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专题06 三角函数的概念与公式
一、知识速览
二、考点速览
1
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知识点1 任意角与弧度制
1、角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边
(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何
一个象限．
（3）所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2、弧度制
定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度记作rad
角α 的弧度数公式
|α|＝(弧长用l 表示)
角度与弧度的换算
①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
知识点2 任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α 的正弦，记作sin
α
叫做α 的余弦，记作cos
α
叫做α 的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP 为正弦线
有向线段OM 为余弦线
有向线段AT 为正切线
知识点3 同角三角函数基本关系式与诱导公式
1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
2、商数关系：＝tan α.
2
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3、基本关系式的几种变形
（1）sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
（2）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
（3）sin α＝tan αcos α.
4、三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
函数名改变，符号看象限
函数名不变，符号看象限
“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
知识点4 三角恒等变换公式
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
S(α－β)
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
T(α－β)
tan(α－β)＝；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β 都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义．
2、二倍角公式
S2α
sin 2α＝2sin α cos α；
变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α
tan 2α＝
3、辅助角公式
3
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一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b 为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)
或f(α)＝cos(α－φ) .
一、确定角
终边所在象限的方法
法1 分类讨论法：利用已知条件写出
的范围（用
表示），由此确定
的范围，在对
进行分类讨论，
从而确定
所在象限。
法2 几何法：先把各象限分为
等份，再从
轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、
四……则
原来是第几象限的角，标号为几的区域即角
终边所在的区域。
【典例1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）如果α 是第三象限的角，那么
可能是下列哪个象限的
角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ACD
【解析】
是第三象限的角，则
，
，
所以
，
；
当
，
，在第一象限；
当
，
，在第三象限；
当
，
，在第四象限；
所以
可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD
【典例2】（2022·全国·高三专题练习）（多选）如果
是第四象限角，那么
可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】BD
【解析】由已知得
，
，所以
，
，
当
为偶数时，
在第四象限，当
为奇数时，
在第二象限，即
在第二或第四象限．故选：
4
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BD．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）若
是第二象限角，则（ ）
A．
是第一象限角 B．
是第一或第三象限角
C．
是第二象限角 D．
是第三象限角或
是第四象限角或
的终边在y 轴负半轴上
【答案】BD
【分析】由已知可得
，然后逐个分析判断即可
【解析】因为
是第二象限角，所以可得
．
对于A，
，则
是第三象限角，所以A 错误;
对于B，可得
，当k 为偶数时，
是第一象限角；
当k 为奇数时，
是第三象限角．所以B 正确;
对于C，
，即
，
所以
是第一象限角，所以C 错误;
对于D，
，
所以
的终边位于第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，所以D 正确．故选：BD．
二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
1、已知角
的终边上一点
的坐标，求角
的三角函数值
方法：先求出点
到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
2、已知角
的一个三角函数值和终边上一点
的横坐标或纵坐标，求与角
有关的三角函数值
方法：先求出点
到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出
未知数，从而求解问题。
3、已知角的终边所在的直线方程（
），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点
，求出点
到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意
的符号，对
进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角
的三角函数值。
【典例1】（2023·上海·统考模拟预测）已知
为角α 终边上一点，则
= ．
【答案】
/0.2
【解析】
为角α 终边上一点，
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，
则
，
，
.
【典例2】（2023 秋·吉林长春·高三长春市第十七中学校考开学考试）如果角
的终边在直线
上，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为角
的终边在直线
上，所以
.
所以
.故选：B.
【典例3】（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）在平面直角坐标系中，角
的顶点与坐标原点重合，
始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
，且
，则
的值可以是（ ）
A．
B．
1 C．0 D．
2
【答案】BC
【解析】由题设
，故
，整理得
，
所以
或
.故选：BC
三、对sin α，cos α，tan α 的知一求二问题
1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1 求解
2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α 建立联系，注意tan α＝的灵活应用
3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α 或cos α＝，然后利用平方关系求解
【典例1】（2023 春·湖南永州·高三统考）已知
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【解析】∵
且
，∴
，故选：B.
【典例2】（2023·西藏拉萨·统考一模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
所以
，
所以
，
所以
，故选：D．
【典例3】（2023 秋·福建·高三厦门第二中学校考开学考试）若
，
,则
.
【答案】
【解析】因为
，则
，
，
又因为
，则
，
且
，解得
或
（舍去）,
所以
.
故答案为：
.
四、已知tan α 求sin α，cos α 齐次式中“切弦互化”的技巧
1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
7
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（1）sin α，cos α 的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
（2）sin α，cos α 的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
【典例1】（2023 秋·江西·高三南昌外国语学校校考）若
，则
.
【答案】
【解析】
，
.故答案为：
.
【典例2】（2023·江苏·南京市第一中学校考模拟预测）已知
，则
．
【答案】
/
【解析】
,
故答案为：
.
【典例3】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知
，则
的值是 ．
【答案】5
【解析】因为
，
所以
，
故答案为：5.
五、sin α±cos α 与sin αcos α 关系的应用
对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α 这三个式子，知一可求二，
若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α 的范围选取正、负号)，体
现了方程思想的应用．
【典例1】（2023 秋·广东揭阳·高三校考开学考试）已知
，A 为第四象限角，则
等于
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
可得
，
.
.
又 A 为第四象限角，
又
所以
，
.所以
.答案：C.
【典例2】（2023 秋·云南·高三校联考阶段练习）已知
，且
，则下列结果正确的是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，故A 错误；
因为
，
又
，所以
，所以
，故B 正确；
，
又
，所以
所以
，故C 错误；
联立
解得
，
所以
，故D 错误；故选：B.
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【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知
为第三象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，两边平方得
，
即
，又因为
为第三象限角，且
，
所以
，
，
所以
，所以
，
则
．
故
．故选：D．
五、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
――――――→――――――――→――――――――→
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
.
同理，
，
所以点P 位于第一象限．故选：A．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知
，且
，则
＝ .
【答案】
【解析】∵
，
.
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又
，
，
，
，
原式
.故答案为：
.
【典例3】（2022 秋·浙江金华·高三校考）已知
为第三象限角，
= .
【答案】
【解析】
,故答案为：
.
七、给值求值问题的求解策略
1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;
②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：
);
4
(
2
4
);
(
;
)
(
)]
(
)
[(
2
1
)];
(
)
[(
2
1
;
2
2
等.
【典例1】（2022 秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知
，
，
，
，则
的值为 ．
【答案】
【解析】
，即
又因为
，所以
，所以
，
因为
，
，所以
，
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又
，所以
，
而
，
所以
.
【典例2】（2023 秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知
，
则
.
【答案】
/
【解析】因为
，
，
，
因为
，
所以
，所以
，
故
，故答案为：
.
【典例3】（2022 秋·天津·高三校考）已知
，则
的值是 .
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【答案】
【解析】因为
，
所以
八、给值求角问题的求解策略
“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：
（1）求值：求出所求角的某种三角函数值.
（2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.
（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.
【典例1】（2022 秋·江西·高三校联考）已知
，
，且
，
，则
的值是 .
【答案】
【解析】因为
，
，且
，
，
所以
，
，且
，
则
，
所以
.
【典例2】（2022 秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，则
，因为
，则
，可得
，
因为
，则
，
，
所以，
，
，
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所以，
，
所以，
.故选：A.
【典例3】（2023 秋·湖北·高三武汉第六中学校考）已知
、
是方程
的两个根，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【解析】方程
中，
，则
，
于是
，显然
，
又
，则有
，
，
所以
.故选：B
九、三角函数式的化简要遵循“三看”原则
【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设
，
，
，则有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
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，
，
由
的性质可知，
，故选：A.
【典例2】（2022 秋·安徽·高三六安二中校考）化简
的结果是（ ）
A．1 B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】
.故选：A.
【典例3】（2022 秋·河北·高三张家口市第一中学校考期中）
等于（ ）
A．1 B．2 C．
D．
【答案】A
【解析】由
故选：A
易错点1 对任意角的理解不到位
点拨：根据任意角的定义，顺时针旋旋转为负角，逆时针旋转为正角。
【典例1】（2022·全国·高三专题练习）喜洋洋从家步行到学校，一般需要10 分钟，则10 分钟时间钟表的
分针走过的角度是（ ）
A．30° B．﹣30° C．60° D．﹣60°
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【答案】D
【解析】因为分针为顺时针旋转，所以10 分钟时间钟表的分针走过的角度是
.故选：D．
【典例2】．（2023·全国·高三专题练习）教室里的钟表慢了30 分钟，在同学将它校正的过程中，时针需
要旋转多少弧度?（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将钟表校正的过程中，需要顺时针旋转时针
，其大小为
，
故时针需要旋转
弧度，故选：A.
易错点2 三角函数定义中，忽略点坐标值的正负
点拨：在应用三角函数定义时，要注意对参数正负进行讨论。
【典例1】（2022 秋·河南·高三校联考）已知角
的终边经过点
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．1 或
D．
或
【答案】D
【解析】由题意可得：点P 与原点间的距离
，
∴
.
当
时，则
，故
；
当
时，则
，故
.故选：D.
【典例2】（2022 秋·山东·高三宁阳第四中学校考）（多选）已知角
的顶点与原点重合，始边与x 轴非
负半轴重合，终边上的一点为
（
），则下列各式一定为负值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由题意知：
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(1)若m > 0 时，有
∴
(2)若m < 0 时，有
∴
综上，知：一定为负值的有
、
，故答案为：AB
易错点3 忽略角所在的象限
点拨：利用同角三角函数基本关系式求三角函数值时，要注意角所在的象限，从而确定三角函数值的
符号。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若sin α＝－
，则tan α＝ .
【答案】
或
【解析】因为sin α＝－
<0，所以α 为第三象限角或第四象限角，
当α 为第三象限角时，cos α＝－
＝－
，因此tan α＝
＝
.
当α 为第四象限角时，cos α＝
＝
，因此tan α＝
＝－
.
故答案为：
或－
【典例2】（2023·吉林·梅河口第五中学校考模拟预测）若
，
，则
（
）
A．1 B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
，
，
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又
，所以
，即
，
所以
.故选：C
易错点4 没有挖掘题目中的隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象
点拨：在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖
掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在
区间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合
三角函数的单调性等。
【典例1】（2024 秋·浙江·高三舟山中学校开学联考）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将
平方得
，
所以
，则
．
所以
，
从而
．
联立
，得
．
所以
，
．
故
．故选：D
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知
，
，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】因为
①，故
，
即
，
因为
，故
，可得
，
则
，故
②，
①②联立解得
，
，故A 正确，B 错误；
，C 错误；
，D 正确，故选：AD
易错点5 忽视对k 的讨论
点拨：使用诱导公式出现
时，要注意对
进行奇偶讨论。
【典例1】（2022·江苏·高三专题练习）（多选）已知角
满足
，则表达式
的取值可能为（ ）
A．-2 B．-1 或1 C．2 D．-2 或2 或0
【答案】AC
【解析】当
为奇数时，原式
；
当
为偶数时，原式
.
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