文档文本内容
第 03 讲 空间直线、平面的平行
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................5
高频考点一：直线与平面平行的判定与性质（直线与平面平行的判定）...5
高频考点二：直线与平面平行的判定与性质（直线与平面平行的性质）...9
高频考点三：平面与平面平行的判定与性质（平面与平面平行的判定）. .11
高频考点四：平面与平面平行的判定与性质（平面与平面平行的性质）.....16
高频考点五：平行关系的综合应用..................................20
第四部分：新定义题.................................................23
第一部分：基础知识
知识点一：直线与平面平行
1、直线与平面平行的定义
直线 与平面 没有公共点，则称直线 与平面 平行.
2、直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述：
3、直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
符号表述： ， ，
知识点二：平面与平面平行
1、平面与平面平行的定义
两个平面没有公共点
2、平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
//
a ⊂ β,b ⊂ β ¿ }a ∩ b = P ¿ } ¿¿⇒ α β ¿
符号表述：
3、平面与平面平行的性质定理
3.1性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
符号语言
3.2性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面符号语言：
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在
上，且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
【答案】(1)证明见解析
【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）取 的中点为 ，接 ，可证四边形 为平行四边形，由线面平行的判定定理可
得 平面 .
【详解】（1）取 的中点为 ，接 ，则 ，
而 ，故 ，故四边形 为平行四边形，
故 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
2．（2024·全国·高考真题（甲卷文））如图， ， ，
， , 为 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到 的距离.
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【知识点】证明线面平行、求点面距离
【分析】（1）结合已知易证四边形 为平行四边形，可证 ，进而得证；
（2）先证明 平面 ，结合等体积法 即可求解.
【详解】（1）由题意得， ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 ， ，因为 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 ，故 是等腰三角形，同理 是等腰三角形，
可得 ，
又 ，所以 ，故 .
又 平面 ，所以 平面 ，
易知 .
在 中， ，
所以 .
设点 到平面 的距离为 ，由 ，得 ，得 ，
故点 到平面 的距离为 .
3．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ， 平面
， ，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．
(1)求证 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得 ，
结合线面平行判定定理即可得证；
【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
则有 、 ，
故四边形 是平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：直线与平面平行的判定与性质（直线与平面平行的判定）
典型例题
例题1．（23-24高一下·广东·期中）如图，在正方体 中， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【知识点】证明线面平行、证明面面平行
【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行.
【详解】（1）如图：连接BD，设 ，连接OM，
∵在正方体 中，四边形 是正方形， 是 中点，
是 的中点， ，
平面 ， 平面 ，
平面 .
例题2．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，
底面 ， ， 分别为线段 的中点.(1)证明： ；
(2)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求线面角
【分析】（1）连接 ，设 ，连接 ，通过证明 以及 得到 为等腰
三角形，进而可得结论；
（2）取 的中点 ,通过证明 平面 以及 平面 可得面面平行，即可求证；
【详解】（1）连接 ，设 ，连接 .
因为， 平面 ， 平面 ，故 ，
而 ， ， 平面 ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
由四边形 为平行四边形可得 ，
故 为等腰三角形，即 ；
（2）取 的中点 ，连结 ，
由中位线性质可得 ，且 ，所以 ，因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
同理可证 平面 ，
因为 平面 平面 ，
所以平面 //平面 ；.
又 平面 ,
所以 //平面 ,
练透核心考点
1．（23-24高二上·青海西宁·开学考试）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，
， ， ， 为棱 的中点
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、求空间两点的中点坐标、求平面的法向量
【分析】（1）取 中点 ，证明 ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论；
【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ．
在 中， ， 分别为 ， 的中点，则 ， ，
因为 ， ，则 ， ，
可知四边形 为平行四边形，则 ，
且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
2．（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）如图，四棱锥 的底面 为直角梯形，其中
， ， 底面 ，E是PC的中点.(1)求证: 平面 ;
【答案】(1)证明见解析；
【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直
【分析】（1）设PD的中点为F，利用线面平行的判定推理即得.
【详解】（1）设PD的中点为F，连接EF和AF，由E是PC的中点，得 ，且 ，
由 为直角梯形，其中 ，得 ，又 ，
则 ，四边形 是平行四边形，
于是 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
高频考点二：直线与平面平行的判定与性质（直线与平面平行的性质）
典型例题
例题1．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，
N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面 平面 ．
(1)判断直线l与BC的位置关系并证明；
(2)求证： 平面PAD；
【答案】(1) ，证明见解析；(2)证明见解析；
【知识点】证明线面平行、线面平行的性质、证明面面平行
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明 平面 ，再由线面平行的性质定理证明即可.
（2）利用线面平行的判定定理证明即可.
【详解】（1） .
依题意， ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，所以 .
（2）取 中点 ，连接 ，在 中，
在 中， ，则 ，即四边形 为平行四边形，
因此 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
例题2．（2025高三·全国·专题练习）如图， 且 ， ， 且 ，
且 ， 平面 ， .
(1)设平面 与平面 的交线为 ，求证： ；
【答案】(1)证明见解析
【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面平行的性质、证明线面平行、证明线面垂直
【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可；
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，所以 .
练透核心考点
1．（24-25高二上·河北保定·开学考试）在正四棱柱 中，已知 ，点 分别在棱
上，且 四点共面， .
(1)若 ，记平面 与底面 的交线为 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、线面平行的性质、基本不等式求和的最小值、证明线面平
行
【分析】（1）由线面平行的判定定理得线面平行，再由线面平行的性质定理得线线平行即可；
【详解】（1）连接 ，
因为 ，
所以 ，则 .
在正四棱柱 中，易知 ，
所以四边形 是平行四边形，从而 .
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又 平面 ，平面 平面 ，所以 .
2．（23-24高三上·江苏南通·期中）如图， 且 ， ， 且 ，
且 ， 平面 ， .
(1)设面BCF与面EFG的交线为 ，求证： ；
【答案】(1)证明见解析
【知识点】线面平行的性质、空间线段点的存在性问题、线面垂直证明线线垂直、已知线面角求其他量【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可；
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
高频考点三：平面与平面平行的判定与性质（平面与平面平行的判定）
典型例题
例题1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）在直四棱柱 中， ， ，
， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为直角三角形，求四棱柱 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】柱体体积的有关计算、面面平行证明线线平行、证明线面平行、证明面面平行
【分析】（1）由面面平行的判定定理与性质定理证明即可；
（2）根据直角三角形，利用勾股定理求解棱柱的高，再由体积公式得解.
【详解】（1）因为 ， 平面 ，
平面 ，故 平面 ．
在四棱柱 中， ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为 ， 平面 ，
故平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．（2）设四棱柱的高为h，
在直四棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
所以 ，同理可得， ．
因为 ， ， ， ， ，
所以 ， ．
因为 ，所以 ， ．
在直四棱柱 中， ， ，
所以四边形ABCD是平行四边形，所以 ．
因为 ， 为直角三角形，
所以 或 ，
解得 ．
因为四棱柱的底面积为 ，
所以四棱柱的体积为 ．
例题2．（24-25高三上·广东·开学考试）如图，四边形 是圆柱 的轴截面，点 在底面圆 上，
3，点 是线段 的中点，点 是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【知识点】证明线面平行、点到平面距离的向量求法、证明面面平行
【分析】（1）取 的中点 ，证明 ，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
【详解】（1）证明：取 的中点为 ，连接 ，如图所示，因为点 分别是 和 的中点，所以 ，且 ．
在圆柱 的轴截面四边形 中， ．
所以 ，因此四边形 是平行四边形．
所以 ，又 平面 平面 ，所以 平面 ．
练透核心考点
1．（24-25高二上·河南周口·开学考试）《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商
功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵
中， ， ， ， ， 为棱 的中点， 为棱 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析；
【知识点】证明面面平行、面面角的向量求法、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、线面
角的向量求法
【分析】（1）先证明 ，根据线面平行判定定理证明 平面 ，再证明 平面 ，
根据面面平行判定定理证明结论；
【详解】（1）由已知 ， ，
因为 为棱 的中点， 为棱 的中点，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
连接 ，因为 ， ，
因为 为棱 的中点， 为棱 的中点，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ， ，
又 ， ，
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方体 中， 分别是棱
的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面平行、证明线面垂直、求点面距离
【分析】（1）连接 ，利用面面平行的判定定理即可证明得出结论；
（2）利用线面垂直的判定定理可证明 平面 ，求得点 到平面 的距离，再由等体积法
可得三棱锥 的体积．
【详解】（1）连接 ，如下图所示：根据正方体性质可得 ，所以可得 ，
且 ，因此可得四边形 为平行四边形，因此 ；
又 平面 , 平面 ，
所以 平面 ;
又因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
因此 ，又 平面 , 平面 ，
所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）连接 ，如下图所示：
因为 ， 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ；
易知 为正方形，所以 ；
由正方体性质可得 平面 ，因为 平面 ，所以 ；
又 ， 平面 ，
因此 平面 ，
所以点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，为 ；
所以三棱锥 的体积为
即三棱锥 的体积为 .
高频考点四：平面与平面平行的判定与性质（平面与平面平行的性质）
典型例题
例题1．（2024高二上·全国·专题练习）如图，四棱锥 中， 平面 ，底面是边长为2的
菱形， ，点E､F､G分别为线段CD､ ､ 的中点.
(1)证明： ∥平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【知识点】面面平行证明线面平行、空间向量模长的坐标表示、证明面面平行、空间向量的坐标运算
【分析】（1）做辅助线，先证平面 ∥平面 ，再结合面面平行的性质分析证明；
【详解】（1）取线段 的中点 ，连接 、 ，
在菱形 中，点 为线段 的中点，则 ，
且 平面 ， 平面 ，可得 ∥平面 ，
又因为 中，点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，则 ，
且 平面 ， 平面 ，可得 ∥平面 ，
且 ，且 平面 ，可得平面 ∥平面 ，
由 平面 ，所以 ∥平面 ．
例题2．（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）如图，已知在矩形 中， ， ，点 是边
的中点， 与 相交于点 ，现将 沿 折起，点 的位置记为 ，此时 ， 是
的中点．(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【知识点】证明线面垂直、求二面角、证明线面平行、面面平行证明线面平行
【分析】（1）法一：利用线面平行的判断定理，构造中位线，即可证明；法二：构造面面平行，即可证
明线面平行；
【详解】（1）法一：在矩形 中，连接 ，交 于点 ，则易知四边形 为矩形，
所以 与 互相平分，即点 为 中点，又因为点 为 中点，
所以在三棱锥 中， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面
法二：取线段 的中点 ，连接 、 ，
翻折前，在矩形 中， 为 的中点， ，
则 ，所以， ，
翻折后，在三棱锥 中， 、 分别为 、 的中点，
则 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
为 的中点，且 ，则 ，
所以， 为 的中点，又因为 为 的中点，所以， ，
∵ 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
∵ ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，∴ 平面 ；
练透核心考点
1．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知斜三棱柱 中，侧面 侧面，侧面 是矩形，侧面 是菱形， ， ，点E，F，G分别为棱 ，
， 的中点．
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【知识点】面面平行证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）先连接 ， ，然后证明平面 平面 ，然后利用面面平行性质定理证明
平面 即可；
【详解】（1）证明：因为点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，
连接 ， ，则 ， ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理可得 平面ABC，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，
所以 平面ABC．
2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知多面体 的底面 为矩形，四边形 为平行四边
形，平面 平面 ，点 在线段 上，且 ．
(1)当 时，证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【知识点】面面平行证明线面平行、线面角的向量求法、证明线面平行、证明面面平行
【分析】（1）连接 与 交于点M，连接 ，利用线面平行的判定定理分别证明 平面 ，
平面 ，进而得证平面 平面 ，从而由面面平行的性质得证 平面 ；
【详解】（1）连接 与 交于点M，连接 ，如图:因为底面 为矩形，所以M是BD的中点，
当 时，G是 的中点．
所以 ，又 平面 ，则 平面 .
因为四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ，则 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 .
高频考点五：平行关系的综合应用
典型例题
例题1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱 中， 是棱 的中点， 是
棱 上一点．若 平面 ，则 的值为 ．
【答案】2
【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置
【分析】连接 相交于 ，根据线面平行的性质、 可得答案.
【详解】连接 相交于点 ，连接 ，
因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
可得 .
故答案为： .
例题2．（2024·四川·模拟预测）如图，在四棱柱 中， 平面ABCD，底面ABCD为梯
形， ， ， ，Q为AD的中点．
(1)在 上是否存在点P，使直线 平面 ，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，
请说明理由；
【答案】(1)存在，P是 中点，证明见解析；
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）利用面面平行和线面平行确定点 的位置，然后利用线面平行判定定理证明即可；
【详解】（1）存在，证明如下：
在四棱柱 中，因为平面 平面 ，
所以可在平面 内作 ，
由平面几何知识可证 ，所以 ，可知P是 中点，
因为 平面 ，所以 平面 ．
即存在线段 的中点，满足题设条件．
满足条件的点只有一个，证明如下：
当 平面 时，因为 平面 ，所以过 作平行于CQ的直线既在平面 内，也在平面 内，
而在平面 内过 只能作一条直线 ，
故满足条件的点P只有唯一一个．
所以，有且只有 的中点为满足条件的点P，使直线 平面 ．
练透核心考点
1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为正方形， 平面
，E为 上的动点．
(1)确定E的位置，使 平面 并证明；
【答案】(1)E为PD的中点，证明见解析
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法
【分析】（1）连接BD，交 于点O，连接 ，利用中位线性质得 ，然后利用线面平行的判定
定理证明线面平行；
【详解】（1）E为 的中点，可使 平面 .证明过程如下：
连接BD，交 于点O，连接 ，
则O为BD的中点，∵E为 的中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
2．（2024·四川·模拟预测）已知棱锥 的底面五边形中，ABCD为边长为2的正方形， 为
等腰直角三角形， ， ．(1)在线段PB上找一点G，使得平面 ∥平面PDE，并说明理由；
【答案】(1)线段PB的中点即为所求的点G，理由见解析
【知识点】补全面面平行的条件、线面角的向量求法、由二面角大小求异面直线所成角
【分析】（1）作辅助线，根据题意可得 ， ，根据面面平行的判定定理分析证明；
【详解】（1）线段PB的中点即为所求点G．理由如下：
连接BD交AC于点M，连接GM，PD，
因为四边形ABCD是正方形，则M为BD的中点，
且G为线段PB的中点，则 ，
又因为 平面PDE， 平面PDE，所以 ∥平面PDE，
由题意可知： ，
则 ，且 平面PDE， 平面PDE，所以 ∥平面PDE．
且 ，GM， 平面GAC，所以平面 ∥平面PDE．
第四部分：新定义题
1．（24-25高二上·湖北·开学考试）类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有
三维空间中的三面角余弦定理，如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，记 ，
， ，二面角A-PC-B的大小为 ，则 ．
如图2，四棱柱 中，底面ABCD为菱形， ， ， ，且
．
(1)在图2中，用三面角余弦定理求 的值；(2)在图2中，直线 与平面ABCD内任意一条直线的夹角为φ，证明： ；
(3)在图2中，过点B作平面 ，使平面 平面 ，且与直线 相交于点P，求 的值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【知识点】求异面直线所成的角、证明面面平行、面面平行证明线线平行、证明面面垂直
【分析】（1）设 ，连接 ，可证明平面 平面 ，即二面角 的大
小为 ，求出 ，再由所给三面角余弦定理计算可得；
（2）依题意可得 ，设平面 内任一条直线为 ，分 过 点与不过 点两种情况，当 过
点，记 与 的夹角为 （ ），则 ，结合余弦函数的性质即可得证；
（3）连接 ， ，首先证明平面 平面 ，从而得到平面 平面 ，再由面面平行的性
质得到 ，从而得到 ，即可得解.
【详解】（1）设 ，连接 ，
由菱形 可得 ，而 ，故 ，
而 ，故 为等边三角形，故 ，
因为 ， ， ，故 ，
所以 ，而 ，故 ，
因为 ， 平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，故平面 平面 ，
故 的二面角的平面角为直角，而 ，
由三角面公式可得：（2）依题意可得 ，设平面 内任一条直线为 ，
若 过 点时，记 与 的夹角为 （ ），
由（1）及三面角公式可得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ；
若 不过 点时，过 点作 使得 ，记 与 的夹角为 （ ），
则 ，因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ；
综上可得 .
（3）连接 ， ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证 平面 ，又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ，又平面 平面 ，又平面 平面 ，
所以 ，又 即 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，而 在 的延长线上，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
【点睛】关键点点睛：对于新定义型知识，关键是理解并应用所给定义，第三问关键是由面面平行推导出
线线平行.
