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专题01 空间几何体的外接球与内切球问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................3
题型一：内切球等体积法.................................3
题型二：内切球独立截面法...............................3
题型三：外接球公式法...................................4
题型四：外接球补型法...................................4
题型五：外接球单面定球心法.............................4
题型六：外接球双面定球心法.............................5
三、专项训练..............................................5
一、必备秘籍
1．球与多面体的接、切
定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面
体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多
面体，这个球是多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥
中，内切球为球
，求球半径
.方法如下：
即：
，可求
1
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出
.
类型二 球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
c
a
b
图1
C
P
A
B
a
b
c
图2
P
C
B
A
a
b
c
图3
C
B
P
A
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（
AB =CD ，AD =BC ，AC =BD ）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥
中，选
中底面
，确定其外接圆圆心
（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边
中点上，普通三角形用正弦定理定外心
）；
②过外心
做（找）底面
的垂线，如图中
面
,则球心一定在直线（注
意不一定在线段
上）
上；
③计算求半径
: 在直线
上任取一点
如图：则
，利用公式
可计算出球半径
.
4、双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥
中：
O
H
B
A
C
P
O2
O1
2
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①选定底面
，定
外接圆圆心
②选定面
，定
外接圆圆心
③分别过
做面
的垂线，和
做面
的垂线，两垂线交点即为外接球球心
.
二、典型题型
题型一：内切球等体积法
1．（2024·全国·模拟预测）将菱形
沿对角线
折起，当四面体
体积最大
时，它的内切球和外接球表面积之比为 ．
2．（23-24 高三下·山东济宁·开学考试）三棱锥
中，
是边长为
的正三角
形，顶点
在底面
上的射影是
的中心，且
．三棱锥
的内切球为
球
，外接球为球
，若球
的半径为，球
的半径为
，则
；若
为
球
上任意一点，
为球
上任意一点，则线段
的最小值为
3．（23-24 高二上·江西景德镇·期中）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为
直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，
底面
，
，且
，则该四面体的外接球的表面积为 ，该四面体内切球表面积
为 ．
题型二：内切球独立截面法
1．（23-24 高一下·河南三门峡·期中）已知三棱锥
的棱长均为4，先在三棱锥
内放入一个内切球
，然后再放入一个球
，使得球
与球
及三棱锥
的三个侧面都相切，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·广东深圳·二模）已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为
，则该圆锥的表面
积为 ．
注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．
3．（2024 高三·全国·专题练习）圆台内有一个内切球，球的表面积和圆台的侧面积的比为
3
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，求球和圆台的体积之比．
题型三：外接球公式法
1．（2024·天津·二模）已知正方体
的外接球的体积为
，点
为棱
的中点，则三棱锥
的体积为（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一下·浙江宁波·期中）已知
是球O 表面上不同的点，
平面
，
，
，
，若球
的体积为
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
题型四：外接球补型法
1．（2024·河南信阳·模拟预测）把
沿三条中位线折叠成四面体
，其中
，
，
，则四面体
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥
的四个面是全等的等腰三角形，且
，
，则三棱锥
的外接球半径为 ；点
为三棱锥
的外接球
球面上一动点，
时，动点
的轨迹长度为 ．
题型五：外接球单面定球心法
1．（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥
中，
，
，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥
中，
，
，底面
4
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是边长为1 的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·浙江嘉兴·二模）在四面体
中，
，且
与
所成的角为
.若四面体
的体积为
，则它的外接球半径的最小值为
.
题型六：外接球双面定球心法
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知长方体
中，侧面
的面积为2，
若在棱
上存在一点
，使得
为等边三角形，则四棱锥
外接球表面积
的最小值为 .
2．（23-24 高二上·江西九江·期中）如图，
是边长为
的正三角形
的一条中位
线，将
沿
翻折至
，当三棱锥
的体积最大时，四棱锥
外接球
的表面积为 ；过
靠近点
的三等分点
作球
的截面，则所得截
面圆面积的最小值是
三、专项训练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知三棱柱
的侧棱垂直于底面，且
，
，
，
，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等
于（ ）．
A．
B．
C．
D．
5
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2．（2024 高三·全国·专题练习）在三棱锥
中，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川泸州·三模）已知圆锥的体积为
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥
的内切球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知四面体ABCD 的各顶点均在球
的球面上，平面
平面
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高二下·湖南衡阳·阶段练习）将一个母线长为
，底面半径为
的圆锥木头
加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·广西·二模）已知轴截面为正方形的圆柱
的体积与球
的体积之比为
，则
圆柱
的表面积与
球的表面积之比为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
7．（2024·广东·二模）已知球
与圆台
的上、下底面和侧面均相切，且球
与圆台
的体积之比为
，则球
与圆台
的表面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·陕西安康·模拟预测）在四棱锥
中，底面四边形
为等腰梯形，
，
，
是边长为2 的正三角形，
，则
四棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（23-24 高一下·浙江金华·期中）已知三棱锥
的三条侧棱
，
，
两两互
相垂直，且
，
，则此三棱锥外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6
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10．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥内半径最大
的球的体积为 .
11．（2024·全国·模拟预测）在菱形
中，
，
，将
沿
翻
折，使二面角
的余弦值为
，则四面体
的外接球的表面积为 .
12．（23-24 高三下·河南·阶段练习）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ，则此球的
表面积等于 .
7
