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重难点培优01 配凑角、半角和万能公式、三倍角、和差化
积、积化和差公式的应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 配凑角（给值求值、给值求角）（★★★★★）........................................................................3
题型二 半角公式（★★★）......................................................................................................................10
题型三 万能公式（★★★）......................................................................................................................13
题型四 三倍角公式（★★★）..................................................................................................................15
题型五 和差化积公式（★★★★）..........................................................................................................18
题型六 积化和差公式（★★★★）..........................................................................................................22
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................25
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................25
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................41
一、同角三角函数基本关系
1、平方关系：
．
2、商数关系：
；
二、三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作
；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断
所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当
为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当
为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【常用结论】
1．利用
可以实现角
的正弦、余弦的互化，利用
可以实现角
的弦切互
化．
2．
三、两角和差公式
①
；
②
；
③
；
变形：tanα±tan β=tan(α±β)(1∓tanα tan β)；
tanα⋅tan β=1−tanα+tan β
tan(α+β)
=tanα−tan β
tan(α−β)
−1
四、二倍角公式
①
；
②
；
③
；
变式：
sin2α= 2sinα cosα
sin2α+cos2α
= 2tanα
1+tan2α
；cos2α=cos2α−sin2α
sin2α+cos2α
=1−tan2α
1+tan2α
；tan α
2 =sinα
1+cosα =1−cosα
sinα
五、降幂公式
六、辅助角公式
asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)（其中
sinϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tanϕ=b
a ）．
题型一 配凑角（给值求值、给值求角）
【技巧通法·提分快招】
拆分角的变形：①
；
；②
；
③
；④
；⑤
．
其他：
1．（2025·甘肃白银·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式和二倍角余弦公式求解即可.
【详解】
.
.
故选：D.
2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的诱导公式对
进行化简，结合已知条件求解.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
=
=
.
故选：D.
3．（24-25 高三上·河北·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据已知求出
，再根据两角和的余弦公式求出
即可得解.
【详解】由
，得
，所以
，
又
，
所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
.
故选：D.
4．（2025·广东广州·三模）已知
都是锐角，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】法一：先利用平方关系求出
，
，再根据
，利用两角差的余
弦公式展开计算即可.法二：
，可得
，进而利用
可求值.
【详解】法一：由
是锐角，得
.
因为
是锐角，所以
.
又因为
，所以
，
所以
.
法二：由已知可得
，所以
，
∴
.
故选：C.
5．（24-25 高三上·云南昆明·月考）已知
，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
即可求解.
【详解】因为
，所以
.
又
，所以
，
所以
故选：C.
6．已知
，
，且
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正切的倍角公式求得
，再结合正切的和角公式求得
，结合
的
范围，即可求得结果.
【详解】
；
，
又
，
，故
，
，
又
，
，故
，则
.
故选：B.
7．已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出
和
的值，再利用整体
思想，将
转化为
，用余弦的和角公式展开求值即可.
【详解】
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
，
则
，
故选：C．
8．若
，且
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】由题设条件分别求出
和
的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得.
【详解】因
则
.又
，则
，
可得
.
又
则
由
，可得
由
.
因
则
.
故选：A.
9．若
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知及平方关系得
、
，且
，再应用差角余弦公式
求
，即可得.
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，则
，
因为
，
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：C
10．（2024·四川·模拟预测）已知
，
，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角
的范围即可求解.
【详解】由
，
，得
，
，
∴
，即
，
∴
，解得
.
又
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
.
故选：A.
11．（24-25 高三下·上海·月考）已知
为锐角,若
，则
.
【答案】
【分析】首先求出
，再根据两角差的正（余）弦公式求出
、
，即可得解.
【详解】因为
为锐角，所以
，又
，
所以
，
所以
，
，
所以
.
故答案为：
12．已知
，若
，则
【答案】
【分析】应用诱导公式及差角余弦公式、二倍角余弦公式可得
，即可求
角的大小.
【详解】由
，
所以
，又
，
所以
，而
，
所以
.
故答案为：
13．（23-24 高三上·河北石家庄·月考）若
，
，
，
，则
.
【答案】
【分析】结合角度范围及三角函数值，可求出
，
的角度值，进而可求
【详解】由
，
，则
，
，所以
或
，
，
，则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
又
，.故
.
故答案为：
题型二 半角公式
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由平方关系、半角公式即可求解.
【详解】因为
，且
，
所以
，
又
，
所以
．
故选：D.
2．若
且
，则
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】 利用半角公式
和
化简等式，再利用三角函数值的正负即可
得到
的取值范围.
【详解】 由半角公式
和
化简得
，且
，
得
，所以
.
故选：C.
3．（2025·辽宁本溪·模拟预测）若
，且
，则
.
【答案】
【分析】由
，结合余弦二倍角公式求得
，再结合半角公式即可求解.
【详解】由
，得
，解得
或
，
又
，所以
，
所以
，
所以
，
故答案为：
4．已知
为锐角，且
，
．则
．
【答案】
/
【分析】由题意得
，结合
为锐角即可求解.
【详解】题设条件中的两式相除得
，
化简得
，即
，
又
为锐角，从而
．
故答案为：
.
5．已知
，
，则
.
【答案】
【分析】利用诱导公式和题设条件，依次求出
，
，再利用和角的正弦公
式计算即得.
【详解】由
可得
，
因
，则
，则
，
，
故
.
故答案为：
.
题型三 万能公式
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24 高三下·河北张家口·开学考试）已知
，
是第四象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式可得
，即可根据同角关系得
，进而即可由半角公式求解.
【详解】由
可得
，故
，
由于
是第四象限角，故
，
∴
．
故选：D．
2．已知第二象限角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
结合正切和角公式化简，求得
，利用万能公式即可求解.
【详解】∵
，∴
，
解得
或
（舍去），
所以
.
故选：D
3．函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数可求最大值，也可以利用万能公式统一三角函数名，再利用换元法结合四元基本不等式
求解即可.
【详解】法一：不妨设
，则
，
整理得到:
,
当
时，
；当
时，
，
故
在
上为增函数，在
为减函数，
而
，
，故
的最大值为
.
法二：由万能公式得
，
，
代入原式并化简得
，
令
，因为题设中欲求最大值，故可设
,
故原式转化为
，
当且仅当
时取等，显然最大值为
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的最大值，解题关键是利用万能公式统一三角函数名，然后再
用四元基本不等式求解，本题也可以直接利用导数计算.
4．（24-25 高三上·重庆·月考）已知
，
，则
.
【答案】
【分析】利用诱导公式，万能公式得到答案.
【详解】
.
故答案为：
5．已知
，则
．
【答案】
【分析】由条件等式右边含有
，可联想到
中分离出
来处理，设
，待求表达式中用
表示，结合万能公式进行求解.
【详解】设
，于是
，
整理可得
，根据万能公式，
，
整理可得
，
由
可得，
，
故
，
根据诱导公式，
，
根据两角和的正切公式，
，
故
.
故答案为：
题型四 三倍角公式
【技巧通法·提分快招】
1、正弦三倍角公式：
2、余弦三倍角公式：
3、正切三倍角公式：
推导过程：
1.
3
2.同理：
3.
.
1．已知三倍角公式
，则
．
【答案】
【分析】根据三倍角公式，诱导公式及
，代入求值即可．
【详解】因为
，
所以
．
故答案为：
2．函数
的最小正周期为（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】先利用正弦三倍角、二倍角公式进行化简，再利用三角函数的周期公式进行求解.
【解析】因为
所以
的最小正周期为
.故选：C.
3．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式
，实际上类似的还有三倍角公式，则下列
说法中不正确的有（ ）
A．
B．存在
时，使得
C．给定正整数
，若
，
，且
，则
D．设方程
的三个实数根为
，
，
，并且
，则
【答案】B
【分析】利用两角和的余弦公式及二倍角公式展开化简
即可判断选项A；令
，则
，根据三角函数的有界性得到
，进而判断B 选项；令
，其中
，
，问题转化为
，根据二次函数的最值证明上式成立即可；求解方程
得到
或
或
，比较大小得到
，
，
，再验
证
是否成立即可.
【详解】
，A 对；
令
，则
，
，则
，B 错；
令
，其中
，
，
，即
，∴
，
由
可得
，
，即
，∴
，∴
，C 对；
令
，
，
，
，即
，
即
，∵
，∴
或
或
，
令
，
，
，
，
，
∴
的根都在
，∴
，
，
，
，D 对.
故选：B.
题型五 和差化积公式
【技巧通法·提分快招】
和差化积公式:
口诀：
正弦＋正弦,正弦在前；
正弦－正弦,正弦在后；
余弦＋余弦,余弦并肩；
余弦－余弦，余弦靠边。
证明：由
，
，得
.其他同理可证.
1．
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据和差化积公式可得
，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可
求解.
【详解】原式
.
故选：C.
2．已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】运用和差化积公式和二倍角公式．可解
【详解】由和差化积公式，
得
，
，
两式相除，所以
.
所以
.
故选：B．
3．（2025·湖南常德·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．7
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用条件求出
，然后可得答案.
【详解】因为
，所以
，
由和差化积公式可得
，
因为
，所以
，
由
，
可得
，所以
.
故选：C
4．在
中，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题及和差化积公式可得
，然后结合诱导公式及二倍角余弦公式可得答案.
【详解】由和差化积公式：
，又注意到
，
则
.
故选：A
5．（2025·吉林长春·一模）已知
，
是函数
，
的两个零点，则
．
【答案】
【分析】利用和差化积公式得
，再结合正弦函数性质即可得到答案.
【详解】根据和差化积公式得
，
则令
，
当
时，因为
，则
，此时无解，
当
，因为
，则
，
则
或
，解得
或
，
则
.
故答案为：
.
6．在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把
与
，
与
相加或
相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：
.
如果角
与
满足
，
，则
.
【答案】
/
【分析】根据已知及和差化积公式得
、
，进而有
，
再由
，即可求值.
【详解】由
，
所以
，
由
，
所以
，
所以
，而
.
故答案为：
题型六 积化和差公式
【技巧通法·提分快招】
积化和差公式：
；
；
；
.
口诀：
积化和差得和差，余弦在后要相加；
异名函数取正弦，正弦相乘取负号。
证明：由两角和与差的正弦公式得
两式相加可得
，
两式相减可得
．
同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式.
1．若
，则
．
【答案】
【分析】根据积化和差公式求解即可.
【详解】因为
，所以
，
故答案为：
.
2．已知
，则
.
【答案】
【分析】先由积化和差公式对已知式化简，再利用三角降幂公式化简代入计算即得.
【详解】由
，
可得
，
则
.
故答案为：
.
3．计算：
．
【答案】
【分析】根据和差的余弦公式和积化和差角公式对原式进行化简即可求得结果.
【详解】因为
，
.
同理，由积化和差角公式可得，
，
则
.
所以
.
故
.
故答案为：
.
4．已知
，那么
．
【答案】
【分析】由三角恒等变换化简表达式得
，代入
即可得解.
【详解】
.
故答案为：
.
5．（24-25 高三下·安徽安庆·月考）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可.
【详解】首先，我们先对
合理变形，
得到
，
，
由积化和差公式得
，
同理可得
，
，
则
，
得到
，故A 正确.
故选：A
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．若
是第三象限角，且
，则
的值为（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】A
【分析】由两角差的正弦公式、平方关系依次得
，
，由半角公式即可求解.
【详解】由已知及正弦公式得，
，
是第三象限角，
．
．
故选：A.
2．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换公式化简求解即可.
【详解】由
可得
，
得
，则
，
，
故
．
故选：C.
3．（24-25 高三上·湖北荆州·月考）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】以
为整体，利用诱导公式结合倍角公式求
，结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为
，则
，
且
，可得
，
则
，
，
所以
，
故选：A.
4．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【分析】由万能公式可得
，根据已知得方程求
即可.
【详解】由
，
所以
，则
，
由
，则
.
故选：A
5．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】将
用
替换后，解方程解出
即可.
【详解】因为
，
可得
，
可得
，
解得
，因为
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：C.
6．已知
是第三象限的角，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
是第三象限的角，得到
，并根据
和辅助角公式得到
，
由半角公式求出答案.
【详解】
是第三象限的角，故
，
故
，
因为
，
，
则
，
，
若
，
，
，
，
此时
，满足要求，故
，
若
，
，
，
，
此时
，不合要求，舍去，
，D 正确.
故选：D
7．已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意代入函数解析式，利用二倍角公式、同角三角函数的关系式，结合弦化切化简即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
.
故选：D.
8．（24-25 高三上·山东·期中）若
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出
的值，最
后根据
的范围确定其具体值.
【详解】因
，所以
，又
，
根据
，得
，同时也能确定
.
因为
，
，
，所以
.
.
将
转化为
.
所以
因为
，
，所以
.
在这个区间内，
时，
.
故选：C.
9．函数
在
内的零点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简函数为
，得到
或
，结合正弦、余弦函数的性质，求得
相应的
的值，即可求解.
【详解】由函数
，其中
令
，即
，所以
或
，
当
时，可得
或
或
，
当
时，可得
或
或
或
，
所以
的零点之和为
.
故选：C.
10．美国数学家Jack Kiefer 于1953 年提出0.618 优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金
分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20 世纪60、70 年代对其进行简化、补充，并在我国进
行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比
，现给出三倍角公式
，
则与
的关系式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求
进而
解方程即可得解.
【详解】因为
，
所以
，又
所以
，化简得
，
可得
，
解得
（负值舍去），所以
.
故选：B.
11．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用和差化积公式，即可求值.
【详解】
．
故选：A.
12．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得.
【详解】依题意，
，则
，
又
，则
所以
.
故选：B
13．（2024·山东·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用两角和的正弦公式求出
，再根据
结合两角和差的余弦公式化简即可得解.
【详解】
，
，
所以
.
故选：D.
14．计算：
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解.
【详解】
，
故选：C
15．（多选题）下列各式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据和差化积公式判断A，根据正切的半角公式判断B，根据积化和差公式判断C，根据特殊值
判断D.
【详解】由和差化积公式
，得
，故A 错误；
根据半角公式
，得
，故B 正确；
由积化和差公式
，得
，故C 正确；
当
时，等式左边有意义，右边无意义，故D 错误.
故选：BC.
16．（23-24 高三上·江苏泰州·期中）（多选题）由两角和差公式我们得到倍角公式
，
实际上
也可以表示为
的三次多项式，像
、
、
、
这些非特殊角我们可以通过观察
发现它们之间的相互关系，进而求出各自的三角函数值.则（ ）
A．
B．
C．已知方程
在
上有三个根，记为
，
，
，则
D．对于任意的
，当
时一定有
【答案】ACD
【分析】直接利用二倍角公式计算得到A 正确，根据
得到
，解得B
错误，设
，得到三个根分别为
，
，
，代入计算得到C 正确，代入数据利用三角
恒等变换得到D 正确，得到答案.
【详解】对选项A：
，正确；
对选项B：
，
，
整理得到
，
，
即
，解得
或
（舍），错误；
对选项C：
，设
，
，
，
即
，
，或
，或
，
故三个根分别为
，
，
，
，正确；
对选项D：
，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换的应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能
力，其中根据推导的三倍角的公式设
得到方程的解，再代入计算是解题的关键.
17．（23-24 高三上·山西忻州·月考）已知
，则
.
【答案】
【分析】将所求的角
转化为用已知的角
表示，即
，再利用两角差的余弦公式展开即
可求解.
【详解】
，
，
又
，
，
.
故答案为：
.
18．若
，则
．
【答案】
【分析】根据积化和差公式
及二倍角公式即可得解.
【详解】已知积化和差公式
则
．
故答案为：
.
19．（24-25 高三上·吉林长春·期末）若
，且
，
是
的两个根，则
.
【答案】
/
【分析】先根据韦达定理得到
，再由
，然后结合同角的平方关系求得
，求出
，再利用半角的余弦公式即可求解.
【详解】因为
、
为关于x 的方程
的两个根，
所以
，
又因为
，
所以
，
又
，所以
，
，
故答案为：
20．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知
，则
．
【答案】
/
【分析】首先利用三角函数的基本关系求出
的值，再根据二倍角公式求出
的值，
最后利用诱导公式计算的得出结果.
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
.
故答案为：
21．已知
，
，则
【答案】2
【分析】利用同角关系，求出
和
的值，再利用半角公式求解.
【详解】由
，
，则
，
，
又
，所以
，解得
或
（舍），
，所以
；
故答案为：2.
22．已知三倍角公式
，则
．
【答案】
【分析】根据三倍角公式，诱导公式及
，代入求值即可．
【详解】因为
，
所以
．
故答案为：
23．已知
，则
．
【答案】
/
【分析】运用和差化积恒等公式，结合同角三角函数关系式计算即可.
【详解】由
得
①，
由
得
②，
得
．
故答案为：
.
24．（23-24 高三上·重庆·期中）已知
，
，且
，
，则
.
【答案】
【分析】先通过角所在象限求出
，再利用
展开计算即可.
【详解】
,
,
，
，又
当
时，
，
，
当
时，
，
，
，
.
故答案为：
.
25．（24-25 高三上·江西上饶·期中）已知
，
满足
，
，则
.
【答案】
/0.6
【分析】将两式平方相加，可得
，平方相减，可得
与
的关系，结合和
差化积公式把
化成
，可得
的值.
【详解】因为
，
所以
，
，
相加得
，
即
，所以
，
相减得
，
又
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
解得
.
故答案为：
26．（24-25 高三上·河北衡水·开学考试）研究发现利用函数
的单调性，可以比
与
的大
小，请作出你的结论：
．（用<，=，>填空）
【答案】
【分析】先求函数
的单调性，然后令函数
分别等于
与
，求出此时
的值，
然后比较即可.
【详解】已知
，得
，
显然当
时，
，此时
单调递增，
令
，解得
或
故只需要比较
与
的大小即可；
构造函数
得
显然当
，
恒成立，故函数
单调递减，
所以
，即
故
，
显然
，
又因为函数
在
时单调递增，
即
.
故填：
【点睛】此题需要利用
，去对应自变量
的值，然后比较两个值的自变量，比较自变量时，
可以构造函数，也可数性结合，利用三角函数线求解.
27．通过两角和的正．余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：
(1)根据上述过程，推导出
关于
的表达式；
(2)求
的值；
(3)求证：
是方程
的一个根．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用和差公式和二倍角公式整理；
（2）利用余弦的三倍角公式得到
，然后利用正弦的三倍角公式和和差公式计算；
（3）通过计算
证明.
【详解】（1）
.
（2）由（1）得
，
.
（3）
，
所以
是
的一个根.
【点睛】关键点点睛：（2）的解题关键在于根据诱导公式得到
，然后将角拆成
，解方
程得到
，然后再利用正弦的三倍角公式计算.
28．（2024·福建厦门·模拟预测）三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研
究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展
开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.
(1)证明：
；
(2)若
，
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式及倍角公式证明即可；
（2）将
转为方程
的一个实根，通过函数的单调性及零点存在性定理即可求解.
【详解】（1）因为
；
（2）由（1）可知，
，
即
是方程
的一个实根.
令
，
，
显然
，
当
时，
，
所以
在
上单调递减，
又
，
，
所以
，
即
.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江西南昌·二模）已知
、
终边不重合，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，
代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简
得出
的值，再利用二倍角的正切公式可求得
的值.
【详解】因为
，所以
，
即
，
，
所以，
，
因为
、
的终边不重合，则
，则
，
所以
，则
，所以
，
因此，
.
故选：D.
2．（23-24 高三下·重庆大足·月考）设
，
，
，
，若满足条件的
与
存在且唯一，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】先由
，可得
，再根据
，结合两角差的正弦公
式求出
，进而可求出
，再根据唯一性可求出
，再求出
，结合
两角差的正切公式求出
，即可得解.
【详解】由
，得
，即
，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
因为满足条件的
与
存在且唯一，所以
唯一，
所以
，
所以
，经检验符合题意，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
则
，解得
，
所以
.
故选：B.
3．已知
，
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】把两个方程移项平方以后再相加即可判断AB，然后再根据三角函数值以及角的范围计算出
和
即可判断CD.
【详解】由
得
，两边平方得：
，①
由
得
，两边平方得：
，②
+
①②得：
，
因为
，所以
，
由
可得：
，即
，
所以
， 又
，所以
，
所以
，故A 错误；
由
，两边平方得
，③
由
得
，两边平方得：
，④
+
③④得：
，
因为
，所以
，故
，
由
，
，可得
，故C 正确，D 错误；
综上
不是定值，故B 错误.
故选：C
4．（2024·辽宁丹东·一模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为
，解
得
，两边平方即可求解.
【详解】因为
，所以
，所以
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
，
即
，
所以
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得出
，由此即可顺利得解.
5．（23-24 高三上·江苏苏州·月考）求值：
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】利用积化和差和和差化积公式，结合半角公式，诱导公式化简得到结果.
【详解】由积化和差公式可得
，
故
，
由和差化积公式可得
，
故
所以
.
故选：A
【点睛】和差化积公式：
，
，
，
积化和差公式：
，
，
，
.
6．（23-24 高三下·全国·强基计划）（多选题）已知
，则
可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】利用积化和差和辅助角公式得到
，即可求解得到
或
，
，可求答案.
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
或
，
,
，
，或
，
，
经检验，
或
符合，其它都不符合.
故选：AB.
7．已知
均为锐角，且
，
，求
，
的值．
【答案】
，
．
【分析】将条件等式平方后相加，结合和角余弦公式求
，应用和差化积公式得
、
，再作商并应用万能公式求
.
【详解】
，
，
两式相加，得
，
由
，得
，
由
，得
，
两式相除，得
，
所以
．
8．中国数学家华罗庚倡导的“0.618 优选法”在各个领域应用广泛，0.618 就是黄金分割比的近似值，这
一数值也可以表示为
.三倍角公式是把形如
，
等三角函数用单倍角三角函数表示的恒
等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)已知
试证明此三倍角公式；
(2)若角
满足
，求
的值（已知
）；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）根据两角和余弦公式展开，再利用二倍角公式及平方关系化简可得结论；
（2）由（1）得
，再通过三角恒等变换化简
，并结合同角关系求结论；
（3）根据
，结合（1）及二倍角正弦公式和同角关系化简等式，解方程求得
，
由此可得结论.
【详解】（1）由
，得证；
（2）由（1）知
，可得
，
而
.
（3）由
，则
，
所以
，则
，
所以
，可得
（负值舍），
所以
.
9．（24-25 高三上·贵州贵阳·月考）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公
式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①
；②
.根据以上研究结论，回答：
(1)在①和②中任选一个进行证明；
(2)已知函数
有三个零点
且
.
（i）求
的取值范围；
（ii）若
，证明：
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）
；（ii）证明见解析；
【分析】（1）转化为两角和的公式求解；
（2）（i）
，分
和
，根据函数
有三个零点求解；
（ii）设
，由
，
，得到
，利
用零点存在定理得到方程
的三个根均在
内，将方程
变形为
，令
，再利用三倍角公式求解.
【详解】（1）若选①，证明如下：
若选②，证明如下：
.
（2）（i）解：
，
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增，至多有一个零点；
当
时，令
，得
；
令
，得
，
令
，得
或
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
若
有三个零点，则
，即
，解得
，
当
时，
，
且
，
所以
在
上有唯一一个零点，
同理
所以
在
上有唯一一个零点.
又
在
上有唯一一个零点，所以
有三个零点，
综上可知
的取值范围为
.
（ii）证明：设
，
则
.
又
，所以
.
此时
，
方程
的三个根均在
内，
方程
变形为
，
令
，则由三倍角公式
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，
所以
.
【点睛】关键点点睛：第二问的（ii）中，由零点存在定理得到方程
的三个根均在
内，
将方程
变形为
，再利用（1）的结论，令
，转化为三倍
角公式而得证.
