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专题04 基本不等式及其应用
知
识
梳
理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题
型
归
类
题型一：用配凑法求基本不等式的最值
题型二：用常数代换法求基本不等式的最值
题型三：用消元法求基本不等式的最值
题型四：基本不等式的常见变形应用
题型五：利用基本不等式求参数范围
题型六：基本不等式与其他知识交汇的最值问题
题型七：基本不等式的实际应用
培
优
训
练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强
化
测
试
单选题：共8 题
多选题：共4 题
填空题：共4 题
解答题：共6 题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能用基本不等式解决简单的最值问题.
3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.
【考点预测】
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝
b 时取等号.
(3)其中叫做正数a，b 的算术平均数，叫做正数a，b 的几何平均数.
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2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2 ab
(a，b∈R)，当且仅当a＝b 时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b 时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y 都是正数，如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2 .
(2)已知x，y 都是正数，如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值S 2 .
【常用结论】
1.＋≥2(a，b 同号)，当且仅当a＝b 时取等号.
2.ab≤≤.
3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要
保证它们等号成立的条件一致.
【方法技巧】
1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t 为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，
再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出
“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本
不等式，构造目标式的不等式求解.
5.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常
数代换法求最值.
6.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得
到参数的值或范围.
7.根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
8.解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
9.在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.
二、【题型归类】
【题型一】用配凑法求基本不等式的最值
【典例1】设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为( )
A.
B．4
C.
D．9
2
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【解析】y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·2＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号，
∴当x＝时，ymax＝.故选C.
【典例2】若x<，则f(x)＝3x＋1＋有( )
A．最大值0
B．最小值9
C．最大值－3
D．最小值－3
【解析】∵x<，∴3x－2<0，
f(x)＝3x－2＋＋3
＝－[(2−3 x)+
9
2−3 x]＋3
≤－2√
(2−3 x)
9
2−3 x ＋3＝－3.
当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”． 故选C.
【典例3】函数y＝
(x +5)(x +2)
x +1
(x>－1)的最小值为________．
【解析】因为x>－1，则x＋1>0，
所以y＝[(x +1)+ 4][(x +1)+1]
x +1
＝
(x +1)
2+5(x +1)+ 4
x +1
＝(x＋1)＋＋5
≥2√
(x +1)
4
x +1＋5＝9，
当且仅当x＋1＝，即x＝1 时等号成立，
所以函数的最小值为9.
【题型二】用常数代换法求基本不等式的最值
【典例1】已知首项与公比相等的等比数列{an}中，满足ama＝a(m，n∈N＋)，则＋的最小值
为( )
A.1 B. C.2 D.
【解析】由题意可得，a1＝q，
∵ama＝a，
∴a1·qm－1·(a1·qn－1)2＝(a1·q3)2，
即qm·q2n＝q8，
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即m＋2n＝8.
∴＋＝(m＋2n)×
＝×≥×＝1.
当且仅当m＝2n 时，即m＝4，n＝2 时，等号成立.
故选A.
【典例2】已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A．1
B．2
C.
D.
【解析】因为a>0，b>0，且a＋b＝2，
所以＝1，
所以＋＝(a＋b)
＝
≥×
＝，
当且仅当a＝，b＝时，等号成立．故选C.
【典例3】已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy 的最小值；
(2)x＋y 的最小值．
【解析】(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4 时等号成立．
(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，
则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，
当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12 时等号成立．
解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12 时等号成立．
【题型三】用消元法求基本不等式的最值
【典例1】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y 的最小值为_____．
【解析】方法一 (换元消元法)
由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1 时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0 且t2＋12t－108≥0，
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得t≥6，即x＋3y 的最小值为6.
方法二 (代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3 时取等号，
所以x＋3y 的最小值为6.
【典例2】若实数x>1，y>且x＋2y＝3，则＋的最小值为________．
【解析】令x－1＝m,2y－1＝n，
则m>0，n>0 且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，
∴＋＝＋
＝(m＋n)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即m＝n＝时取“＝”．
∴＋的最小值为4.
【典例3】已知正实数a，b 满足a2－b＋4≤0，则u＝( )
A.有最大值
B.有最小值
C.有最小值3 D.有最大值3
【解析】∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，
∴a＋b≥a2＋a＋4.
又∵a，b>0，∴≤，
∴－≥－，
∴u＝＝3－≥3－
＝3－≥3－＝，
当且仅当a＝2，b＝8 时取等号.故选B.
【题型四】基本不等式的常见变形应用
【典例1】《几何原本》卷2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处
理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也
称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF⊥AB，设
AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
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A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
【解析】由图形可知，OF＝AB＝(a＋b)，
OC＝(a＋b)－b＝(a－b)，
在Rt△OCF 中，由勾股定理可得，
CF＝＝，
∵CF≥OF，
∴≥(a＋b)(a>0，b>0)．
故选D.
【典例2】已知0<a<1，b>1，则下列不等式中成立的是( )
A．a＋b<
B.<
C.<2
D．a＋b<
【解析】对于选项A，因为0<a<1，b>1，
所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>4ab，故选项A 错误；
对于选项B，>＝，故选项B 错误；
对于选项C，>＝2，
故选项C 错误；
对于选项D,2a2＋2b2>a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
所以a＋b<.故选D．
【典例3】若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C.＋>
D.＋≥2
【解析】a2＋b2≥2ab，所以A 错误；
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ab>0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，
所以当a<0，b<0 时，B 错误；同时C 错误；
或都是正数，根据基本不等式求最值，
＋≥2＝2，故选D．
【题型五】利用基本不等式求参数范围
【典例1】已知a>0，b>0，若不等式－－≤0 恒成立，则m 的最大值为( )
A．4
B．16
C．9
D．3
【解析】∵a>0，b>0，∴由－－≤0 恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．∵＋≥2＝6，当且
仅当a＝b 时等号成立，故10＋＋≥16，∴m≤16，即m 的最大值为16.故选B.
【典例2】已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e 是自然对数的底数．若关于x 的不等式mf(x)≤e－x＋
m－1 在(0，＋∞)上恒成立，则实数m 的取值范围为________．
【解析】由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1 在(0，＋∞)上恒成立．
令t＝ex(x＞0)，则t＞1，
且m≤－＝－对任意t＞1 成立．
∵t－1＋＋1≥2＋1＝3，
∴－≥－，
当且仅当t＝2，即x＝ln2 时等号成立．
故实数m 的取值范围是.
故填.
【典例3】已知不等式(x＋y)≥9 对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】已知不等式(x＋y)≥9 对任意正实数x，y 恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，
∵1＋a＋＋≥a＋2＋1，
当且仅当y＝x 时，等号成立，
∴a＋2＋1≥9，
∴≥2 或≤－4(舍去)，∴a≥4，
即正实数a 的最小值为4，故选B.
【题型六】基本不等式与其他知识交汇的最值问题
【典例1】在△ABC 中，点P 满足BP＝2PC，过点P 的直线与AB，AC 所在直线分别交于点
M，N，若AM＝mAB，AN＝nAC(m>0，n>0)，则m＋2n 的最小值为( )
A.3 B.4 C. D.
【解析】∵AP＝AB＋BP
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＝AB＋
＝AB＋AC＝AM＋AN，
∵M，P，N 三点共线，∴＋＝1，
∴m＋2n＝(m＋2n)
＝＋＋＋
≥＋2
＝＋＝3，
当且仅当m＝n＝1 时等号成立.故选A.
【典例2】如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn 的最
大值为( )
A．16
B．18
C．25
D.
【解析】当m＝2 时，易得n－8＜0，n＜8，此时mn＜16.
当m≠2 时，抛物线的对称轴为x＝－.据题意：
①当m＞2 时，－≥2，即2m＋n≤12.∵≤≤6，∴mn≤18.由2m＝n 且2m＋n＝12 得m＝3，n＝
6.
②当m＜2 时，抛物线开口向下，据题意：
－≤，m＋2n≤18.∵≤≤9，∴mn≤.由2n＝m 且m＋2n＝18，得m＝9＞2，故应舍去．要使mn
取得最大值，应有m＋2n＝18(8＜n＜9)．
此时mn＝(18－2n)n＜(18－2×8)×8＝16.
综合①②可得最大值为18.故选B.
【典例3】在△ABC 中，A＝，△ABC 的面积为2，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.
【解析】由△ABC 的面积为2，
所以S＝bcsin A＝bcsin ＝2，得bc＝8，
在△ABC 中，由正弦定理得
＋＝＋
＝＋
＝＋＝＋－
≥2－＝2－＝，
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当且仅当b＝2，c＝4 时，等号成立，故选C
【题型七】基本不等式的实际应用
【典例1】某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一
水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60 m，AB＝40 m，
且△EFG 中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10 m，EF＝20 m，为保证安全同时考虑美观，
健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB，DF 于M，N，从
而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN＝x(m)．
(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；
(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．
【解析】(1)作GH⊥EF，垂足为H.
∵DN＝x，∴NH＝40－x，NA＝60－x，
∵＝，∴＝，∴AM＝.
S 五边形MBCDN＝S 矩形ABCD－S△AMN＝40×60－·AM·AN＝2 400－.
∵N 与F 重合时，AM＝AF＝30 适合条件，∴x∈(0，30]．
(2)y＝2 400－＝2 400－5[(40－x)＋＋40]，当且仅当40－x＝，即x＝20∈(0，30]时，y 取得最
大值2 000, ∴当DN＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2 000 m2.答略．
【典例2】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，
污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔排出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知排出的水
中该杂质的质量分数与a，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60 m2，问a，b 各为多少m 时，
经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B 孔面积忽略不计)?
【解析】设y 为排出的水中杂质的质量分数，
根据题意可知：y＝，其中k 是比例系数且k＞0.
依题意要使y 最小，只需ab 最大．
由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，
即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0)．
∵a＋2b≥2，
∴2·＋ab≤30，得0＜≤3.
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当且仅当a＝2b 时取“＝”号，ab 最大值为18，此时得a＝6，b＝3.
故当a＝6 m，b＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少．
解法二：同解法一得b≤，代入y＝求解．
【典例3】如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用
钢筋网围成．
(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的
钢筋总长度最小？
【解析】(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.
解法一：由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，即S≤.
当且仅当2x＝3y 时等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大．
解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x＞0，∴0＜y＜6.
S＝xy＝y＝(6－y)y.
∵0＜y＜6，∴6－y＞0.
∴S≤＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3 时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长4.5 m，宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y 时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长6 m，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．
解法二：由xy＝24，得x＝.
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，
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当且仅当＝y，即y＝4 时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6 m，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小．
三、【培优训练】
【训练一】(多选)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A.a＋b＋c≤
B.(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2
D.a2＋b2＋c2≥1
【解析】由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋
ca)＝2，
∴a2＋b2＋c2≥1，
当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立.
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥.
若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3<2.因此，A，C 错误.故选BD.
【训练二】已知a＞0，b＞0，且ab＝1，求＋＋的最小值；
(2)若a，b∈R，ab>0，求的最小值.
【解析】(1)因为a＞0，b＞0，ab＝1，所以原式＝＋＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4
时，等号成立.
故＋＋的最小值为4.
(2)∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋
≥2＝4，
当且仅当即时取得等号.
【训练三】若x>0，y>0 且x＋y＝xy，则＋的最小值为________．
【解析】因为x>0，y>0 且x＋y＝xy，
则xy＝x＋y>y，即有x>1，同理y>1，
由x＋y＝xy 得，(x－1)(y－1)＝1，
于是得＋＝1＋＋2＋
＝3＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，
即x＝1＋，y＝1＋时取“＝”，
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所以＋的最小值为3＋2.
【训练四】设a>b>0，则a2＋＋的最小值是________．
【解析】∵a>b>0，∴a－b>0，
∴a(a－b)>0，a2＋＋
＝a2＋ab－ab＋＋
＝a2－ab＋＋ab＋
＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，
当且仅当
即a＝，b＝时等号成立．
∴a2＋＋的最小值是4.
【训练五】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值．
【解析】∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，
ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
【训练六】如图所示，已知树顶A 离地面米，树上另一点B 离地面米，某人在离地面米的C
处看此树，则该人离此树________米时，看A，B 的视角最大．
【解析】问题转化为求△ABC 中∠BCA 的取值范围．过点C 作CD⊥AB 交AB 的延长线于点
D.设该人距离此树的距离CD＝x 米，看A，B 的视角最大，即∠BCA 最大．不妨设∠BCD＝α，
∠ACD＝β，则∠BCA＝β－α，且tanα＝，tanβ＝，所以tan(β－α)＝＝＝≤＝，当且仅当x＝，
即x＝6 时取等号，此时∠BCA 最大．故填6.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是( )
A.x＝y
B.x＝2y
C.x＝2 且y＝1
D.x＝y 或y＝1
【解析】∵x>0，y>0，
∴x＋2y≥2，当且仅当x＝2y 时取等号.
故“x＝2 且y＝1 ”是“x＋2y＝2”的充分不必要条件.故选C.
2. 函数f(x)＝的最小值为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
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【解析】f(x)＝＝|x|＋≥2＝4，
当且仅当x＝±2 时，等号成立，故选B.
3. 若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b 的最小值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
【解析】由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b
＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2 时等号成立，所以a＋b 的最小值为4，故选C.
4. 已知正数a，b 满足a＋b＝1，则＋的最小值为( )
A. B.3 C.5 D.9
【解析】由题意知，正数a，b 满足a＋b＝1，
则＋＝(a＋b)
＝4＋1＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，
所以＋的最小值为9，故选D.
5. 已知函数f(x)＝ex在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l 上，则2a＋2－b的最小值是
( )
A.4 B.2 C.2 D.
【解析】由题意得f′(x)＝ex，f(0)＝e0＝1，k＝f′(0)＝e0＝1.所以切线方程为y－1＝x－0，即x－
y＋1＝0，∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，∴2a＋2－b≥2＝2＝2＝
，故选D.
6. 若2x＋2y＝1，则x＋y 的取值范围是( )
A．[0，2]
B．[－2，0]
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
【解析】因为1＝2x＋2y≥2＝2，(当且仅当2x＝2y＝，即x＝y＝－1 时等号成立)所以≤，所以
2x＋y≤，得x＋y≤－2.
故选D.
7. 设a>0，若关于x 的不等式x＋≥5 在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( )
A．16
B．9
C．4
D．2
【解析】在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1≥2 ＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号)．
由题意知2＋1≥5，所以a≥4.故选C.
8. 已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y 的最小值为( )
A．3
B．5
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C．7
D．9
【解析】因为x>0，y>0.且＋＝，所以x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2(1＋1＋＋)≥2(2＋2)＝8，当且
仅当＝，即x＝3，y＝4 时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y 的最小值为7，故选C．
【多选题】
9. 若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a＋b≥2
B．＋>
C．＋≥2
D．a2＋b2≥2ab
【解析】因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当a＝b 时取等号．所以选项C 正
确，又a，b∈R，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab 一定成立．故选CD.
10. 给出下面四个推断，其中正确的为( )
A．若a，b∈(0，＋∞)，则＋≥2
B．若x，y∈(0，＋∞)，则lg x＋lg y≥2
C．若a∈R，a≠0，则＋a≥4
D．若x，y∈R，xy<0，则＋≤－2
【解析】对于A 项，因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b 时取等号，
故A 项正确；对于B 项，当x，y∈(0，1)时，lg x，lg y∈(－∞，0)，此时lg x＋lg y≥2 显然
不成立，故B 项错误；对于C 项，当a<0 时，＋a≥4 显然不成立，故C 项错误；对于D 项，
若x，y∈R，xy<0，则－>0，－>0，所以＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－＝－，即x＝－y 时
取等号，故D 项正确．故选AD.
11. 已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤
【解析】对于选项A，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋
b2≥，正确；对于选项B，易知0<a<1，0<b<1，所以－1<a－b<1，所以2a－b>2－1＝，正确；对
于选项C，令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2<－2，错误；对于选项D，因为＝，所以[]2
－(＋)2＝a＋b－2＝(－)2≥0，所以＋≤，正确．故选ABD.
12. 设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b＋≥2
B.>
C.≥a＋b
D．(a＋b)≥4
【解析】因为a>0，b>0，
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所以a＋b＋≥2＋≥2，
当且仅当a＝b 且2＝，
即a＝b＝时取等号，故A 正确；
因为a＋b≥2>0，
所以≤＝，当且仅当a＝b 时取等号，
故B 错误；
因为≤＝，当且仅当a＝b 时取等号，
所以＝＝a＋b－≥
2－＝，当且仅当a＝b 时取等号，
所以≥，即≥a＋b，故C 正确；
因为(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b 时取等号，故D 正确．
故选ACD.
【填空题】
13. 设正项等比数列{an}的前n 项和为Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，则4a3＋的最小值为________.
【解析】设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，
∵S7－S5＝a7＋a6＝3(a4＋a5)，
∴＝q2＝3.
∴4a3＋＝4a3＋＝4a3＋≥2＝4，
当且仅当4a3＝，即a3＝时等号成立.
∴4a3＋的最小值为4.
14. 设P(x，y)是函数y＝(x>0)图象上的点，则x＋y 的最小值为________．
【解析】因为x>0，所以y>0，且xy＝2.由基本不等式得x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y 时等号成
立．所以x＋y 的最小值为2.
15. 函数y＝(x>－1)的最小值为________．
【解析】因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，
所以y≥2－2＝0，
当且仅当x＝0 时，等号成立．
16. 若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab 的最大值为________，＋的最小值为________．
【解析】因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当
a＝2b，即a＝2，b＝1 时等号成立，所以ab 的最大值为2，因为＋＝·＝(5＋＋)≥＝，当且仅
当a＝b 时等号成立，所以＋的最小值为.
【解答题】
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17. (1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0<x<2，求函数y＝的最大值．
【解析】(1)y＝(2x－3)＋＋
＝－＋.
当x<时，有3－2x>0，
所以＋≥2＝4，
当且仅当＝，
即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，
故函数的最大值为－.
(2)因为0<x<2，所以2－x>0，
所以y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，
即x＝1 时取等号，
所以当x＝1 时，函数y＝的最大值为.
18. 已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy 的最小值；
(2)x＋y 的最小值．
【解析】(1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝.
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4 时，等号成立．
所以xy 的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12，y＝6 时等号成立，
所以x＋y 的最小值为18.
19. 设a，b 为正实数，且＋＝2.
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(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab 的值．
【解析】(1)由2＝＋≥2 得ab≥，当且仅当a＝b＝时取等号，故a2＋b2≥2ab≥1，当且仅当a＝b
＝时取等号，所以a2＋b2的最小值是1.
(2)由(a－b)2≥4(ab)3得≥4ab，得－≥4ab，从而ab＋≤2，又ab＋≥2，所以ab＋＝2，所以ab
＝1.
20. (1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；
(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3 上移动，求2x＋4y的最小值．
【解析】(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.
∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立．
∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.
(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3 上移动，所以x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.
当且仅当 即时“＝”成立．
∴当时，2x＋4y取最小值为4.
21. (1)解不等式≤x－1；
(2)求函数y＝＋的最小值．
【解析】(1)≤x－1⇔≤0⇔≥0⇔
⇔ x≥3 或－1≤x＜1.
∴此不等式的解集为{x|x≥3 或－1≤x＜1}．
(2)∵x∈，∴2x＞0，1－2x＞0，∴y＝＋＝[2x＋(1－2x)]＝13＋＋≥25，当且仅当x＝时，等
号成立，即函数的最小值为25.
22. 某厂家拟定在2020 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万
件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销
量只能是1 万件．已知2020 年生产该产品的固定投入为8 万元，每生产1 万件该产品需要再
投入16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5 倍(产品成本包括固定
投入和再投入两部分资金)．
(1)将2020 年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；
(2)该厂家2020 年的促销费用投入多少万元时，厂家获取利润最大，最大利润是多少？
【解析】(1)由题意知，当m＝0 时，x＝1(万件)，
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所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
所以2020 年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)因为m≥0 时，＋(m＋1)≥2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．
故该厂家2020 年的促销费用投入3 万元时，厂家的利润最大，最大为21 万元．
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