北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.6 圆锥曲线的综合问题
基础篇
【基础集训】
考点一 曲线与方程
1.设k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是 ( )
A.长轴在x轴上的椭圆
B.长轴在y轴上的椭圆
C.实轴在x轴上的双曲线
D.实轴在y轴上的双曲线
答案 D
2.两定点A(-2,1),B(2,-1),动点P在抛物线y=x2-2上移动,则△PAB重心G的轨迹方程是 ( )
1 2 2 1 1
A.y=x2- B.y=3x2- C.y=2x2- D.y= x2-
3 3 3 2 4
答案 B
3.已知圆C:(x+3)2+y2=1,C:(x-3)2+y2=81,动圆C与圆C、C 都相切,则动圆C的圆心轨迹E的方程为 .
1 2 1 2
x2 y2 x2 y2
答案 + =1或 + =1
25 16 16 7
4.设三个数 , , 成等差数列,记(x,y)对应点的曲线是C.求曲线C的方
√(x-√2)2+ y2√3√(x+√2)2+ y2
程.
考点二 定点与定值问题
x2
5.已知直线l与双曲线 -y2=1相切于点P,l与双曲线的两条渐近线交于M,N两点,则⃗OM·⃗ON的值为(
4
)
A.3 B.4
C.5 D.与P的位置有关
答案 A
1
6.(多选题)设M,N是抛物线y2=x上的两个不同的点,O是坐标原点.若直线OM与ON的斜率之积为- ,则(
2
)
A.|OM|+|ON|≥4√2
B.以MN为直径的圆的面积大于4π
C.直线MN过定点(2,0)
D.点O到直线MN的距离不大于2
答案 CD北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
7.已知椭圆C:x2 +y2 =1(a>b>0),四点P(1,1),P(0,1),P( √3),P( √3)中恰有三点在椭圆C上.
1 2 3 -1, 4 1,
a2 b2 2 2
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P 点且与C相交于A,B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为-1,证明:l过定点.
2 2 2
考点三 最值与范围问题
8.若a>1,则双曲线x2
-y2=1的离心率的取值范围是 ( )
a2
A.(√2,+∞) B.(√2,2) C.(1,√2) D.(1,2)
答案 C
9.已知双曲线C:x2 -4y2=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于√3,抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点与双曲
a2 4
线C的右焦点重合,则抛物线E上的动点M到直线l:4x-3y+6=0和l:x=-1距离之和的最小值为 ( )
1 2
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
x2 y2
10.设P是椭圆 + =1上一点,M,N分别是两圆C:(x+2)2+y2=1和C:(x-2)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小
1 2
9 5
值和最大值分别为 ( )
A.4,8 B.2,6 C.6,8 D.8,12
答案 A
考点四 存在性问题
11.已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.
1
(1)若线段AB中点的横坐标是- ,求直线AB的方程;
2
(2)在x轴上是否存在点M,使⃗MA·⃗MB为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
12.已知抛物线C:y2=2px(0<p<6)的焦点为F,A为C上一动点,点Q(4,0),以线段QA为直径作☉M.当☉M过F时,
△QAF的面积为3.
(1)求C的方程;
(2)是否存在垂直于x轴的直线l,使得l被☉M所截得的弦长为定值?若存在,求l的方程;若不存在,说明理由.
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 曲线与方程
1.(2020云南昆明一中第二次月考,11)已知圆M:(x+√5)2+y2=36,定点N(√5,0),点P为圆M上的动点,点Q在
NP上,点G在MP上,且满足⃗NP=2⃗NQ,⃗GQ·⃗NP=0,则点G的轨迹方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
9 4 36 31北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
9 4 36 31
答案 A 由⃗NP=2⃗NQ,⃗GQ·⃗NP=0,知Q为PN的中点,且GQ⊥PN,
∴GQ垂直平分PN,∴|PG|=|GN|,
∴|GN|+|GM|=|PG|+|GM|=|PM|=6>2√5,
∴点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,且2a=6,2c=2√5,
x2 y2
∴b2=a2-c2=32-(√5)2=4,∴点G的轨迹方程为 + =1,故选A.
9 4
2.(2018陕西西安铁一中二模,5)在平面直角坐标系xOy中,动点P关于x轴的对称点为Q,且⃗OP·⃗OQ=2,则点
P的轨迹方程为( )
A.x2+y2=2 B.x2-y2=2
C.x+y2=2 D.x-y2=2
答案 B 设P(x,y),则Q(x,-y),∴⃗OP·⃗OQ=(x,y)·(x,-y)=x2-y2=2,故选B.
考点二 定点与定值问题
1.(2019北京海淀一模文,20)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左顶点为A(-2,0),两个焦点与短轴的一个顶点构
a2 b2
成等腰直角三角形,过点P(1,0)且与x轴不重合的直线l与椭圆交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当AM与MN垂直时,求AM的长;
5
(3)若过点P且平行于AM的直线交直线x= 于点Q,求证:直线NQ恒过定点.
2
解析 (1)因为A(-2,0),所以a=2.
因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形,
所以b=c.
又b2+c2=a2,所以b2=c2=2.
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1.
4 2
(2)解法一:设M(x ,y ),
m m
y y
则k MP = m ,k AM = m ,
x -1 x +2
m m
因为AM与MN垂直,
y y
所以k AM ·k MP = m · m =-1,
x -1 x +2
m m
y y
{ m · m =-1,
x -1 x +2
联立 m m
x2 y2
m+ m=1,
4 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
{ x =0, {x =-2,
解得 m 或 m (舍).
y =±√2 y =0
m m
所以|AM|=√6.
解法二:设M(x ,y ),
m m
因为AM与MN垂直,
所以点M在以AP为直径的圆上,
又因为以AP为直径的圆的圆心为( 1 ),半径为3,
- ,0
2 2
所以圆的方程为( 1) 2 +y2=9.
x+
2 4
{( x + 1) 2 + y2 = 9 ,
m 2 m 4
联立
x2 y2
m+ m=1,
4 2
{ x =0, {x =-2,
解得 m 或 m (舍).
y =±√2 y =0
m m
所以|AM|=√6.
(3)证明:设M(x,y),N(x,y),直线MN的方程为x=my+1,
1 1 2 2
由{ x=my+1, 得(m2+2)y2+2my-3=0.
x2+2y2-4=0
-2m -3
显然Δ>0,则y+y= ,yy= ,
1 2 m2+2 1 2 m2+2
y
因为直线PQ与AM平行,所以k PQ =k AM = 1 ,
x +2
1
y
则直线PQ的方程为y= 1 (x-1),
x +2
1
3
5 y 3 y (5 3 y )
令x= ,则y= 2 1 = 1 ,即Q , 1 .
2 2(m y +3) 2 2(my +3)
x +2 1 1
1
3 y
y - 1
2 2(m y +3) 2m y y +6 y -3 y
k = 1 = 1 2 2 1 ,
NQ 5 (m y +3)(2m y -3)
x - 1 2
2 2
2m y y +6 y -3 y
直线NQ的方程为y-y 2 = 1 2 2 1 (x-x 2 ),
2m2y y +6m y -3m y -9
1 2 2 1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
2m y y +6 y -3 y (2m y y +6 y -3 y )(m y +1)
y= 1 2 2 1 x- 1 2 2 1 2 +y 2
2m2y y +6m y -3m y -9 2m2y y +6m y -3m y -9
1 2 2 1 1 2 2 1
2my y +6 y -3 y 2m y y +15 y -3 y
= 1 2 2 1 x- 1 2 2 1 ,
2m2y y +6my -3my -9 2m2y y +6m y -3m y -9
1 2 2 1 1 2 2 1
2m y y +15 y -3 y
令y=0,得x=
1 2 2 1
.
2m y y +6 y -3 y
1 2 2 1
18 y
因为2my
1
y
2
=3(y
1
+y
2
),故x=
2
=2,
9 y
2
所以直线NQ恒过定点(2,0).
√3 √3
2.(2019河南开封10月联考,20)已知直线l:y= x,l:y=- x,动点P,Q分别在l,l 上移动,|PQ|=2√3,N是线
1 2 1 2
3 3
段PQ的中点,记点N的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点M(0,1)分别作直线MA,MB交曲线C于A,B两点,设这两条直线的斜率分别为k,k,且k+k=2,证明:直
1 2 1 2
线AB过定点.
解析 (1)根据条件设P(√3m,m),Q(-√3n,n),
∵|PQ|=2√3,∴3(m+n)2+(m-n)2=12.
{
√3(m-n)
x= ,
设N(x,y)是线段PQ的中点,则 2
m+n
y= ,
2
x2
消去m,n可得曲线C的方程为 +y2=1.
9
x2
(2)证明:由(1)知,点M(0,1)为椭圆 +y2=1的上顶点,
9
当直线AB的斜率不存在时,设A(x,y),则B(x,-y),
0 0 0 0
y -1 - y -1
由k 1 +k 2 =2得 0 + 0 =2,得x 0 =-1;
x x
0 0
当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m(m≠1),A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
{x2
联立 + y2=1, ⇒(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
9
y=kx+m
得x+x=- 18km ,x·x=9m2-9,
1 2 1 2
1+9k2 1+9k2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
y -1 y -1 (kx +m-1)x +(kx +m-1)x
则k 1 +k 2 =2⇒ 1 + 2 =2⇒ 2 1 1 2=2,
x x x x
1 2 1 2
即(2-2k)xx=(m-1)(x+x)⇒(2-2k)(9m2-9)=(m-1)·(-18km),由m≠1,得(1-k)(m+1)=-km⇒m=k-1,
1 2 1 2
即y=kx+m=kx+k-1⇒y=k(x+1)-1,故直线AB过定点(-1,-1).经检验,此时直线与椭圆有两个交点,满足题意.
综上所述,直线AB过定点(-1,-1).
考点三 最值与范围问题
x2 y2
1.(2020安徽高三期末)如图,已知F、F 分别是椭圆C: + =1的左、右焦点,过F 的直线l 与过F 的直
1 2 1 1 2
64 32
线l 交于点N,线段FN的中点为M,线段FN的垂直平分线MP与l 的交点P(第一象限)在椭圆上,若O为坐
2 1 1 2
|OM|
标原点,则 的取值范围为 ( )
|OF |
2
A.( √2) B.( 1) C.(0, ) D.(0,1)
0, 0, √2
2 2
答案 D 因为PM为线段FN的垂直平分线,所以|FM|=|MN|.
1 1
1
由中位线定理可得|OM|= |FN|.
2
2
设点P(x,y)(x>0,y>0).
0 0 0 0
√
(
x2
)
√c2x2
由两点间的距离公式,得|PF 1 |=√(x +c)2+ y2= (x +c)2+ 1- 0 b2= 0+2cx +a2
0 0 0 a2 a2 0
=a+ex,
0
同理可得|PF|=a-ex,
2 0
所以|FN|=|PF|-|PF|=2ex,故|OM|=ex,
2 1 2 0 0
c √2
因为a=8,c=4√2,所以e= = ,
a 2
√2
√2 |OM| x x
故|OM|= x,所以 = 2 0= 0.
2 0 |OF | 8
2 4√2
1
因为x∈(0,8),所以 x∈(0,1).
0 0
8
|OM|
故 的取值范围为(0,1).
|OF |
2
故选D.
2.(2020安徽高三期末)双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F(-2,0),F(2,0),若双曲线C的渐近线
1 2
a2 b2
上存在点M满足|MF|=√2|MF|,则双曲线C的实轴长的最小值为( )
1 2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
2 4 4√2 8√2
A. B. C. D.
3 3 3 3
答案 B 设M(x,y),由|MF|=√2|MF|可得(x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2],整理得(x-6)2+y2=32,
1 2
即点M在以(6,0)为圆心,4√2为半径的圆上.
又点F 到双曲线C的渐近线的距离为b,
2
∴当双曲线C的渐近线与圆(x-6)2+y2=32相切时,b取得最大值,
b 4√2 4√2
∴ = ,从而b≤ .
2 6 3
√ 32 2 4 4
∴a≥ 4- = ,故2a≥ .故双曲线C的实轴长的最小值为 .
9 3 3 3
故选B.
思路分析 设M(x,y),由|MF|=√2|MF|,利用距离公式化简得出点M在圆(x-6)2+y2=32上,当双曲线C的渐近
1 2
4√2
线与圆相切时,b取得最大值,得出b≤ ,结合a2+b2=c2得出2a的最小值.
3
3.(2020河南中原名校联盟第三次测评,10)椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,若
a2 b2
点P为椭圆C上的任意一点,且P在第一象限,O为坐标原点,F(3,0)为椭圆C的右焦点,则⃗OP·⃗PF的取值范
围为( )
A.(-16,-10) B.( 39)
-10,-
4
C.( 39] D.( 39]
-16,- -∞,-
4 4
答案 C 因为椭圆C的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,所以2a+2c=4b,即a+c=2b,又F(3,0)为椭圆C的
右焦点,所以c=3.因为a2=c2+b2,所以解方程组
{a2=c2+b2,
得
{a=5,
所以椭圆方程为x2 + y2 =1.设
a+c=2b, b=4,
25 16
c=3, c=3,
m2 n2 16
P(m,n)(0<m<5,0<n<4),则 + =1,得n2=16- m2,所以⃗OP·⃗PF=(m,n)·(3-m,-n)=3m-m2-n2=3m-m2-
25 16 25
(
16-
16 m2)=- 9 m2+3m-16=- 9 (
m-
25) 2 -39,又因为0<m<5,所以当m=25时,
⃗OP
·
⃗PF
取得最大
25 25 25 6 4 6
值-39,当m趋近于0时, · 的值趋近于-16,所以 · 的取值范围为( 39].
⃗OP ⃗PF ⃗OP ⃗PF -16,-
4 4
考点四 存在性问题
x2 y2
1.(2019四川绵阳二诊,12)已知椭圆C: + =1(m>4)的右焦点为F,点A(-2,2)为椭圆C内一点.若椭圆C
m m-4
上存在一点P,使得|PA|+|PF|=8,则m的取值范围是 ( )
A.(6+2√5,25] B.[9,25]
