文档文本内容
第 02 讲 两条直线的位置关系
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................2
第二部分：高考真题回顾........................................................................................6
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................6
高频考点一：两条直线的位置关系（判断两直线的位置关系）.....................6
高频考点二：两条直线的位置关系（由两直线的位置关系求参数）..............7
高频考点三：两条直线的位置关系（由两直线的位置关系求直线方程）............8
高频考点四：与距离有关的问题.......................................................................9
高频考点五：对称问题（点关于直线对称）..................................................10
高频考点六：对称问题（直线关于直线对称）..............................................10
高频考点七：直线系方程的应用（平行、垂直直线系方程）.......................11
高频考点八：直线系方程的应用（过两直线交点的直线系方程）................12
第四部分：新定义题.............................................................................................13第一部分：基础知识
知识点一：两条直线平行与垂直的判断
1、两条直线平行
对于两条不重合的直线 ， ，其斜率分别为 ， ，有 .
对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1) 成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
② 与 不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时， 与 的倾斜角都是 ，则 .
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或 ， 斜率都不存在.
2、两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果它们的斜率之积等
于 ，那么它们互相垂直，即 .对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1) 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；② 且 .
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
知识点二：直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
直线 ： （ ）和 ： （ ）的公共点的坐标
与方程组 的解一一对应.
与 相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与 平行 方程组无解；
与 重合 方程组有无数个解.
知识点三：距离公式
1、两点之间的距离公式：
平面上任意两点 ， 间的距离公式为
特别地，原点 与任一点 的距离 .
2、点到直线的距离公式
平面上任意一点 到直线 ： 的距离 .3、两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线 ： （ ）和 ： （
）间的距离 .
知识点四：对称问题
1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点 关于点 的对称点
由：
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点 关于直线 ： 的对称点
①设 中点为 利用中点坐标公式得 ，将 代入直线 ：
中；②
整理得：
3、直线关于点对称问题(求 关于点 的对称直线 ，则 ）
方法一：在直线 上找一点 ，求点 关于点 对称的点 ，根据 ，再由点斜式求解；
方法二：由 ，设出 的直线方程，由点 到两直线的距离相等 求参数.
方法三：在直线 任意一点 ，求该点关于点 对称的点 ，则该点 在
直线 上.
4、直线关于直线对称问题
4.1直线 ： （ ）和 ： （ ）相交,求 关于
直线 的对称直线
①求出 与 的交点
②在 上任意取一点 (非 点），求出 关于直线 的对称点
③根据 ， 两点求出直线4.2直线 ： （ ）和 ： （ ）平行,求 关于
直线 的对称直线
①
②在直线 上任取一点 ，求点 关于直线 的对称点 ，利用点斜式求直线 .
第二部分：高考真题回顾
1．（2003·全国·高考真题）已知长方形的四个顶点 、 、 、 ，一质点从 的
中点 沿与 的夹角 的方向射到 上的点 后，依次反射到 、 和 上的点 、 和 （入
射角等于反射角）．若 与 重合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2003·全国·高考真题）直线 关于x轴对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：两条直线的位置关系（判断两直线的位置关系）
典型例题
例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知 ，则直线 与 的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
例题2．（22-23高一上·甘肃武威·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线 与 的位置
关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直
练透核心考点
1．（23-24高二下·全国·课后作业）过点 和点 的直线与直线 的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
2．（23-24高二·江苏·假期作业）直线 与 ( 不同时为0)的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．与 的值有关
高频考点二：两条直线的位置关系（由两直线的位置关系求参数）
典型例题
例题1．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线 ，直线 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值.
例题2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知直线 与直线
．
(1)当m为何值时， 与 相交；
(2)当m为何值时， 与 平行，并求 与 的距离；
(3)当m为何值时， 与 垂直．练透核心考点
1．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知直线 ，直线 ．
(1)当 时，求两直线的交点坐标；
(2)当 时，求两直线间的距离．
2．（23-24高二上·甘肃临夏·期中）已知直线 ，试求 为何值时，
(1) ；
(2) .
高频考点三：两条直线的位置关系（由两直线的位置关系求直线方程）
典型例题
例题1．（23-24高二上·上海·阶段练习）若点 既是 的中点，又是直线
与 的交点，则线段 的垂直平分线的方程是（ ）A． B．
C． D．
例题2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线 与直线 的交点为 ．
(1)求过点 且与直线 垂直的直线方程；
(2)求过点 且与直线 平行的直线方程．
例题3．（23-24高二上·陕西西安·期中）（1）已知向量 ， ．若 ，求实数 ，
的值．
（2）直线 经过点 ，且与直线 垂直，求直线的 方程．
（3）求过两条直线 和 的交点，且与 平行的直线方程．
练透核心考点
1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）求经过两直线 ： 和 ： 的交点P，且与
直线 ： 垂直的直线l的方程．（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·广东江门·期末）过点 与 平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知直线 ： ，直线 在y轴上的截距为－3，且 .
(1)求直线 的方程.
(2)直线 过 与 的交点，且 与直线 平行，求直线 的方程.高频考点四：与距离有关的问题
典型例题
例题1．（24-25高一上·四川内江·开学考试）代数式 的最小值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
例题2．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知 ， ，动点P在直线 上.则
的最小值为 .
练透核心考点
1．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）点P在直线 上运动， ，则 的
最大值是（ ）
A． B． C．3 D．4
2．（24-25高二上·全国·课后作业）若点 在直线 上，则 的最小值为
．
高频考点五：对称问题（点关于直线对称）
典型例题
例题1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点 关于直线 对称的点 的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高二上·山东泰安·期末）点 关于直线 的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点 关于直线 对称的点的坐标为（ ）A． B． C． D．
2．（23-24高二上·四川眉山·期中）点 关于 的对称点为
高频考点六：对称问题（直线关于直线对称）
典型例题
例题1．（23-24高三上·广东·期末）直线 关于直线 对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高二上·天津·期中）试求直线 关于直线 对称的直线l的方
程．
练透核心考点
1．（2024高三下·全国·专题练习）直线l ：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l 的方程为（
1 2
）
A．x－3y＋14＝0 B．x＋y－2＝0 C．x＋2y－6＝0 D．2x－y+8＝0
2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知直线 ， ，则 关于 对称的直线方程为
.
高频考点七：直线系方程的应用（平行、垂直直线系方程）
典型例题
例题1．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知两直线 和 的交点为 ．
(1)直线 过点 且与直线 平行，求直线 的一般式方程；例题2．（23-24高二下·上海·期中）（1）求过点 且与直线 平行的直线 的方程；
（2）求与直线 垂直，且与两坐标轴围成的 面积为 的直线方程.
练透核心考点
1．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知直线 ，直线 与直线 垂直，且直线 ， 的交点的横坐
标与纵坐标相等．
(1)求直线 的方程；
2．（2023高二上·江苏·专题练习）已知点 和直线 ，求过点A且与直线l垂直的直线
的方程.
高频考点八：直线系方程的应用（过两直线交点的直线系方程）
典型例题
例题1．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知定点 和直线
，则点 到直线 的离 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高三上·重庆九龙坡·阶段练习）已知直线 恒过定点P，则点P关于直
线 的对称点的坐标是 ．
例题3．（23-24高一下·全国·课后作业）求经过直线 与 的交点，且过点
的直线方程.练透核心考点
1．（23-24高二上·上海·期末）已知直线 ， ，
，三条直线围成 ，则当 面积取得最大时 的值为 .
2．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线 和 的交点且过
原点的直线方程为 ．
3．（23-24高二上·全国·课后作业）直线l经过原点，且经过直线 与直线 的交
点，求直线l的方程．
第四部分：新定义题
1．（23-24高一·全国·课后作业）设在二维平面上有两个点 ， ，它们之间的距离有一个
新的定义为 ，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离．在初中时我
们学过的两点之间的距离公式是 ，这样的距离称为欧几里得距离（简称欧氏距
离）或直线距离．
(1)已知A，B两个点的坐标为 ， ，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么x的取值范围
是多少？
(2)已知A，B两个点的坐标为 ， ，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么a的取值范
围是多少？
