A错误；取x=❑√2，y=❑√2，则
，0不是无理数，故B错误；设 ， ，则
x−y=0 x=3k (k ∈Z) y=3k (k ∈Z)
1 1 2 2
， ，故C正确；取
x+ y=3(k +k )∈M x−y=3(k −k )∈M
1 2 1 2
， ，由C选项可知 是闭集合，同
M ={x|x=3k,k∈Z)) M ={x|x=2k,k∈Z)) M
1 2 1
理可证M 也是闭集合，则M ∪M 为被2整除或被3整除的全体整数集，取x=2，
2 1 2，则 ，5不能被2或3整除，即 ，故D错误.
y=3 x+ y=5 5∉(M ∪M )
1 2
【题型2】 集合的基本关系
1．（2025·江苏南京·一模）设集合A={x∣x2−4≤0),B={x∣x+a≤0).若A⊆B，则
实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,2) B．(−∞,2) C．(−∞,−2) D．(−∞,−2)
【答案】D
【分析】直接解不等式确定集合A,B，再根据集合的基本关系确定参数范围即可.
【详解】由x2−4≤0可得A=[−2,2)，由x+a≤0可得B=(−∞,−a)，
又A⊆B，所以2≤−a，即a≤−2，故D正确.
故选：D
2．（2025高三·全国·专题练习）已知A={x)−2≤x≤5)，B={x)m+1≤x≤2m−1)，
B⊆A，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m<2 C．m≤3 D．2<m≤3
【答案】C
【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可.
【详解】因为B⊆A，所以当m+1>2m−1，即m<2时，B= ∅，满足B⊆A，即
m<2；
当m+1=2m−1，即m=2时，B= {3}，满足B⊆A，即m=2；
当m+1<2m−1，即m>2时，由B⊆A，得m+1≥−2，2m−1≤5，即2<m≤3；
综上，m≤3．
故选：C．
3．（24-25高三上·山东青岛·期末）设集合A={0,1)，B={1,a,a+1)，若A⊆B，则a=
（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．−1或0
【答案】A
【分析】根据集合的包含关系以及集合中元素的互异性解方程即可求得.
【详解】由A⊆B可知a=0或a+1=0，
解得a=0或a=−1；又因为a=0时，集合B中的元素不满足互异性，舍去；
所以a=−1.
故选：A
4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合A={1,3,5,7)，集合B={1,2,3,4,5,6,7)，若集合M
满足A M⊆B，则这样的集合M共有 个.
【答案⫋】7
【分析】结合子集和真子集的概念求解即可.
【详解】由A M⊆B，则集合M中一定有元素1,3,5,7，
且至少含有2,4⫋,6其中一个元素，
则这样的集合M共有23−1=7个.
故答案为：7.
【题型3】 集合的运算
1．（2025·山东威海·三模）已知集合A={1,2,❑√m},B={1,m}，若A∩B=B，则m=
（ ）
A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1
【答案】B
【分析】由A∩B=B得集合A，B之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可
求解.
【详解】由A∩B=B，得B⊆A，
因为B={1,m)，所以m≠1，
因为集合A={1,2,❑√m)，
所以m=2或m=❑√m，解得m=2或m=0（m=1不合题意舍去），
所以m=0或2.
故选：B.
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合M=¿，N={−2,−1,0,1,2,3)，则M∩N=
（ ）
A．{−1,0,1,2) B．{−2,−1,0,1) C．{0,1,2,3) D．{1,2,3)
【答案】C
【分析】先求集合M，利用集合的交集运算即可求解.
【详解】因为M=¿，N={−2,−1,0,1,2,3)，所以M∩N={0,1,2,3).
故选：C.
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知集合A={2025,z(1+i)}，B={2,2024}，且
A∩B={2}，则|z−2z)=（ ）
A．❑√7 B．3 C．❑√10 D．2❑√3
【答案】C
【分析】根据集合交集的运算方法和复数除法的运算公式,求出复数,根据共轭复数概率
和复数加减计算公式,求出模长即可.
2(1−i)
【详解】由题意知z(1+i)=2，所以z= =1−i，故z=1+i，故
(1+i)(1−i)
|z−2z)=|−1−3i) =❑√10.
故选:C.
4．（2025高三·全国·专题练习）已知全集U=Z，集合A={x|−5<x<2,x∈Z))，
B={0,1,2,3,4)，则(∁ A)∪B=（ ）
U
A．{x)x≤−5)或x≥0,x∈Z) B．{x)x<−5)或x>0,x∈Z)
C．{x)x≥0,x∈Z) D．{x)x>0,x∈Z)
【答案】A
【分析】先求出集合A的补集，再利用并集运算求解即可.
【详解】由题可得∁ A={x)x≤−5)或x≥2,x∈Z)，则(∁ A)∪B={x)x≤−5)或
U U
x≥0,x∈Z)．
故选：A.
5．（2024·山西太原·一模）已知全集U=R，集合A={0,1,2,3)，B={−2,−1,0,1)，则图
中阴影部分表示的集合为（ ）A．{−2,−1,0,1,2,3) B．{0,1) C．{2,3) D．
{−2,−1)
【答案】D
【分析】由阴影部分可知对应的集合为B∩(∁ A)，即可得到结论.
U
【详解】阴影部分对应的集合为B∩(∁ A)，
U
∵全集U=R，集合A={0,1,2,3)，B={−2,−1,0,1),
∴B∩(∁ A)={−2,−1).
U
故选：D.
6．（2025·福建南平·三模）若A={y|y=2x)), B={x|(x−1) 2<4))，则A∩B=（ ）
A．{x|−1<x<0)) B．{x|0<x<3))
C．{x|1<x<3)) D．{x|−1<x<3))
【答案】B
【分析】先化简集合A,B，再利用集合的交集运算法则即可.
【详解】A={y|y=2x))={y|y>0))，
由(x−1) 2<4得，−2<x−1<2，即−1<x<3，则B={x|−1<x<3))，
故A∩B={x|0<x<3)).
故选：B
{ 4 )
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合A={x∣log x≤2)，B= x∣ ≤−1 ，则
2 x−5
A∩B=（ ）
A．(0,1) B．[1,4) C．(1,4) D．[0,5)
【答案】B
【分析】先解对数不等式得出集合A，再计算分式不等式得出集合B，即可求解交集.
【详解】集合A={x∣log x≤2)={x∣0<x≤4)，
2{ 4 ) { x−1 )
B= x∣ ≤−1 = x∣ ≤0 ={x∣1≤x<5)，
x−5 x−5
则A∩B=[1,4).
故选：B.
【题型4】 集合中的求参问题
1．（2025·湖南长沙·一模）已知集合A={−1,0,2,m2),B={x∈Z∣x2≤3)，若
A∩B={−1,0,1)，则m=（ ）
A．1 B．−1 C．±1 D．0
【答案】C
【分析】先求得集合B，再根据交集定义列式计算即可.
【详解】集合B={−1,0,1)，因此m2=1,m=±1.
故选：C.
2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合P={x||x+1)<2)，Q={x|x2−(a+1)x+a<0)．
若P∪Q=P，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−3,1) B．[−3,1) C．(1,3) D．(−∞,1)
【答案】B
【分析】解绝对值不等式求出集合P，由P∪Q=P，得Q⊆P，由此能求出实数a的
取值范围.
【详解】由|x+1)<2，解得−3<x<1，所以集合P={x|−3<x<1) ，
由x2−(a+1)x+a<0，可得(x−1)(x−a)<0，所以Q={x|(x−1)(x−a)<0)，
因为P∪Q=P，所以Q⊆P，
当a>1时，不符合题意，
所以Q={x|a<x<1)，因为Q⊆P，所以−3≤a≤1，
即实数a的取值范围是[−3,1)．
故选：B．
3．（2024·山西临汾·三模）已知集合A={x|x>a))，B={x|1<x≤2))，且A∪∁ B=R，
R
则实数a的取值范围是（ ）A．{a|a≤1)) B．{a|a<1)) C．{a|a≥2)) D．{a|a>2))
【答案】A
【分析】根据补集运算求出∁ B，然后利用数轴分析可得.
R
【详解】因为B={x|1<x≤2))，所以∁ B={x|x≤1)或x>2)，
R
又A∪∁ B=R，所以a≤1.
R
故选：A
4．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知集合A={x∈Z|−1<x<3}，B={x|3x−a<0}，
且A∩(∁ B)={1,2)，则a的取值范围为（ ）
R
A．(0,4) B．(0,4) C．(0,3) D．(0,3)
【答案】C
a a
【分析】先求得A={0,1,2},B={x|x< }，得到∁ B={x|x≥ }，结合题意得到
3 R 3
a
不等式0< ≤1，即可求解.
3
a
【详解】由集合A={x∈Z|−1<x<3}={0,1,2}，B={x|3x−a<0}={x|x< }，
3
a
可得∁ B={x|x≥ }，
R 3
a
因为A∩(∁ B)={1,2)，所以0< ≤1，解得0<a≤3，即实数a的取值范围是(0,3).
R 3
故选：C.
5．（2024·河北·二模）已知集合A={x|x2−4x−5<0)，B={x|(x−m)[x−(m+2))>0)，
若A∪B=R，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−1,+∞) B．(−∞,3) C．(−1,3) D．[−1,3)
【答案】C
{m>−1
)
【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，B，再根据并集的结果得到 ，
m+2<5解得即可.
【详解】由x2−4x−5<0，即(x+1)(x−5)<0，解得−1<x<5，
所以A={x∣x2−4x−5<0)=(−1,5)，
由(x−m)[x−(m+2))>0，显然m+2>m，解得x>m+2或x<m，
所以B={x∣(x−m)[x−(m+2))>0)=(−∞,m)∪(m+2,+∞)，
{m>−1
)
若A∪B=R，则 ，解得−1<m<3，即实数m的取值范围是(−1,3).
m+2<5
故选：C.
6．（2025·河南·模拟预测）已知集合A={x|0≤x≤1))，非空集合B={x|b<x<1−b))，若
A∩B=B，则b的取值范围是 ．
[ 1)
【答案】 0,
2
【分析】结合题意确定集合B非空，再转化为集合包含问题，建立不等式组求解参数
范围即可.
【详解】由题意得B≠∅，又因为A∩B=B⇔B⊆A，
1
所以0≤b<1−b≤1，解得0≤b< ．
2
[ 1)
故答案为： 0, .
2
7．（2024·江苏常州·三模）集合A={x|−1≤x+1≤6))，B=¿，若A∪B=A，则实数m
的取值范围为 ．
【答案】(−∞,−2]∪[−1,2)
【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求m的范围．
【详解】由A∪B=A⇒ B⊆A，且A={x|−2≤x≤5}，
当B=∅时，B⊆A，则m−1≥2m+1，即m≤−2，
{m−1≥−2
)
当B≠∅时，若B⊆A，则 m>−2 ，解得−1≤m≤2，
2m+1≤5综上，实数m的取值范围为(−∞,−2]∪[−1,2)．
故答案为：(−∞,−2]∪[−1,2)．
【题型5】 集合语言的运用
1．（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上
0
或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有10 的学生第
0
0
二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有15 的学生第二天
0
会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700 B．800 C．900 D．1000
【答案】C
【分析】根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为x，
则楼下食堂用午餐的学生数大约为1500−x，
0 0
原本在楼上食堂且留下的学生：占比1−10 =90 ，即0.9x，
0 0
0
从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的15 ，即0.15(1500−x)，
0
所以x=0.9x+0.15(1500−x)，解得x=900.
所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为900.
故选：C
2．多选题（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100
米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米
比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米
和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确
的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人
【答案】ABD
【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项.
【详解】根据题意，设A={x)x是参加100米的同学}，
B={x)x是参加400米的同学}，
C={x)x是参加1500米的同学}，
则card(A)=8,card(B)=7,card(C)=5,
且card(A∩B)=4,card(A∩C)=3,card(B∩C)=3,
则card(A∩B∩C)=12−[(8+7+5)−(4+3+3))=2，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，
只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人.
故选：ABD
【题型6】 充分条件与必要条件的判断
1．（2025·湖北·模拟预测）已知实数x,y∈(0,π)，则“x>y”是“sinx>sin y”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由充分条件和必要条件的概念及正弦函数的图象性质可得结果.
3π π 3π π
【详解】取x= ，y= ，此时x>y，但sin <sin ，充分性不成立；
4 2 4 2
π 3π
取x= ，y= ，此时sinx>sin y，但x<y，必要性也不成立．
2 4
故“x>y”是“sinx>sin y”的既不充分也不必要条件.
故选：D．
2．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知集合A={x∈R|x2=m)，
B={x∈R|x2+x≤m+2)，则“−2∈A”是“A∩B=A”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】令−2∈A代入集合，通过解一元二次不等式得到充分性成立，令m=0可得
必要性不成立.
【详解】若−2∈A，则m=4，则A={2,−2)，B={x∈R|x2+x≤6)=[−3,2)，此
时A∩B=A，
当m=0时，也能得到A∩B=A，
所以“−2∈A”是“A∩B=A”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2025·天津红桥·二模）已知命题 p:a>b>0，命题q:2a>2b，则命题p是命题q的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论.
【详解】根据题意由指数函数y=2x的单调性可知p:a>b>0能推出q:2a>2b，
即充分性成立；
由q:2a>2b可推出a>b，不能推出p:a>b>0，即必要性不成立；
因此命题p是命题q的充分不必要条件.
故选：A
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知{⃗a,⃗b)是同一平面内所有向量的一个基底，则“
⃗a⋅⃗b<0”是“⃗a,⃗b的夹角是钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先根据{⃗a,⃗b)是平面向量的基底，确定⃗a,⃗b的关系，再结合数量积的定义进行
判断.
【详解】因为{⃗a,⃗b)是同一平面内所有向量的一个基底，所以⃗a,⃗b不共线.
所以由 ，因为 不共线，所以 且
⃗a⋅⃗b<0 ⇒ |⃗a)⋅ |⃗b)⋅cos⟨⃗a,⃗b)<0 ⃗a,⃗b cos⟨⃗a,⃗b)<0，即 为钝角.所以“ ”是“ 的夹角是钝角”的充分条
cos⟨⃗a,⃗b)≠−1 ⟨⃗a,⃗b) ⃗a⋅⃗b<0 ⃗a,⃗b
件；
由⃗a,⃗b的夹角是钝角⇒ ⃗a⋅⃗b=|⃗a)⋅ |⃗b)⋅cos⟨⃗a,⃗b)<0，所以“⃗a⋅⃗b<0”是“⃗a,⃗b的
夹角是钝角”的必要条件.
综上可得：在{⃗a,⃗b)是同一平面内所有向量的一个基底时，“⃗a⋅⃗b<0”是“⃗a,⃗b的夹
角是钝角”的充要条件.
故选：B
5．（2025·湖北·模拟预测）已知⃗m，⃗n，l⃗是同一个平面内的三个向量，则“
⃗m⋅(⃗n⋅l⃗)=(⃗m⋅⃗n)⋅l⃗”是“⃗m∥l⃗”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】取特例可判断充分性，利用共线向量的性质及向量数量积的运算可判断必要
性.
【详解】当⃗n=0⃗时，⃗m，l⃗可以是任意向量，因此是不充分条件；
当⃗m∥l⃗时，若l⃗=0⃗，显然⃗m⋅(⃗n⋅l⃗)=(⃗m⋅⃗n)⋅l⃗成立；
当l⃗≠0⃗，因为⃗m∥l⃗，所以⃗m=kl⃗，
因此⃗m⋅(⃗n⋅l⃗)=kl⃗⋅(⃗n⋅l⃗)=k(⃗n⋅l⃗)l⃗，(⃗m⋅⃗n)⋅l⃗=(kl⃗⋅⃗n)l⃗=k(l⃗⋅⃗n)l⃗，
因此⃗m⋅(⃗n⋅l⃗)=(⃗m⋅⃗n)⋅l⃗成立.
故“⃗m⋅(⃗n⋅l⃗)=(⃗m⋅⃗n)⋅l⃗”是“⃗m∥l⃗”的必要条件.
故选：C
x2 y2
6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线C: + =1，则“1<m<3”是“曲线C表
m−1 3−m
示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据椭圆的标准方程，曲线C表示椭圆求解m的取值范围，再根据充分条件、
必要条件进行判断即可.
x2 y2 {
m−1>0
)
【详解】若曲线C: + =1表示椭圆，则 3−m>0 ，解得1<m<2或
m−1 3−m
m−1≠3−m
2<m<3，
则“1<m<3”是“曲线C表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
1 1
7．（2025·河南·二模）设甲： > >0；乙：2a>2b，则甲是乙的（ ）
a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既
不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性化简甲乙两个命题，即可结合充分和
必要条件的定义求解.
1 1
【详解】由 > >0可得0<a<b，由2a>2b可得a>b，
a b
1 1
所以由 > >0推不出2a>2b，即充分性不成立；
a b
1 1
由2a>2b也推不出 > >0，即必要性不成立.
a b
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选:D.
π
8．（2025·四川·三模）已知向量⃗a=(cosα,1),⃗b=(sinα,❑√3)，则“α= ”是“向量
3
⃗a,⃗b共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既
不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件判断即可.【详解】当α= π 时，向量⃗a= (1 ,1 ) ,⃗b= (❑√3 ,❑√3 ) ，因为⃗b=❑√3⃗a，所以向量⃗a,⃗b共
3 2 2
线成立；
由向量⃗a=(cosα,1)，⃗b=(sinα,❑√3)共线，有sinα=❑√3cosα，此时
π
α=kπ+ ,k∈Z，
3
π
所以“α= ”是“向量⃗a,⃗b共线”的充分不必要条件．
3
故选：A
9．（2025·福建三明·三模）已知a，b∈R，则“|a)+|b)≤1”是“a2+b2≤1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】依次分析充分性和必要性即可得解.
【详解】若|a)+|b)≤1，则a2+b2≤a2+b2+2|a)|b)=(|a)+|b)) 2 ≤1，充分性成立；
设a=b=
❑√2
，则有a2+b2=
(❑√2) 2
+
(❑√2) 2
=1满足a2+b2≤1，
2 2 2
此时有|a)+|b)=❑√2>1，不满足|a)+|b)≤1，故必要性不成立，
综上所述，“|a)+|b)≤1”是“a2+b2≤1”的充分不必要条件.
故选：A.
【题型7】充分条件与必要条件的应用
1．（2025·福建泉州·模拟预测）设A={x|1≤2x≤4))，B={x|x2≤ax))，若x∈A是
x∈B的充分条件，则（ ）
A．0<a<2 B．1<a<2 C．a=2 D．a≥2
【答案】D
【分析】根据充分条件在集合中的表示方法，判断集合A,B的包含关系即可.
【详解】由题意，得A=[0,2]，因为x∈A是x∈B的充分条件，
所以A⊆B即∀x∈[0,2],x2−ax≤0，已知二次函数y=x2−ax=x(x−a)，开口向上，与x轴交于(0,0),(a,0)，
仅当a≥2满足∀x∈[0,2],x2−ax≤0．
故选：D．
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知p:“x2−(2m+3)x+m2+3m>0”是q：“
x2−x−6≤0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
A．(−∞,−5¿∪)3,+∞¿¿ B．(−∞,−5)∪(3,+∞)
C．(−5,3) D．[−5,3)
【答案】B
【分析】解二次不等式分别求出p和q的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求
解即可.
【详解】因为p:(x−m) 2>3(x−m)，即(x−m)(x−m−3)>0，
则x<m或x>m+3,q:x2−x−6≤0，即−2≤x≤3，
又p是q的必要不充分条件，则m>3或m+3<−2，即m>3或m<−5.
则m的取值范围为(−∞,−5)∪(3,+∞).
故选：B
3．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若“x>a”是“x>1”的必要不充分条件，则实
数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,1) B．(−∞,1) C．(1,+∞) D．[1,+∞)
【答案】A
【分析】由题意可得{x|x>1))⫋{x|x>a))，再根据集合的包含关系求参即可.
【详解】因为“x>a”是“x>1”的必要不充分条件，
所有{x|x>1))⫋{x|x>a))，所以a<1，
即实数a的取值范围为(−∞,1)．
故选：A．
(1) x
4．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知f (x)= −3，则f (x)<5的一个必要不充分条件是
2
（ ）A．x>−4 B．x>−3 C．x<−2 D．x<−3
【答案】A
【分析】根据题意，利用指数函数的性质，求得不等式f (x)<5的解集，结合选项，以
及必要不充分条件的判定方法，即可求解.
(1) x (1) x
【详解】由不等式f (x)<5，可得 −3<5，即 <8，解得x>−3，
2 2
结合选项，可得f (x)<5的一个必要不充分条件为x>−4.
故选：A.
5．（2024·山东·二模）已知p:1<2x<4，q:x2−ax−1<0，若p是q的充分不必要条件，
则（ ）
3 3
A．a≥ B．0<a≤ C．a>2 D．0<a≤2
2 2
【答案】A
【分析】首先化简命题p，依题意可得当0<x<2时x2−ax−1<0恒成立，参变分离可
1
得a>x− 在0<x<2上恒成立，结合函数的单调性计算可得.
x
【详解】命题p:1<2x<4，即p:0<x<2，
因为p是q的充分不必要条件，
显然当x=0时满足q:x2−ax−1<0，
所以当0<x<2时x2−ax−1<0恒成立，
1
则a>x− 在0<x<2上恒成立，
x
1 3
又函数f (x)=x− 在(0,2)上单调递增，且f (2)= ，
x 2
3
所以a≥ .
2
故选：A
6．多选题（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合A={x|x≤3))，集合
B={x|x≤m+1))，能使A∩B=A成立的充分不必要条件有（ ）
A．m>0 B．m>1 C．m>3 D．m>4【答案】CD
【分析】由A∩B=A成立的充要条件求出对应的参数m的范围，结合充分不必要条件
的定义即可得解.
【详解】A∩B=A当且仅当A是B的子集，当且仅当m+1≥3，即m≥2，
对比选项可知使得m≥2成立的充分不必要条件有m>3，m>4.
故选：CD.
7．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意x∈[1,3)，a≤2x+2−x”为假命题，则实数a的取
值范围是 .
5
【答案】a>
2
【分析】根据题意，问题转化为存在x∈[1,3)，a>2x+2−x为真命题，即
a>(2x+2−x) ，求出y=2x+2−x的最小值得解.
min
【详解】若命题任意“x∈[1,3)，a≤2x+2−x”为假命题，
则命题存在x∈[1,3)，a>2x+2−x为真命题，
因为1≤x≤3时，2≤2x≤8，
令t=2x，则2≤t≤8，
1
则y=t+ 在[2,8)上单调递增，
t
5 65
所以 ≤ y≤ ，
2 8
5
所以a>
.
2
5
故答案为：a>
.
2
【题型8】 全称量词与存在量词命题的真假判断
1．（2025·河北唐山·一模）已知命题p:∀x∈R,x2>0；命题q:∃x>0,lnx<0．则
（ ）
A．p和q都是真命题
B．p是假命题，q是真命题C．p是真命题，q是假命题
D．p和q都是假命题
【答案】B
【分析】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说
明.
【详解】对于命题p:∀x∈R,x2>0，因为当x=0时，x2=0，故命题p是假命题；
1 1
对于命题q:∃x>0,lnx<0，当x= 时，ln =−1<0，故命题q是真命题.
e e
故选：B.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知命题p:∃x∈R，x2−x+1≤0，命题q: ∀x≥0，
ex≥cosx，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题
【答案】B
【分析】首先判断命题p为假命题，令f (x)=ex−cosx，x∈[0,+∞)，利用导数说明
函数的单调性，即可判断命题q为真命题，即可得解.
【详解】因为x2−x+1= ( x− 1) 2 + 3 ≥ 3 >0，所以∀x∈R，x2−x+1≥0恒成立，
2 4 4
所以命题p为假命题，则¬p为真命题；
令f (x)=ex−cosx，x∈[0,+∞)，则f′(x)=ex+sinx，
当x∈[0,π)时ex ∈[1,eπ)，sinx∈[0,1)，所以f′(x)>0，
当x∈(π,+∞)时ex>eπ>2，sinx∈[−1,1)，所以f′(x)>0，
所以f′(x)>0对任意的x∈[0,+∞)恒成立，所以f (x)在[0,+∞)上单调递增，
所以f (x)≥f (0)=0，即ex≥cosx对任意的x∈[0,+∞)恒成立，故命题q为真命题，
则¬q为假命题；
所以¬p和q都是真命题.
故选：B
3．（2023·宁夏银川·一模）已知命题p：∀x<1，log x>0；命题q：∃x ∈R，
3 0，则下列命题中为真命题的是（ ）
x2≥2x
0
0
A．p∨q B．(¬p)∧(¬q)
C．p∨(¬q) D．p∧q
【答案】A
【分析】先确定命题p,q的真假，再根据真值表逐一判断选项即可.
【详解】当x<1时，log x<log 1=0
3 3
故命题p：∀x<1，log x>0是假命题；
3
当x=2时，22=22，
故命题q：∃x ∈R，x2≥2x 0是真命题；
0 0
所以p∨q为真命题，(¬p)∧(¬q)，p∨(¬q)，p∧q均为假命题
故选：A
x
4．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知命题p:∀x∈R， <1，命题
|x|+1
q:∃x>0，x3<x2，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题
【答案】A
【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解.
x
【详解】对于命题p，当x≤0时， ≤0<1，
|x)+1
x x
当x>0时， = <1，所以命题p是真命题；
|x)+1 x+1
1 1 1
对于命题q，当x= 时，x3= <x2= ，所以命题q是真命题；
2 8 4
故选：A.
5．多选题（22-23高一上·云南昆明·期末）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数
的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也
使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数D(x)={1,x是有理数)
，有以下
0,x是无理数
四个命题，其中真命题是 （ ）
A．函数D(x)是奇函数 B．∃x，y∈R，D(xy)=D(x)+D(y)C．函数D(D(x))是偶函数 D．∀x∈R，∀a∈Q，
D(a+x)=D(a−x)
【答案】BCD
【分析】取x为有理数计算判断A；取x=❑√2,y=❑√3计算判断B；求出D(D(x))，再
利用奇偶性定义判断C；按x是有理数、无理数计算判断D.
【详解】对于A，若x是有理数，则−x也是有理数，则D(x)+D(−x)=1+1=2≠0，
因此D(x)不是奇函数，A错误；
对于B，当x=❑√2,y=❑√3时，D(xy)=D(❑√2×❑√3)=D(❑√6)=0,D(x)=D(❑√2)=0，
D(y)=D(❑√3)=0，此时D(xy)=D(x)+D(y)，B正确；
对于C，若x是有理数，则D(x)=1,D(D(x))=D(1)=1；若x是无理数，
D(x)=0,D(D(x))=D(0)=1，
于是∀x∈R,D(D(x))=1，又−x∈R，则D(D(−x))=1，因此
D(D(−x))=D(D(x))，
所以函数D(D(x))是偶函数，C正确；
对于D，若x是有理数，a∈Q，则a+x,a−x均是有理数，则D(a+x)=D(a−x)=1；
若x是无理数，a∈Q，则a+x,a−x均是无理数，则D(a+x)=D(a−x)=0，
因此∀x∈R,a∈Q,D(a+x)=D(a−x)，D正确.
故选：BCD
【题型9】含有一个量词的命题否定
1．（2025·贵州黔东南·三模）命题“∀x∈R,x+|x|≥0”的否定是（ ）
A．∃x∈R,x+|x|≥0 B．∃x∉R,x+|x|<0
C．∀x∈R,x+|x|<0 D．∃x∈R,x+|x|<0
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解.
【详解】由全称量词命题的否定可知，命题∀x∈R,x+|x|≥0的否定是∃x∈R,x+|x|<0，
故选：D
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知命题p:∃x>0，x3>x，则命题p的否定为（ ）
A．∃x>0，x3≤x B．∃x≤0，x3>x
C．∀x>0，x3≤x D．∀x>0，x3>x
【答案】C
【分析】由特称命题的否定是全称命题即可求得.
【详解】命题p:∃x>0，x3>x是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p的
否定为∀x>0，x3≤x．
故选：C．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）若p:∀x>0,lnx+x2+2>0，则（ ）
A．p是真命题，且¬p:∃x>0,lnx+x2+2≤0
B．p是真命题，且¬p:∃x≤0,lnx+x2+2≤0
C．p是假命题，且¬p:∃x>0,lnx+x2+2≤0
D．p是假命题，且¬p:∃x≤0,lnx+x2+2≤0
【答案】C
【分析】先利用特殊值判断命题p的真假，再结合全称量词命题的否定是存在量词命
题可得答案.
1 1 1
【详解】因为当x= 时，lnx+x2+2=−3+ +2= −1<0，所以p是假命题，
e3 e6 e6
因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以¬p:∃x>0,lnx+x2+2≤0.
故选：C.
4．（2025·四川·模拟预测）命题“∀x∈R,2x+1>0”的否定是（ ）
A．∀x∉R,2x+1>0 B．∀x∈R,2x+1≤0
C．∃x∈R,2x+1>0 D．∃x∈R,2x+1≤0
【答案】D
【分析】由全称命题的否定，将任意改为存在，并否定原结论，即可得.
【详解】由全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定为∃x∈R,2x+1≤0.
故选：D
5．（2025·河北廊坊·模拟预测）命题“∃x∈R,2sinx+3cosx≥4”的否定是（ ）
A．∀x∈R,2sinx+3cosx≥4B．∀x∈R,2sinx+3cosx<4
C．∃x∈R,2sinx+3cosx<4
D．以上说法均错误
【答案】B
【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解.
【详解】∃x∈R,2sinx+3cosx≥4的否定为：∀x∈R,2sinx+3cosx<4，
故选：B
6．（2025·江西景德镇·二模）命题：∀x∈[0,1]，x2+x−2≤0的否定是（ ）
A．∀x∈(−∞,0)∪(1,+∞)，x2+x−2>0 B．∃x∈[0,1]，x2+x−2>0
C．∃x∈(−∞,0)∪(1,+∞)，x2+x−2>0 D．∀x∈[0,1]，x2+x−2>0
【答案】B
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．
【详解】命题“∀x∈[0,1),x2+x−2≤0”的否定为“∃x∈[0,1),x2+x−2>0”.
故选：B．
【题型10】含量词命题的应用
7．（2024·四川攀枝花·一模）命题“∃x∈R,x2+(a+1)x+1<0”为假命题，则实数a
的取值范围为（ ）
A．(−∞,−3]∪[1,+∞) B．(−∞,−3)∪(1,+∞)
C．[−3,1] D．(−3,1)
【答案】C
【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，
求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，命题“∃x∈R,x2+(a+1)x+1<0”的否定，
即命题“∀x∈R,x2+(a+1)x+1≥0”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有Δ=(a+1) 2−4=a2+2a−3≤0，
解得−3≤a≤1.
故选：C.
8．（2025·河南南阳·模拟预测）已知a∈R，若“∃x∈R，a=2x+1”为假命题，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,1) B．(1,+∞) C．(−∞,1) D．[1,+∞)
【答案】C
【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解.
【详解】命题“∃x∈R，a=2x+1”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，
其否定为：∀x∈R，a≠2x+1，而函数y=2x+1的值域为(1,+∞)，
由“∃x∈R，a=2x+1”为假命题，得“∀x∈R，a≠2x+1”为真命题，则
a≤1，
所以a的取值范围是(−∞,1).
故选：C
9．（2025·辽宁·一模）若命题“∃x∈R,sinx<a”是假命题，则实数a的取值范围为
（ ）
A．(−∞,1) B．(−∞,1) C．(−∞,−1) D．(−∞,−1)
【答案】C
【分析】写出全称命题为真命题，即可求得结果.
【详解】因为“∃x∈R,sinx<a”是假命题，所以“∀x∈R,sinx≥a”是真命
题；
即a要小于等于sinx的最小值，又当x∈R时，sinx∈[−1,1)，故a≤−1.
故选：C
1．已知集合A={1,2,❑√m},B={1,m}，若A∩B=B，则m=（ ）
A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1
【答案】B
【分析】由A∩B=B得集合A，B之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可
求解.
【详解】由A∩B=B，得B⊆A，
因为B={1,m)，所以m≠1，因为集合A={1,2,❑√m)，
所以m=2或m=❑√m，解得m=2或m=0（m=1不合题意舍去），
所以m=0或2.
故选：B.
2．已知x2 ∈{1,0,x}，则实数x的值为（ ）
A．0 B．1 C．−1 D．±1
【答案】C
【分析】讨论x2对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可.
【详解】若x2=1⇒x=±1，显然x=1时不符合集合元素的互异性；
若x2=0⇒x=0，不符合集合元素的互异性；
若x2=x⇒x=0或x=1，不符合集合元素的互异性；
综上，x=−1.
故选：C
3．已知集合A={0,1)，B={0,a+1,a−1)，若A⊆B，则a=（ ）
A．2 B．0 C．0或2 D．−2或2
【答案】C
【分析】分a+1=1和a−1=1两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案.
【详解】①当a+1=1时，解得a=0，此时B={0,1,−1)，满足题意，
②当a−1=1时，解得a=2，此时B={0,3,1)，满足题意，
故选：C.
a
4．已知集合A={0, a+b, }, B={0, 1−b, 1)(a, b∈R)，若A=B，则a+2b=
b
（ ）
A．−2 B．2 C．−1 D．1
【答案】D
【分析】利用集合相等列出方程组，结合集合的互异性求解.
a
【详解】集合A={0, a+b, }, B={0, 1−b, 1)(a, b∈R)，由A=B，
b
{a+b=1
) a a
得 a ，解得a=0,b=1，此时集合A中 =0与 ≠0矛盾；
=1−b b b
b{a+b=1−b
) 1 2
或 a ，解得a=b= ，此时A=B={0, ,1}，符合题意，
=1 3 3
b
所以a+2b=1.
故选：D
5．若集合A={x∈N∣1≤x≤5}，则集合A的真子集有（ ）个.
A．7 B．15 C．31 D．63
【答案】C
【分析】根据题意求集合A的元素个数，进而求真子集个数.
【详解】由题意可知：集合A={x∈N∣1≤x≤5}={1,2,3,4,5)，共5个元素，
所以集合A的真子集有25−1=31个.
故选：C.
6．设集合A={x||x+2)≤2}，B={x|x2+2x≤3}，C={x|x∈A且x∉B}，则集合
C=（ ）
A．∅ B．[−4,−3) C．(−4,−3) D．[0,1)
【答案】B
【分析】解出绝对值不等式与一元二次不等式后，再结合集合的性质即可得.
【详解】由|x+2)≤2可得−2≤x+2≤2，即−4≤x≤0，故A={x|−4≤x≤0}，
由x2+2x≤3可得(x+3)(x−1)≤0，即−3≤x≤1，故B={x|−3≤x≤1}，
由C={x|x∈A且 x∉B}，故C=[−4,−3).
故选：B.
7．已知集合A={0,a2),B={1,a+1,a−1)，则“a=1”是“A⊆B”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当a=1时，A={0,1},B={0,1,2}，则A⊆B；
反之，当A⊆B时，a+1=0或a−1=0，解得a=−1或a=1，
若a=−1，A={0,1},B={0,1,−2}，满足A⊆B，若a=1，显然满足A⊆B，
因此a=−1或a=1，
所以“a=1”是“A⊆B”的充分不必要条件.故选：B
8．已知集合A={−1,0,1}，B={y|y=2x,x∈A)，则（ ）
A．A∩B={1) B．A∪B={−1,0,1) C．B⊆A D．A⊆B
【答案】A
【分析】借助元素与集合的关系可得B，即可得解.
【详解】依题意A={−1,0,1}，B={y|y=2x,x∈A)= {1 ,1,2 ) ，因此A∩B={1).
2
故选：A.
9．a，b∈R，请从以下选项中选出“a>b”的充分条件（ ）
A．3a>4b B．a2>b2 C．a>|b| D．2a>3b
【答案】C
【分析】根据充分条件的定义，结合特殊值，即可判断选项.
【详解】A.若a=−4,b=−3.5，满足3a>4b，不满足a>b，故A不是充分条件；
B.当a=−2,b=1满足a2>b2，不满足a>b，所以B不是充分条件；
C.若a>|b)，又因为|b)≥b，所以a>b，所以C是充分条件；
D.a=−3，b=−2，满足2a>3b，不满足a>b，故D不是充分条件.
故选：C
