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重难点培优01 配凑角、半角和万能公式、三倍角、和差化
积、积化和差公式的应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 配凑角（给值求值、给值求角）（★★★★★）........................................................................3
题型二 半角公式（★★
）
★
........................................................................................................................4
题型三 万能公式（★★
）
★
........................................................................................................................5
题型四 三倍角公式（★★
）
★
....................................................................................................................6
题型五 和差化积公式（★★
）
★★
............................................................................................................7
题型六 积化和差公式（★★
）
★★
............................................................................................................9
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................10
检测
组 重难知识巩固
Ⅰ
..............................................................................................................................10
检测
组 创新能力提升
Ⅱ
..............................................................................................................................13
一、同角三角函数基本关系
1、平方关系：
．
2、商数关系：
；
二、三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作
；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断
所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当
为奇数是，奇变，正变余，余变正；当
“
”
为偶数时，偶不变函数名保持不变即可．
“
”
【常用结论】
1．利用
可以实现角
的正弦、余弦的互化，利用
可以实现角
的弦切互
化．
2．
三、两角和差公式
①
；
②
；
③
；
变形：tanα±tan β=tan(α±β)(1∓tanα tan β)；
tanα⋅tan β=1−tanα+tan β
tan(α+β)
=tanα−tan β
tan(α−β)
−1
四、二倍角公式
①
；
②
；
③
；
变式：
sin2α= 2sinα cosα
sin2α+cos2α
= 2tanα
1+tan2α
；cos2α=cos2α−sin2α
sin2α+cos2α
=1−tan2α
1+tan2α
；tan α
2 =sinα
1+cosα =1−cosα
sinα
五、降幂公式
六、辅助角公式
asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)（其中
sinϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tanϕ=b
a ）．
题型
一
配凑角（
、
角）
给值求值
给值求
【技巧通法·提分快招】
拆分角的变形：①
；
；②
；
③
；④
；⑤
．
其他：
1．（2025·甘肃白银·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·河北·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·广东广州·三模）已知
都是锐角，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·云南昆明·月考）已知
，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，
，且
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若
，且
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
9．若
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·四川·模拟预测）已知
，
，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高三下·上海·月考）已知
为锐角,若
，则
.
12．已知
，若
，则
13．（23-24 高三上·河北石家庄·月考）若
，
，
，
，则
.
题型二 半角公式
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
且
，则
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
3．（2025·辽宁本溪·模拟预测）若
，且
，则
.
4．已知
为锐角，且
，
．则
．
5．已知
，
，则
.
题型三 万能公式
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24 高三下·河北张家口·开学考试）已知
，
是第四象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知第二象限角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·重庆·月考）已知
，
，则
.
5．已知
，则
．
题型四 三倍角公式
【技巧通法·提分快招】
1、正弦三倍角公式：
2、余弦三倍角公式：
3、正切三倍角公式：
推导过程：
1.
3
2.同理：
3.
.
1．已知三倍角公式
，则
．
2．函数
的最小正周期为（ ）.
A.
B.
C.
D.
3．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式
，实际上类似的还有三倍角公式，则下列
说法中不正确的有（ ）
A．
B．存在
时，使得
C．给定正整数
，若
，
，且
，则
D．设方程
的三个实数根为
，
，
，并且
，则
题型五 和差化积公式
【技巧通法·提分快招】
和差化积公式:
口诀：
正弦＋正弦,正弦在前；
正弦－正弦,正弦在后；
余弦＋余弦,余弦并肩；
余弦－余弦，余弦靠边。
证明：由
，
，得
.其他同理可证.
1．
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖南常德·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．7
C．
D．
4．在
中，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·吉林长春·一模）已知
，
是函数
，
的两个零点，则
．
6．在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把
与
，
与
相加或
相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：
.
如果角
与
满足
，
，则
.
题型六 积化和差公式
【技巧通法·提分快招】
积化和差公式：
；
；
；
.
口诀：
积化和差得和差，余弦在后要相加；
异名函数取正弦，正弦相乘取负号。
证明：由两角和与差的正弦公式得
两式相加可得
，
两式相减可得
．
同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式.
1．若
，则
．
2．已知
，则
.
3．计算：
．
4．已知
，那么
．
5．（24-25 高三下·安徽安庆·月考）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
检测
重难知识
固
Ⅰ组
巩
1．若
是第三象限角，且
，则
的值为（ ）
A．
B．5
C．
D．
2．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·湖北荆州·月考）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
5．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
6．已知
是第三象限的角，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·山东·期中）若
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．函数
在
内的零点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．美国数学家Jack Kiefer 于1953 年提出0.618 优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金
分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20 世纪60、70 年代对其进行简化、补充，并在我国进
行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比
，现给出三倍角公式
，
则与
的关系式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
13．（2024·山东·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．计算：
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（多选题）下列各式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（23-24 高三上·江苏泰州·期中）（多选题）由两角和差公式我们得到倍角公式
，
实际上
也可以表示为
的三次多项式，像
、
、
、
这些非特殊角我们可以通过观察
发现它们之间的相互关系，进而求出各自的三角函数值.则（ ）
A．
B．
C．已知方程
在
上有三个根，记为
，
，
，则
D．对于任意的
，当
时一定有
17．（23-24 高三上·山西忻州·月考）已知
，则
.
18．若
，则
．
19．（24-25 高三上·吉林长春·期末）若
，且
，
是
的两个根，则
.
20．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知
，则
．
21．已知
，
，则
22．已知三倍角公式
，则
．
23．已知
，则
．
24．（23-24 高三上·重庆·期中）已知
，
，且
，
，则
.
25．（24-25 高三上·江西上饶·期中）已知
，
满足
，
，则
.
26．（24-25 高三上·河北衡水·开学考试）研究发现利用函数
的单调性，可以比
与
的大
小，请作出你的结论：
．（用<，=，>填空）
27．通过两角和的正．余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：
(1)根据上述过程，推导出
关于
的表达式；
(2)求
的值；
(3)求证：
是方程
的一个根．
28．（2024·福建厦门·模拟预测）三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研
究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展
开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.
(1)证明：
；
(2)若
，
，求
的值.
检测
能力提
Ⅱ组
创新
升
1．（2025·江西南昌·二模）已知
、
终边不重合，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三下·重庆大足·月考）设
，
，
，
，若满足条件的
与
存在且唯一，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
3．已知
，
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·辽宁丹东·一模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三上·江苏苏州·月考）求值：
（ ）
A．
B．
C．1
D．
6．（23-24 高三下·全国·强基计划）（多选题）已知
，则
可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
均为锐角，且
，
，求
，
的值．
8．中国数学家华罗庚倡导的“0.618 优选法在各个领域应用广泛，
”
0.618 就是黄金分割比的近似值，这一数
值也可以表示为
.三倍角公式是把形如
，
等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，
广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)已知
试证明此三倍角公式；
(2)若角
满足
，求
的值（已知
）；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值
.
9．（24-25 高三上·贵州贵阳·月考）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公
式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①
；②
.根据以上研究结论，回答：
(1)在
和
中任选一个进行证明；
①
②
(2)已知函数
有三个零点
且
.
（i）求
的取值范围；
（ii）若
，证明：
.
