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专题03 等式与不等式的性质
【知识点梳理】
1、比较大小基本方法
关系
方法
做差法
与0 比较
做商法
与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)
或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b=1(b≠0)
a<b
a−b=0
a
b <1(a ，b>0)
或
a
b >1(a，b<0)
2、不等式的性质
（1）基本性质
性质
性质内容
对称性
a>b⇔b<a ；a<b⇔b>a
传递性
a>b ，b>c⇒a>c ；a<b，b<c⇒a<c
可加性
a>b⇔a+c>b>c
可乘性
a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac
同向
可加性
a>c ，c>d⇒a+c>b+d
同向同正
可乘性
a>b>0 ，c>d>0⇒ac>bd
可乘方性
a>b>0 ，n∈N
¿⇒an>bn
【方法技巧与总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在
解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单
调性.
比较法又分为作差比较法和作商比较法.
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0 的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1 的大小；（4）下结论.
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其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0 或1 比较大
小.
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式
乘积的形式，也可考虑使用作商法.
【典型例题】
例1．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知
，则下列选项中是“
”的充分不必要条件
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2024·北京房山·高三统考期末）已知
，
为非零实数，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2024·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）若
则（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．（2024·江苏扬州·高三统考阶段练习）设
，
，为实数，且
，则下列不等式正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）“
，
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
例6．（2024·陕西·校联考模拟预测）已知
，则以下错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例7．（2024·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x 的方程
，甲写错了常数b，得到的
根为
或x=
，乙写错了常数c，得到的根为
或
，则原方程的根是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
例8．（2024·云南昆明·校联考一模）人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的
时认定
为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是 .
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知1≤a−b≤3，
，则
的取值范围为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·北京西城·高三统考期末）设
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川成都·高三石室中学校考期末）若
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·新疆喀什·高三校考期中）已知
，
，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·福建福州·高三福建省福州延安中学校考开学考试）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动
车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过
，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为
、
、
（单位：
），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）已知集合
，
，若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·山东烟台·高三统考期末）已知
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
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9．（2024·重庆长寿·高三统考期末）已知函数
，对
都有
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．（2024·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校联考学业考试）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024·江苏扬州·高三校考阶段练习）下列不等关系成立的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
13．（2024·安徽淮北·统考一模）已知
，
，
，下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
14．（2024·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）已知实数
，
，满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2024·湖南长沙·高三统考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
16．（2024·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）已知
，
，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
17．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）某工艺厂用A、B 两种型号不锈钢薄板制
作矩形、菱形、圆3 种图形模板，每个图形模板需要A、B 不锈钢薄板及该厂2 种薄板张数见下表
矩形
菱形
圆
总数
A
5
3
10
55
B
12
6
13
125
该厂签购制作矩形、菱形、圆3 种模板分别为x，y，z（
）块.上述问题中不等关系表示正确为
（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）若
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
19．（2024·全国·模拟预测）正数
、
满足
，则下列不等式成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2024·江苏苏州·高三统考期末）已知
，则是“
”的充分不必要条件有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
22．（2024·全国·高三专题练习）实数
满足
，
，则
的取值范围是
23．（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，则
的取值范围是 .
24．（2024·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）某杂志以每本2.5 元的价格销售，可以售出
8 万本，据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就相应减少2000 本.设提价后该杂志的单价为x 元，则
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用不等式表示销售的总收入仍不低于20 万元为 .
25．（2024·上海嘉定·高三校考期中）若关于
，
的方程组
与
的解集相等，则
.
26．（2024·全国·高三专题练习）糖水不等式：
成立的实数是有条件限制的，使糖水
不等式：
不成立的的值可以是 （只需填满足题意的一个值即
可）．
27．（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，则
的最小值 .
28．（2024·全国·高三专题练习）已知
，则
的取值范围为 .
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