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专题02 常用逻辑用语
知
识
梳
理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题
型
归
类
题型一：充分、必要条件的判定
题型二：由充分条件、必要条件求参数的范围
题型三：充要条件的探求与证明
题型四：全称量词与存在量词
题型五：命题中参数的取值范围
培
优
训
练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强
化
测
试
单选题：共8 题
多选题：共4 题
填空题：共4 题
解答题：共6 题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.
2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.
3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.
【考点预测】
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q⇒ p
p 是q 的必要不充分条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p⇒q 且q⇒p
1
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2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”
表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中的任意一个x，有p(x)成立
存在M 中的元素x，p(x)成立
简记
∀ x ∈
M
，
p ( x )
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，非p(x)
∀ x ∈
M
，
非
p ( x )
【常用结论】
1.区别A 是B 的充分不必要条件(A⇒B 且B⇒ A)，与A 的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒B)两
者的不同.
2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A⊆B，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.
(2)若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.
(3)若A＝B，则p 是q 的充要条件.
3.p 是q 的充分不必要条件，等价于非q 是非p 的充分不必要条件.
4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.
6.命题p 和非p 的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.
【方法技巧】
1.充分条件、必要条件的两种判定方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的
推断问题.
2.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出
关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
3.量词的否定注意事项
(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.
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(2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x，证明p(x)
成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)
成立即可.
(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是
利用等价命题，即p 与非p 的关系，转化成非p 的真假求参数的范围.
二、【题型归类】
【题型一】充分、必要条件的判定
【典例1】已知p：x<1，q：log2x<0，则p 是q 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例2】等比数列{an}的公比为q，前n 项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(
)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【典例3】在△ABC 中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC 为直角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【题型二】由充分条件、必要条件求参数的范围
【典例1】已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A 是x∈B
的必要条件，求m 的取值范围．
【典例2】已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是(
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)
A．(－∞，－1]
B．(－∞，－1)
C．[1，＋∞)
D．(1，＋∞)
【典例3】若不等式(x－a)2<1 成立的充分不必要条件是1<x<2，则实数a 的取值范围是
________．
【题型三】充要条件的探求与证明
【典例1】数列{an}的前n 项和Sn＝An2＋Bn(A，B 是常数)是数列{an}是等差数列的什么条件？
【典例2】已知m∈Z，关于x 的一元二次方程
x2－4x＋4m＝0， ①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②
求方程①②的根都是整数的充要条件．
【典例3】求方程ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负实根的充要条件．
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【题型四】全称量词与存在量词
【典例1】下列四个命题中真命题是( )
A．∀n∈R，n2≥n
B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m
C．∀n∈R，∃m∈R，m2<n
D．∀n∈R，n2<n
【典例2】下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0
B．∀x∈N＋，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1
D．∃x∈R，tan x＝2
【典例3】已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则¬p 是( )
A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
【题型五】命题中参数的取值范围
【典例1】已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则
实数m 的取值范围是________________．
【典例2】已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是
______________．
【典例3】若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m 的取值范围是( )
A．－4≤m≤－3
B．m<－4
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C．m≥－4
D．－4≤m≤0
三、【培优训练】
【训练一】已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1).
(1)若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________；
(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a 的取值范围为________.
【训练二】(多选)下列说法正确的是( )
A.“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B.“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件
C.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B
D.“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
【训练三】f(x)＝－x2－6x－3，记max{p，q}表示p，q 二者中较大的一个，函数g(x)＝max，
若m<－2，且∀x1∈[m，－2]，∃x2∈[0，＋∞)，使f(x1)＝g(x2)成立，则m 的最小值为
________．
【训练四】已知p：实数m 满足3a<m<4a(a>0)，q：方程＋＝1 表示焦点在y 轴上的椭圆，若
p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________．
【训练五】设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝的定义域为集合B.已知
α：x∈A∩B，β：x 满足2x＋p≤0.且α 是β 的充分条件，求实数p 的取值范围．
【训练六】(多选)已知a∈R，则使命题“∀x∈，x2－sin x－a≥0”为真命题的一个充分不必要
条件是( )
A．a<1
B．a≤2
C．a<
D．a≤
四、【强化测试】
【单选题】
1. 设U 为全集，A，B 是集合，则“存在集合C 使得A⊆C，B⊆∁UC” 是“A∩B＝∅”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
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C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2. 命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p 为( )
A．任意常数列不是等比数列
B．存在常数列是等比数列
C．任意常数列都是等比数列
D．不存在常数列是等比数列
3. 设平面向量a，b，c 均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4. 已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈，f(x)<0，则( )
A．p 是假命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0
B．p 是假命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0
C．p 是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0
D．p 是真命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0
5. 已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1，3)
C．(－3，＋∞)
D．(－3，1)
6. 王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中
“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7. “ln(x＋1)<0”是“x2＋2x<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8. “a<1”是“∀x>0，≥a”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【多选题】
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9. 已知a，b，c 是实数，则下列结论中正确的是( )
A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件
B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件
10. 下列说法正确的是( )
A．“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件
B．定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b 的最大值为30
C．命题“∃x0∈R，x0＋≥2”的否定是“∀x∈R，x＋>2”
D．函数y＝sin x＋cos x－无零点
11. 下列命题的否定是全称命题且为真命题的有( )
A．∃x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
12. 已知两条直线l，m 及三个平面α，β，γ，则α⊥β 的充分条件是( )
A．l⊂α，l⊥β
B．l⊥α，m⊥β，l⊥m
C．α⊥γ，β∥γ
D．l⊂α，m⊂β，l⊥m
【填空题】
13. 若命题p 的否定是“∀x∈(0，＋∞)，>x＋1”，则命题p 可写为_______________．
14. 在△ABC 中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．
15. 条件p：x>a，条件q：x≥2.
(1)若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是___________________________；
(2)若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是____________________________．
16. 若∃x0∈，使得2x－λx0＋1＜0 成立是假命题，则实数λ 的取值范围是________．
【解答题】
17. 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)是否存在实数m，使x∈P 是x∈S 的充要条件，若存在，求出m 的取值范围；
(2)是否存在实数m，使x∈P 是x∈S 的必要条件，若存在，求出m 的取值范围．
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18. 已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的
取值范围．
19. 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P 是x∈S 的必要条件，
求m 的取值范围．
20. 已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m 的取值范围．
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21. 已知x，y∈R，求证：＝＋成立的充要条件是xy≥0.
22. 条件p：x>a，条件q：x≥2.
(1)若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围；
(2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．
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