文档文本内容
专题 01 集合与常用逻辑用语
【考点1 集合的含义和表示】
【考点2 集合的基本关系】
【考点3 集合的交并补运算】
【考点4 子集的个数求解】
【考点5 集合中的求参问题】
【考点6 韦恩图的应用】
【考点7 集合的新定义问题】
【考点8 充分条件与必要条件的判定】
【考点9 充分条件与必要条件的应用】
【考点10 全称量词与特称量词命题】
知识点1 集合与元素
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
（4）常见数集的记法．
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
知识点2 集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合A中任意一个元素都是集
合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A．
（2）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且⊆ x∉A，⊇就称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)．
（3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．
（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，
是任何非空集合的真子集．
知识点3 集合的基本运算
表示
集合语言 图形语言 记法
运算
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁ A
U
知识点4充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p
⇏
p是q的充要条件 p⇔q
⇏
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
知识点5 全称量词与存在量词
⇏ ⇏
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并
用符号“∀”表示．
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“∃”表示．
知识点6 全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x)否定 ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，﹁p(x)
【考点1 集合的含义和表示】
方法技巧点拨：
解决集合含义问题的关键有三点．
（1）确定构成集合的元素．（2）确定元素的限制条件．
（3）根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【典例1】（2024•乐山三模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a+b，
a A，b B}，则集合C的元素个数为（ ）
∈A．2∈ B．3 C．4 D．5
【典例2】（2024•雁峰区校级模拟）若a {1，2，a2}，则a的取值集合为（ ）
A．{0} B．{0，1} ∈ C．{0，2} D．{0，1，2}
【典例3】（2024•湖北模拟）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，2}，若定义集合运算：A*B＝
{z|z＝xy，x A，y B}，则集合A*B的所有元素之和为（ ）
A．6 ∈ ∈ B．3 C．2 D．0
【典例4】（2024•杨浦区校级三模）已知集合P＝{1，2}，Q＝{1，3}，M＝{x|x P或
x Q}，则M＝（ ） ∈
A∈．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3}
【典例5】（2024•宝鸡模拟）若集合A＝{x R|ax2﹣2x+1＝0}中只有一个元素，则实数a＝
（ ） ∈
A．1 B．0 C．2 D．0或1
【考点2 集合的基本关系】
方法技巧点拨：
1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否
则易造成漏解．
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的
关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问
题．【典例1】（2024•利通区校级模拟）设集合A＝{0，1}，B＝{1，a﹣2，a﹣1}，若A B，
则a＝（ ） ⊆
A．2 B．3 C．1 D．1或2
【典例2】（2024•浏阳市校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，集合B＝{a+1，a﹣1，
3}，若A B，则a＝（ ）
A．﹣1 ⊆ B．0 C．1 D．2
【典例3】（2024•汕头模拟）已知集合 M＝{x N|log x≤1}，N＝{﹣1，0，1，2}，若
2
M A N，则满足集合A的个数为（ ） ∈
A．⊆1⊆ B．2 C．3 D．4
【典例 4】（2024•岳麓区校级模拟）已知集合 A＝{x|1＜x＜2024}，B＝{x|x＜a}，若
A B，则实数a的取值范围是（ ）
A⊆．（2024，+∞） B．[2024，+∞） C．（﹣∞，2024] D．（﹣∞，2024）
【考点3 集合的交并补运算】
【典例1】（2024•兴庆区校级模拟）已知集合A＝{x|lg（x﹣1）≤0}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，
则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3] B．（1，2] C．（1，3] D．[﹣1，2]
【典例2】（2024•榆阳区校级一模）设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}， ，
则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，4） B．（0，1） C．（1，4） D．（0，4）
【典例3】（2024•蜀山区校级模拟）设集合A＝{x|x＞3}，B＝{x| ≤0}，则（ A）∩B
R
＝（ ） ∁
A．（1，3） B．[1，3] C．（3，4） D．[3，4）
【典例4】（2024•眉山模拟）设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣2，
﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，3}，则 （A∪B）＝（ ）
U
A．{3} ∁ B．{﹣3，﹣1，1，2，3}
C．{﹣3，﹣2，0，2，3} D．{﹣3，2}
【典例 5】（2024•袁州区校级模拟）已知集合 A＝{3，5，7，9}，B＝{x|x＝2a﹣3，
a A}，C＝{5，6，8}，则（A∩B）∪C＝（ ）
A∈．{3} B．{3，5，6，8} C．{5，6，7，8} D．{3，5，6，7，8}
【考点4子集的个数求解】
方法技巧：
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
【典例1】（2024•全国一模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b A}，则集合
B的真子集个数是（ ） ∈
A．3 B．4 C．7 D．8
【典例2】（2024•西秀区校级一模）已知集合A＝{x N|x＜4}，B＝{x|x＝n2﹣1，n A}，P
＝A∩B，则集合P的子集共有（ ） ∈ ∈
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
【典例3】（2024•海陵区校级模拟）若集合A＝{x Z|m＜x＜4}有15个真子集，则实数m
的取值范围为（ ） ∈
A．[﹣1，0） B．（﹣1，0] C．（﹣1，0） D．[﹣1，0]
【典例4】（2024•秦淮区校级二模）已知集合A＝{x Z|x2﹣2x≤0}，则A的子集个数为（
） ∈
A．4 B．7 C．8 D．16
【考点5 集合中的求参问题】
【典例1】（2024•青羊区校级模拟）已知集合A＝{x|3x2﹣2x﹣1＜0}，B＝{x|x≥a}，若
A∩B＝ ，则实数a的取值范围为（ ）
∅
A．（1，+∞） B． C．[1，+∞） D．【典例2】（2024•河南模拟）已知集合A＝{﹣5，﹣4，0，2}，B＝{x|﹣5＜x＜a﹣2}，若
A∩B中有2个元素，则实数a的取值范围为（ ）
A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣2，2] D．（2，4）
【典例3】（2024•开封模拟）设U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞a}，且（ A）
U
∪B＝R，则实数a的取值范围是（ ） ∁
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【典例4】（2024•广东模拟）若集合A＝{x|3x2﹣8x﹣3≤0}，B＝{x|x＞1}，定义集合A﹣B
＝{x|x A且x B}，则A﹣B＝（ ）
∈ ∉
A． B． C． D．（1，3]
【典例5】（2024•铜川三模）已知集合A＝{x|x＜m}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，若A B，则实
数m的取值范围为（ ） ⊇
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（3，+∞） D．[3，+∞）
【考点6 韦恩图的应用】
【典例1】（2024•延边州模拟）已知集合U＝{1，2，3，4，6}，A＝{1，2}，B＝{2，4，
6}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{1，2，4，6} B．{1，2，3} C．{1} D．{1，2，3，6}
【典例2】（2024•邵阳模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6}，
如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{x|﹣1≤x≤6} B．{x|x＜﹣1}
C．{x|x＞6} D．{x|x＜﹣1或x＞6}【典例3】（2024•沙坪坝区校级模拟）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影
部分所表示的集合是（ ）
A． （A∪B） B．A∪ B
U U
C．∁U A∩（
U
B） D．（ U∁A）∪（
U
B）
【典例∁4】（20∁24•浙江模拟）若全集U，集合A，B及∁其关系用∁韦恩图表示如图，则图中
阴影表示为（ ）
A． （A∩B） B． （A∪B） C．（ A）∩B D．A∩（ B）
U U U U
【典例∁5】（2024•芝罘区校级∁模拟）若集合A＝{x|x2﹣∁3x＜0}，B＝{x|x2≥1}，则∁图中阴影
部分表示的集合为（ ）
A．{x|x＞0} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1≤x＜3} D．{x|0＜x＜1或x≥3}
【考点7 集合的新定义问题】
方法技巧：
（1）看清集合中的元素．
（2）对集合进行化简使问题变得简单明了．
（3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn图．
【典例1】（2024•南通模拟）定义集合运算A B＝{z|z＝xy（x+y），x A，y B}，集合A
＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A B所有元⊙素之和为 ． ∈ ∈
⊙【典例2】（2024•河北模拟）已知函数y＝ln（x2﹣3x+2）的定义域为集合A，值域为集合
B，则 A＝（ ）
B
A．（∁﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，l]∪[2，+∞）
C．（1，2） D．[1，2]
【典例3】（2024•深圳校级模拟）定义两集合M，N的差集：M﹣N＝{x|x M且x N}，已
知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A﹣（A﹣B）的子集个数是（∈ ）个∉ ．
A．2 B．4 C．8 D．16
【典例 4】（2024•山东一模）用 C（A）表示非空集合 A 中的元素个数，定义
，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）•（x2+ax+2）
＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【典例5】（2024•雨花区校级一模）对于任意两个正实数a，b，定义 ，其中
常数 ．若u≥v＞0，且u v与v u都是集合 的元
素，则u v＝ ． ⊗ ⊗
【考点8 充⊗分条件与必要条件的判定】
方法技巧
（1）定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件
⇒ ⇒
中涉及参数范围的推断问题
【典例1】（2024•通州区校级三模）已知a＞0，b＞0，则“a2+b2＞2”是“a+b＞2”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件【典例2】（2024•船营区校级一模）已知向量 ， ，则“x＝3”是
“ ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例 3】（2024•古蔺县校级模拟）设 x R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的
（ ） ∈
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例 4】（2024•碑林区校级模拟）在△ ABC 中，“∠ACB 是钝角”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例5】（2024•蓟州区校级一模）“0＜a＜b”是“lg|a|﹣b2＜lg|b|﹣a2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点9 充分条件与必要条件的应用】
方法技巧
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合
之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
（2）要注意区间端点值的检验．【典例1】（2024•和平区二模）若x R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分
条件为（ ） ∈
A．﹣2＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0
【典例 2】（2024•辽宁三模）已知正实数 a，b，则“a+2b≤2”是“a2+4b2≤2”的
（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【典例3】（2024•河东区校级三模）设x R，不等式|x﹣3|＜2的一个充分不必要条件是（
） ∈
A．1＜x＜5 B．x＞0 C．x＜4 D．2≤x≤3
【典例4】（2024•新县校级模拟）已知曲线C： ＝1（m≠0），则“m （0，
∈
4）”是“曲线C的焦点在x轴上”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例5】（2024•顺义区模拟）若函数 f（x）＝ 则“x +x ＞0”是“f
1 2
（x ）+f（x ）＞0”的（ ）
1 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点10全称量词与特称量词命题】方法技巧：
（1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命
题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否
定的真假．
（2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可
利用等价命题求参数的范围．
【典例1】（2024•凉山州模拟）已知命题“ +m≤0”是
假命题，则m的取值范围为（ ）
A．[﹣2，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2]
【典例2】（2024•昌乐县校级模拟）“a＜﹣1”是“ x R，asinx +1＜0”的（ ）
0 0
A．充分不必要条件 ∃ ∈
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例3】（2024•莲湖区校级二模）设函数f（x）＝ax2﹣2ax，命题“ x [2，6]，f（x）
≤﹣2a+3”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） ∃ ∈
A． B．（3，+∞） C．（2，+∞） D．
【典例4】（2024•重庆模拟）若命题 x R，﹣x2﹣2mx+2m﹣3≥0”为真命题，则m的取
值范围为 ． ∃ ∈
一．选择题（共11小题）1．（2024•平罗县校级三模）已知集合A＝{x|x2＝x}，则﹣1与集合A的关系为（ ）
A．﹣1 A B．﹣1 A C．﹣1 A D．﹣1 A
2．（2024∈•莲湖区校级模拟）已∉知集合A＝{x|﹣1＜x＜⊆7}，B＝{x|0＜x＜9}，⊂则A∪B＝（
）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，9） C．（0，7） D．（0，9）
3．（2024•眉山模拟）设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣2，﹣1，
0，1}，B＝{﹣1，1，3}，则{﹣3，2}＝（ ）
A．（ A）∩B B．（ A）∪B C． （A∩B） D． （A∪B）
U U U U
4．（202∁4•河南模拟）已知集合∁ A＝{x|0＜x＜1}，B∁＝{x|0＜x≤2a}，若A∁B，则a的取值
范围为（ ） ⊆
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（0，1] D．（0， ]
5．（2024•晋城三模）已知集合A＝{x Z|x+1＞0}，B＝{x|x≤a}，若A∩B中有2个元素，
则a的取值范围是（ ） ∈
A．[2，4） B．[1，2） C．[2，4] D．[1，2]
6．（2024•长沙三模）已知集合 A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合
A∪B
（A∩B）＝（ ） ∁
A．（﹣1，1） B．（﹣2，2）
C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．（﹣2，﹣1]∪[1，2）
7．（2024•洪山区校级模拟）设全集 U＝R，集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|log x≤1}，则
2
A∩B＝（ ）
A．（0，3） B．（0，3] C．（0，2] D．（1，2]
8．（2024•碑林区校级模拟）满足M {a，b，c，d}且M∩{a，b，c}＝{a}的集合M的个
数为（ ） ⊆
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024•南通模拟）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|log （x﹣1）≤2}，则集合A∩B
2
的子集个数为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
10．（2024•重庆模拟）已知集合 ，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{1} B．{0，1，4} C．{﹣1，1，4} D．{﹣1，0，1，4}
11．（2024•凉山州模拟）已知集合A＝{x|x＝2k+1，k Z}，B＝{x|x＝4k+1，k Z}，则 B
A
＝（ ） ∈ ∈ ∁
A．{x|x＝4k+3} B．{x|x＝4k+3，k Z}
C．{x|x＝2k+3，k Z} D． ∈
二．填空题（共4小题∈ ） ∅
12．（2024•邹城市校级三模）已知集合A＝{m+2，1，4}，B＝{m2，1}，若B A，则实数
m＝ ． ⊆
13．（2024•泰安模拟）已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{y|y＝x2，x A}，C＝{y|y＝x+a，
x A}，若B∩C＝ ，则实数a的取值范围是 ∈ ．
14．∈（2024•松江区校∅级模拟）已知集合A＝{（x，y）|2x+y＝5}，B＝{（x，y）|3x+2y＝
8}，则A∩B＝ ．
15．（2024•南通模拟）已知X为包含v个元素的集合（v N*，v≥3）．设A为由X的一些
三元子集（含有三个，元素的子集）组成的集合，使得∈X中的任意两个不同的元素，都
恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称（X，A）组成一个v阶的Steiner三元系．
若（X，A）为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为 ．
三．解答题（共1小题）
16．（2024•海淀区校级模拟）设k是正整数，集合A至少有两个元素，且A N*．如果对
于A中的任意两个不同的元素x，y，都有|x﹣y|≠k，则称A具有性质P（k）⊆．
（1）试判断集合B＝{1，2，3，4}和C＝{1，4，7，10}是否具有性质P（2）？并说明
理由；（2）若集合 A＝{a ，a ，⋯，a } {1，2，⋯，20}，求证：A不可能具有性质 P
1 2 12
（3）； ⊆
（3）若集合A {1，2，⋯，2023}，且同时具有性质P（4）和P（7），求集合A中元
素个数的最大值⊆．
