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2019 年湖南省邵阳市洞口县中考数学一模试卷
一．选择题（共12 小题，满分36 分，每小题3 分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B．负数没有立方根
C．无理数都是开不尽的方根数
D．无理数都是无限小数
2．下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对长江水质情况的调查
B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
C．对某班40 名同学体重情况的调查
D．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．一次函数y＝（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m 的取值范围是（ ）
A．m＜2
B．1＜m＜2
C．m＜1
D．m＞2
5．将一条两边沿平行的纸带如图折叠，若∠1＝62°，则∠2 等于（ ）
A．62°
B．56°
C．45°
D．30°
6．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1 等于（ ）
A．75°
B．90°
C．105°
D．115°
7．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，动点P 从点C 出发沿CB 方向以3cm/s 的速
度向点B 运动，同时动点Q 从点B 出发沿BA 方向以2cm/s 的速度向点A 运动，将△APQ 沿直线
AB 翻折得△AP′Q，若四边形APQP′为菱形，则运动时间为（ ）
A．1s
B．
s
C．
s
D．
s
8．若关于x 的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m 有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1＝2，x2＝3；②m＞﹣
；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，
0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
9．在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击10 次的成绩（单位：环）如图，在这三人中，此次射击成绩最稳
定的是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．无法判断
10．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕
为DE，则cos∠CBE 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．正方形地板由9 块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么
米粒最终停留在黑色区城的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（ ）
A．80°
B．80°或20°
C．20°
D．80°或50°
二．填空题（共8 小题，满分24 分，每小题3 分）
13．
的倒数是 ．
14．写出一个二次项系数为1，且一个根是3 的一元二次方程 ．
15．若关于x 的不等式3m﹣2x＜5 的解集是x＞3，则实数m 的值为 ．
16．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E，若∠DCA＝30°，AB＝3，则阴影部分的面积为
．
17．如图，在△ABC 中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝40°，P 是△ABC 内一点，且∠ACP＝∠PBC，则∠BPC
＝ ．
18．用形状大小完全相同的等边三角形和正方形按如图所示的规律拼图案，即从第2 个图案开始每个
图案比前一个图案多4 个等边三角形和1 个正方形，则第n 个图案中等边三角形的个数为
个．
19．△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB'C′，则
点B 的对应点B'的坐标为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在第一象限，点B，C 的坐标为（2，1），（6，1），
∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB 交x 轴于点P．若△ABC 与△A'B'C'关于点P 成中心对称，则点A'的
坐标为 ．
三．解答题（共8 小题）
21．计算：
×（1﹣
）﹣（8
﹣
）
22．解方程：
﹣
＝1．
23．如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B 的值．
24．CE 是△ABC 的一个外角∠ACD 的平分线，且EF∥BC 交AB 于点F，∠A＝60°，∠CEF＝50°，求
∠B 的度数．
25．如图，在大楼AB 正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60 米，在斜坡下的点C 处测得
楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A，C，E 在同一直线上．
（1）求坡底C 点到大楼距离AC 的值；
（2）求斜坡CD 的长度．
26．水果店老板以每斤2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4 元的价格出售，每天可售出
100 斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1 元，每天可多售出20 斤，为保证每天至少
售出260 斤，老板决定降价销售．
（1）若这种水果每斤售价降低x 元，则每天的销售量是 斤（用含x 的代数式表示，需要化
简）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300 元，老板需将每斤的售价定为多少元？
27．某商场将每件进价为80 元的某种商品按每件100 元出售，一天可售出100 件．后来经过市场调查，
发现这种商品单价每降低1 元，其销量可增加10 件．
（1）若商场经营该商品一天要获利润2160 元，则每件商品应降价多少元？
（2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元．求出y 与x 之间的函数关系式，并求当x
取何值时，商场获利润最大？
28．在正方形ABCD 中，AB＝8，点P 在边CD 上，tan∠PBC＝
，点Q 是在射线BP 上的一个动点，过
点Q 作AB 的平行线交射线AD 于点M，点R 在射线AD 上，使RQ 始终与直线BP 垂直．
（1）如图1，当点R 与点D 重合时，求PQ 的长；
（2）如图2，试探索：
的比值是否随点Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没
有变化，请求出它的比值；
（3）如图3，若点Q 在线段BP 上，设PQ＝x，RM＝y，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．
2019 年湖南省邵阳市洞口县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12 小题，满分36 分，每小题3 分）
1．【分析】解答本题可以有排除法解答，根据平方根的性质可以排除A，根据立方根的意义可以排除
B，根据无理数的定义可以排除C，故可以得到正确答案．
【解答】解：（1）由平方根的性质可以得知，负有理数没有平方根，0 的平方根是0，∴A 错误．
（2）∵任何实数都有立方根，∴B 答案错误．
（3）∵无理数的定义是无限不循环小数叫做无理数，∴C 答案错误．
∴D 答案正确．
故选：D．
【点评】本题是一道涉及无理数和平方根的试题，考查了无理数的定义，平方根的性质，立方根的
性质等几个知识点．
2．【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，
普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查
的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受
到限制，这时就应选择抽样调查．
【解答】解：A：长江水污染的情况，由于范围较大，适合用抽样调查；故此选项错误；
B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，数量较大；不容易掌控，适合抽样调查，故此选项错
误；
C：对某班40 名同学体重情况的调查，数量少，范围小，采用全面调查；故此选项正确；
D：对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查，具有破坏性，应选择抽样调查；故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了适合普查的方式，一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有
破坏性；④可操作性较强．基于以上各点，“了解全班同学本周末参加社区活动的时间”适合普
查，其它几项都不符合以上特点，不适合普查．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合．
4．【分析】根据一次函数的图象经过第二、三、四象限判断出函数k 及b 的符号，得到关于m 的不等式
组，解不等式组即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣2）x+（m﹣1）的图象在第二、三、四象限，
∴
，
解得1＜m＜2．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b 的关系．解答本题注意理解：直线
y＝kx+b 所在的位置与k、b 的符号有直接的关系．k＞0 时，直线必经过一、三象限．k＜0 时，直线必
经过二、四象限．b＞0 时，直线与y 轴正半轴相交．b＝0 时，直线过原点；b＜0 时，直线与y 轴负半
轴相交．
5．【分析】先根据∠1＝62°可求出∠EAB＝180°﹣∠1＝180°﹣62°＝118°，根据AE∥BF 可知，∠ABF
＝180°﹣∠EAB＝62°，进而可求出∠2 的度数．
【解答】解：∵∠1＝62°，
∴∠EAB＝180°﹣∠1＝180°﹣62°＝118°，
∵AE∥BF，
∴∠ABF＝180°﹣∠EAB＝62°，
∴∠2＝180°﹣2∠ABF＝180°﹣2×62°＝56°．
故选：B．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知图形翻折变换的性质是解答此题
的关键．
6．
【分析】依据AB∥EF，即可得∠BDE＝∠E＝45°，再根据∠A＝30°，可得∠B＝60°，利用三角形外角
性质，即可得到∠1＝∠BDE+∠B＝105°．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠BDE＝∠E＝45°，
又∵∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠1＝∠BDE+∠B＝45°+60°＝105°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
7．【分析】连接P′P，交AB 于O，根据菱形的判定定理得到点O 为AQ 的中点时，四边形APQP′为
菱形，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：连接P′P，交AB 于O，
当点O 为AQ 的中点时，四边形APQP′为菱形，
则AO＝OQ＝
＝4﹣t，
∵∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，
∴BC＝
＝10，
∵OP∥AC，
∴
＝
，即
＝
，
解得，t＝
，
即当四边形APQP′为菱形，则运动时间为
s，
故选：D．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、平行线分线段成比例定理，掌握翻转变换的
性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．
8．【分析】将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别
式≥0，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系
求出两根之积为6﹣m，这只有在m＝0 时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析
式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，
令y＝0，得到关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出二次函数图象与x 轴的交点坐标，
即可对选项③进行判断．
【解答】解：一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m 化为一般形式得：x2﹣5x+6﹣m＝0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4（6﹣m）＝4m+1＞0，
解得：m＞﹣
，故选项②正确；
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝5，x1x2＝6﹣m，
而选项①中x1＝2，x2＝3，只有在m＝0 时才能成立，故选项①错误；
二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m＝x2﹣5x+（6﹣m）+m＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）
（x﹣3），
令y＝0，可得（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x＝2 或3，
∴抛物线与x 轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．
综上所述，正确的结论有2 个：②③．
故选：C．
【点评】此题考查了抛物线与x 轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的
运用，是中考中常考的综合题．
9．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：根据统计图波动情况来看，此次射击成绩最稳定的是乙，波动比较小，比较稳定．
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数
据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各
数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．【分析】折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．
【解答】解：根据题意，BE＝AE．设CE＝x，则BE＝AE＝8﹣x．
在Rt△BCE 中，根据勾股定理得：BE2＝BC2+CE2，即（8﹣x）2＝62+x2
解得x＝
，
BE＝
，BC＝6，
∴cos∠CBE＝
，
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切
等于对比邻．
11．【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的面积的比值即可解决问题；
【解答】解：∵由图可知，黑色方砖2 块，共有9 块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的面积的比值＝
，
∴米粒停在黑色区域的概率是
．
故选：B．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表
示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
12．【分析】分别从：①若100°是等腰三角形顶角的外角，②若100°是等腰三角形底角的外角，去分析，
即可求得答案．
【解答】解：①若100°是等腰三角形顶角的外角，
则它的顶角的度数为：180°﹣100°＝80°；
②若100°是等腰三角形底角的外角，
则它的底角的度数为：180°﹣100°＝80°；
∴它的顶角为：180°﹣80°﹣80°＝20°；
∴它的顶角的度数为：80°或20°．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论
思想的应用，小心别漏解．
二．填空题（共8 小题，满分24 分，每小题3 分）
13．【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：
的倒数是4．
故答案为：4．
【点评】考查了倒数，关键是熟悉乘积是1 的两数互为倒数．
14．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，确定一元二次方程．
【解答】解：根据题意，设该一元二次方程为：（x+b）（x+a）＝0；
∵该方程的一个根是3，
∴该一元二次方程可以是：x（x﹣3）＝0．
即x2﹣3x＝0
故答案是：x2﹣3x＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，利用待定系数法求出方程式．
15．【分析】根据解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得关于m 的方程，根据解方程，
可得答案．
【解答】解：解3m﹣2x＜5，得
x＞
．
由不等式的解集，得
＝3．
解得m＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于m 的方程是解题关键．
16．【分析】作DN⊥AB，垂足为N，求出∠BOD 的度数，进而求出扇形BOD 的面积，再求出△BOD 的
面积，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：作DN⊥AB，垂足为N，
∵∠DCA＝30°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∵AB＝2，
∴OB＝
，
∴S 扇形BOD＝
＝
π，
在Rt△DON 中，sin60°＝
＝
，
∴DN＝
，
∴S△BOD＝
×
×
＝
，
∴S 阴影＝
π﹣
，
故答案为
π﹣
．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是根据题意得到阴影面积＝扇形BOD 的面
积﹣三角形BOD 的面积．
17．【分析】根据∠BAC＝40°的条件，求出∠ACB+∠ABC 的度数，再根据∠ACB＝∠ABC，∠ACP＝
∠CBP，求出∠PBA＝∠PCB，于是可求出∠ACP+∠ABP＝∠PCB+∠PBC，然后根据三角形的内
角和定理求出∠BPC 的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝40°，
∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣40°＝140°，
又∵∠ACB＝∠ABC，∠ACP＝∠CBP，
∴∠PBA＝∠PCB，
∴∠ACP+∠ABP＝∠PCB+∠PBC＝140°×
＝70°，
∴∠BPC＝180°﹣70°＝110°．
故答案为110°．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．
18．【分析】根据题目中的图形，可以发现正三角形个数的变化情况，从而可以求得第n 个图案中等边
三角形的个数．
【解答】解：当n＝1 时，等边三角形的个数为：2，
当n＝2 时，等边三角形的个数为：2+4×1＝6，
当n＝3 时，等边三角形的个数为：2+4×2＝10，
当n＝4 时，等边三角形的个数为：2+4×3＝14，
故第n 个图案中等边三角形的个数为：2+4（n﹣1）＝4n﹣2，
故答案为：（4n﹣2）．
【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形个数的变化规律，
利用数形结合的思想解答．
19．【分析】根据△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB'C′，画出图形即可解决问题．
【解答】解：将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB′C′，图形如图所示，
∴点B'的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化，解答本题的关键是依据旋转的三要素，找到点B 的对应点
B'的位置．
20．【分析】根据等腰直角三角形，可得AB 的长，再根据锐角三角函数，可得AD，BD 的长，再根据待
定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得P 点坐标，根据中点坐标公式，
可得答案．
【解答】解：如图：
点B，C 的坐标为（2，1），（6，1），得
BC＝4．
由∠BAC＝90°，AB＝AC，
得AB＝2
，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝2，
A（4，3），
设AB 的解析式为y＝kx+b，将A，B 点坐标代入，得
，
解得
，
AB 的解析式为y＝x﹣1，
当y＝0 时，x＝1，即P（1，0），
由中点坐标公式，得
xA′＝2xP﹣xA＝2﹣4＝﹣2，
yA′＝2yA′﹣yA＝0﹣3＝﹣3，
A′（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形得出AB 的长是解题关键．
三．解答题（共8 小题）
21．【分析】先把
与
化成最简二次根式，再去掉括号，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝
×（1﹣
）﹣（8×
﹣2
）
＝
﹣2﹣4
+2
＝﹣
﹣2．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，掌握运算步骤和法则是解题的关键．
22．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方
程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2 时，方程左右两边相等，
所以x＝2 是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23．【分析】根据整式的乘法，可得相等的整式，根据相等整式中同类项的系数相等，可得答案．
【解答】解：x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，得
A＝2，B＝﹣15．
3A﹣B＝3×2+15＝21．
【点评】本题考查了因式分解，利用整式的乘法得出相等整式中同类项的系数相等是解题关键．
24．【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ACB 的度数，再根据三角形内角和定
理，即可得到∠B 的度数．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠ECD＝50°，
∵CE 平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD，
∴∠ACE＝∠ACE+∠ECD＝100°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠B＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．
25．【分析】（1）在直角三角形ABC 中，利用锐角三角函数定义求出AC 的长即可；
（2）设CD＝2x，则DE＝x，CE＝
x，构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）在直角△ABC 中，∠BAC＝90°，∠BCA＝60°，AB＝60 米，则AC＝
＝
＝20
（米）
答：坡底C 点到大楼距离AC 的值是20
米．
（2）设CD＝2x，则DE＝x，CE＝
x，
在Rt△BDF 中，∵∠BDF＝45°，
∴BF＝DF，
∴60﹣x＝20
+
x，
∴x＝40
﹣60，
∴CD＝2x＝80
﹣120，
∴CD 的长为（80
﹣120）米．
【点评】此题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的
关键．
26．【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．
【解答】解：
（1）将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是100+
×20＝100+200x（斤）；
故答案为：100+200x
（2）设这种水果每斤售价降低x 元，根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
解得：x＝
或x＝1，
当x＝
时，销售量是100+200×
＝200＜260；
当x＝1 时，销售量是100+200＝300（斤）．
∵每天至少售出260 斤，
∴x＝1．
4﹣1＝3，
答：老板需将每斤的售价定为3 元．
【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二
问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．
27．【分析】（1）根据“总利润＝每件的利润×每天的销量”列方程求解可得；
（2）利用（1）中的相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）依题意得：（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160，
即x2﹣10x+16＝0，
解得：x1＝2，x2＝8，
答：商店经营该商品一天要获利润2160 元，则每件商品应降价2 元或8 元；
（2）依题意得：y＝（100﹣80﹣x）（100+10x）
＝﹣10x2+100x+2000
＝﹣10（x﹣5）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝5 时，y 取得最大值为2250 元．
答：y＝﹣10x2+100x+2000，当x＝5 时，商场获取最大利润为2250 元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，由题意确定题目蕴含的相等关系，
并据此列出方程或函数解析式是解题的关键．
28．【分析】（1）先求出PC＝6、PB＝10、RP＝2，再证△PBC∽△PRQ 得
，据此可得；
（2）证△RMQ∽△PCB 得
，根据PC＝6、BC＝8 知
，据此可得答案；
（3）由PD∥AB 知
，据此可得
、PN＝
，由
、RM＝y 知
，根据
PD∥MQ 得
，即
，整理可得函数解析式，当点R 与点A 重合时，PQ 取得最大
值，根据△ABQ∽△NAB 知
＝
，求得x＝
，从而得出x 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，得AB＝BC＝CD＝AD＝8，∠C＝∠A＝90°，
在Rt△BCP 中，∠C＝90°，
∴
，
∵
，
∴PC＝6，
∴RP＝2，
∴
，
∵RQ⊥BQ，
∴∠RQP＝90°，
∴∠C＝∠RQP，
∵∠BPC＝∠RPQ，
∴△PBC∽△PRQ，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）
的比值随点Q 的运动没有变化，
如图1，
∵MQ∥AB，
∴∠1＝∠ABP，∠QMR＝∠A，
∵∠C＝∠A＝90°，
∴∠QMR＝∠C＝90°，
∵RQ⊥BQ，
∴∠1+∠RQM＝90°、∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，
∴∠RQM＝∠PBC，
∴△RMQ∽△PCB，
∴
，
∵PC＝6，BC＝8，
∴
，
∴
的比值随点Q 的运动没有变化，比值为
；
（3）如图2，延长BP 交AD 的延长线于点N，
∵PD∥AB，
∴
，
∵NA＝ND+AD＝8+ND，
∴
，
∴
，
∴
，
∵PD∥AB，MQ∥AB，
∴PD∥MQ，
∴
，
∵
，RM＝y，
∴
又PD＝2，
，
∴
，
∴
，
如图3，当点R 与点A 重合时，PQ 取得最大值，
∵∠ABQ＝∠NBA、∠AQB＝∠NAB＝90°，
∴△ABQ∽△NAB，
∴
＝
，即
＝
，
解得x＝
，
则它的定义域是
．
【点评】本题主要考查相似三角形的综合题，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理及相
似三角形的判定与性质．
