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专题04 基本不等式（九大题型+模拟精练）
目录：
01 基本不等式的内容辨析
02 利用基本不等式比较大小
03 利用基本不等式求最值
04 条件等式求最值
05 基本不等式“1”的妙用
06 对勾函数、类对勾函数求最值
07 基本不等式在其他模块的应用
08 高考新考法—以生活情境、传统文化等为背景考查基本不等式
09 高考新考法—新定义基本不等式压轴题
01 基本不等式的内容辨析
1．（21-22 高一下·广东深圳·期末）下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022 高一·全国·专题练习）已知
为实数，且
，则下列命题错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
3．（22-23 高一上·江苏常州·阶段练习）下列说法，其中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值为
02 利用基本不等式比较大小
4．（2023·河南开封·三模）已知
，
，且
，
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（21-22 高三上·河南·阶段练习）已知关于
的方程
有两个实根
，
，则下列
1
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不等式中正确的有 .（填写所有正确结论的序号）
①
； ②
③
； ④
.
03 利用基本不等式求最值
6．（23-24 高一上·重庆·期末）函数
的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．
D．
7．（23-24 高一上·北京·阶段练习）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
8．（23-24 高三上·陕西西安·阶段练习）函数
的最小值为（ ）
A．2
B．5
C．6
D．7
04 条件等式求最值
9．（23-24 高三上·湖北武汉·期末）已知正数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．6
D．
05 基本不等式“1”的妙用
11．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
12．（23-24 高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数
，
，满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
06 对勾函数、类对勾函数求最值
13．（2023 高三·全国·专题练习）函数y＝x＋
（x≥2）取得最小值时的x 值为 ．
14．（2023 高三·全国·专题练习）函数f（x）＝
＋1 的最小值为 ．
15．（22-23 高三上·江苏南通·期中）已知正实数x，y 满足
，函数
的最小
值为
，则实数
取值的集合为 ．
2
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07 基本不等式在其他模块的应用
16．（23-24 高三下·北京顺义·阶段练习）若数列
为等比数列，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
17．（22-23 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．当
且
时，
B．当
时，
的最小值为4
C．当
时，
D．当
时，
18．（2024·广东湛江·一模）已知
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（23-24 高三下·广东广州·阶段练习）已知正实数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（23-24 高一上·山西太原·阶段练习）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形
三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S 可由公式
求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现
有一个三角形的边长满足
，
，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．
B．8
C．
D．
21．（2023·浙江杭州·二模）已知
，
，且
，则ab 的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
22．（2023·江苏常州·一模）设为复数，为虚数单位，关于
的方程
有实数根，则复数的
模
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2024·河北沧州·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，直线l 交抛物线T 于A，B 两
3
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点，M 为线段
的中点，过点M 作抛物线T 的准线的垂线，垂足为N，若
，则
的最大值
为（ ）
A．1
B．
C．
D．
24．（20-21 高三·北京·强基计划）在
中，角A，B，C 的对边长分别为a，b，c，且
，则
的周长为（ ）
A．17
B．18
C．19
D．前三个选项都不对
25．（2024·河南·三模）在
中，角
的对边分别为
，若
，则
的最小值
为 ．
26．（2023·上海静安·二模）已知函数
为偶函数，则函数
的值域为 .
27．（22-23 高三上·云南曲靖·阶段练习）已知
，直线
与
互相垂直，
则
的最小值为 .
28．（2024·湖南·二模）若锐角
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（2023·河南开封·模拟预测）在三棱锥
中，PA⊥平面ABC，
，
当三棱锥的体积最大时，三棱锥
外接球的体积为 ．
30．（20-21 高三下·浙江·阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，若点
，
是该抛物线上的点，
，
，线段
的中点
在抛物线的准线上的射影为
，则
的最大值为 ．
08 高考新考法—以生活情境、传统文化等为背景考查基本不等式
31．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是
，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000 平方米，每平方
米收费1 元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000
B．10480
C．10816
D．10818
32．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分
别为m 元和n 元
，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100 元的该商品，乙每周购买20
件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的大小无法确定
4
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33．（2024·广东湛江·二模）当
，
时，
.这个基本不等式可以推广为当x，
时，
，其中
且
，
.考虑取等号的条件，进而可得当
时，
.
用这个式子估计
可以这样操作：
，则
.用这样的方法，可得
的近似值为（ ）
A．3.033
B．3.035
C．3.037
D．3.039
34．（22-23 高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后
世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，
也称之为无字证明．现有如图所示图形，点
在半圆
上，点
在直径
上，且
，设
，
，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（2023·安徽池州·模拟预测）
年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一
根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大
后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问
题我们把地球表面抽象为平面
，悬杆抽象为线段
或直线上两点
，
，则上述问题可以转化为如
下的数学模型：如图，一条直线垂直于一个平面
，直线有两点
，
位于平面
的同侧，求平面上
一点
，使得
最大建立如图
所示的平面直角坐标系设
，
两点的坐标分别为
，
，设点
的坐标为
，当
最大时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
09 高考新考法—新定义基本不等式压轴题
36．（23-24 高二下·广东江门·阶段练习）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线
5
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弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线
上的曲线段
，其弧长为
，当动点从
A 沿曲线段
运动到B 点时，A 点的切线
也随着转动到B 点的切线
，记这两条切线之间的夹角为
（它等于
的倾斜角与
的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当
夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义
为曲线段
的平均曲率；显然当B 越接
近A，即
越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义曲线
在点
处
的曲率计算公式为
，其中
．
(1)求单位圆上圆心角为
的圆弧的平均曲率；
(2)已知函数
，求曲线
的曲率的最大值；
(3)已知函数
，若
曲率为0 时x 的最小值
分别为
，求证：
．
一、单选题
1．（2024·甘肃定西·一模）
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知
，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列
满足
，则
有（ ）
A．最小值
B．最大值18
C．最小值27
D．最大值
6
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4．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若正实数
满足
，则
有最小值4
B．若正实数
满足
，则
C．
的最小值为
D．若
，则
5．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．2
6．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由
相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按
图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角
满足
，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在
中，
为线段
的中点，
为线段
上一点，
，过点
的直线分别交直线
，
于
，
两点．设
，
，
则
的最小值为（ ）
7
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A．
B．
C．3
D．6
8．（2024·天津·二模）已知抛物线
的焦点为
，抛物线上的点
到
的距离为6，
双曲线
的左焦点
在抛物线的准线上，过点
向双曲线的渐近线作垂线，垂足为
，则
与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）．
A．2
B．
C．
D．3
二、多选题
9．（2024·河南信阳·一模）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b 满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·浙江·二模）已知正实数
，
，，且
，
，
，为自然数，则满足
恒成立的
，
，可以是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
三、填空题
12．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，
20，且总体的平均值为10．则
的最小值为 ．
13．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）《孙子算经》中提到“物不知数”问题.如：被3 除余2 的正整数按照
8
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从小到大的顺序排成一列，即
，构成数列
，记数列
的前
项和为
，则
的
最小值为 .
14．（2024·江西上饶·一模）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为
．
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）记
的内角
所对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)求
的最小值．
16．（2023·全国·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
外接圆的半径为
，求
的面积最大值．
17．（2024·四川·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，离心率为
．点
在直线
上运动，且直线
的斜率与直线
的斜率之商为2．
(1)求
的方程；
(2)若点A、B 在椭圆
上，
为坐标原点，且
，求
面积的最小值．
18．（2024·辽宁·模拟预测）（1）利用双曲线定义证明：方程
表示的曲线是焦点在直线
上的双
曲线，记为曲线
；
（2）设点
在曲线
上，
在曲线
上，且满足
，求
方程；
（3）点
在
上，过点
的直线与
的渐近线交于
，
两点，且满足
，求
（
为
坐标原点）的面积.
19．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数
在约束条件
的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数
，其中
为拉格朗日
系数．分别对
中的
部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
9
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，解此方程组，得出解
，就是二元函数
在约束条件
的可能极值点．
的值代入到
中即为极值．
补充说明：【例】求函数
关于变量
的导数．即：将变量
当做常数，即：
，下标加上
，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的
表示
分别对
进行求导．
(1)求函数
关于变量
的导数并求当
处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数
满足
，求
的最大值．
(3)①若
为实数，且
，证明：
．
②设
，求
的最小值．
10
