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专题6.1 数列的概念与表示
重难点题型1 由an和Sn的关系求通项公式
1．（2025·湖南常德·模拟预测）记
为数列
的前
项和，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差
为的等差数列，求数列
的前2025 项和.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和.
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
由an和Sn的关系求通项公式
重难点题型2
由递推关系求数列的通项公式（累加法与累乘法）
重难点题型3
数列的周期性及其应用
重难点题型4
用函数研究数列的单调性与最值
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
4．（2025·重庆·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前
项和为
，求证：
．
5．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列
的前
项和
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，
恒成立，求实数
的取值范围.
6．（2025·海南·模拟预测）记数列
的前
项和为
，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
重难点题型2 由递推关系求数列的通项公式(累加法与累乘法)
1．（2025·天津和平·三模）定义新运算：
，已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．239
B．225
C．211
D．261
2．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列
满足
，设数列
的前
项和为
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·福建厦门·二模）已知数列
满足
，
，则
的前6 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在数列
中，若
，则
（ ）
A．1012
B．1013
C．2023
D．2024
5．（2025·四川德阳·二模）数列
中，满足
，
，则
．
6．（2024·广东江门·模拟预测）若数列
满足
，数列
的前
项和为
，则
.
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1 的正项数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)令
（
），求数列
的前
项和
．
8．（2025·广东广州·三模）已知数列
满足
，
，且对任意的
，
，都有
.
(1)设
，求证：数列
是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若
，求
的前n 项和
.
9．（24-25 高三下·江苏南通·月考）已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
10．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列
的前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前
项和为
恒成立，求实数
的最小值．
重难点题型3 数列的周期性及其应用
1．已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
2．（2025·陕西榆林·二模）已知数列
满足
，
，则此数列前
项的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖南·模拟预测）在数列
中，
，且
，则
（ ）
A．3
B．-2
C．
D．
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列
满足
，且
，则
.
5．（24-25 高三上·安徽六安·月考）已知数列
中，
，
，则数列
前2024
项的和为 .
重难点题型4 用函数研究数列的单调性与最值
1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列
的通项公式为
，若
是
中唯
一的最小项，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025 年2 月7 日在哈尔滨盛大开
幕，场馆上方悬挂的120 万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长
可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长
为1 的正三角形
，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作
正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线
；重复上述两步，形成雪花曲线
，记雪花
曲线
的周长为
，则数列
的最大项为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为
，该数列的前50 项中最大项是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·江西·模拟预测）已知数列
满足
，
（
），若
是单调递增数列，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·湖南娄底·模拟预测）（多选题）数列
的前
项和为
，已知
，则下列
结论正确的是（ ）
A．
为等差数列
B．
可能为常数列
C．若
为递增数列，则
D．若
为递增数列，则
6．（2025·福建泉州·一模）（多选题）已知数列
的前
项和
，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
是等差数列，则
B．若
不是递增数列，则
C．若
，则
D．若
的最小值为3，则
7．（2024·上海·模拟预测）数列
的最小项的值为 .
8．（2024·重庆·二模）记正项数列
的前
项和为
，若
，则
的最小值为
.
9．（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列
满足
，
，
，
单调递增，则
的取值范围为 .
