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综合训练 12 导数（6 种题型 60 题专练）
一．导数的运算（共5小题）
1．（2023•定远县校级模拟）已知 ， ，则 ．
2．（2023•武功县校级模拟）英国数学家布鲁克 泰勒 以发现泰勒公式和泰
勒级数而闻名于世．根据泰勒公式，我们可知：如果函数 在包含 的某个开区间 上具有
阶导数，那么对于 ，有 ，
若取 ，则 ，此时称该式为函数 在 处的
阶泰勒公式．计算器正是利用这一公式将 ， ， ， ， 等函数转化为多项式函数，通过
计算多项式函数值近似求出原函数的值，如 ， ，则运
用上面的想法求 的近似值为
A．0.50 B． C． D．0.56
3．（2023•汕头二模）给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数．若
方程 有实数解 ，则称 ， 为函数 的“拐点”．经研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图象的对称中心．若函数
，则
A． B． C． D．
4．（2023•黄冈模拟）已知函数 及其导函数 定义域均为 ，记 ，且， 为偶函数，则 （7）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2023•千阳县校级模拟）当 时，函数 取得最大值 ，则 （4）
A． B． C． D．1
二．利用导数研究函数的单调性（共20小题）
6．（2023•丰城市模拟）若 ，则 ， ， 的大小关系不可能为
A． B． C． D．
7．（2024•新疆一模）已知函数 在定义域内单调递增，则 的最小值为
A． B．1 C． D．
8．（2024•永寿县校级模拟）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
9．（2023•大同二模）已知 ， ， ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
10．（2023•南宁一模）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
11．（2023•内江一模）已知函数 ，设 ， ， ，则
A． B． C． D．
12．（2024•林芝市一模）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；（2）若函数 在 处取得极值，不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若函数 在定义域内有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
13．（2024•拉萨一模）已知函数 ．
（1）证明： ，有 ；
（2）设 ，讨论 的单调性．
14．（2023•黄山模拟）已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，且满足 ，
，则
A． B． （1） C． D．
15．（2023•成都模拟）若 ，则
A． B． C． D．
16．（2023•金凤区校级三模）已知函数 存在减区间，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
17．（2023•西安校级三模）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为A． B． C． D．
18．（2023•甘肃模拟）若 ，则以下不等式成立的是（其中 为自然对数的底）
A． B． C． D．
19．（2024•沈阳模拟）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
20．（2024•拉萨一模）已知函数 ，当 时，恒有 ，
则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
21．（2024•浑南区校级模拟）已知 ，则
A． B． C． D．
22．（2024•秦都区校级四模）已知函数 的图象在 ， （1） 处的切线经过点 ．
（1）求 的值及函数 的单调区间；
（2）设 ，若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求正实数 的取值范围．
23．（2024•良庆区校级模拟）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证： ．24．（2024•广东模拟）已知函数 ，则
A． （3） （2）
B．当 时，
C．存在 ，当 时，
D．若直线 与 的图象有三个公共点，则
25．（2024•扬州模拟）已知实数 ， 满足 ，且 ，则
A． B． C． D．
三．利用导数研究函数的极值（共5小题）
26．（2023•佛山二模）已知函数 有2个极值点 ， ，则 ．
27．（2024•扬州模拟）等差数列 中的 ， 是函数 的极值点，则
．
28．（2024•内江一模）已知函数 ， ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）若不等式 恒成立，求 的最小值．29．（2023•浙江模拟）已知 ， ．
（1）求 在点 ， 的切线方程；
（2）设 ， ，判断 的零点个数，并说明理由．
30．（2024•惠州模拟）已知函数 ．
（1）若 ，函数 的极大值为 ，求实数 的值；
（2）若对任意的 ， 在 ， 上恒成立，求实数 的取值范围．
四．利用导数研究函数的最值（共13小题）
31．（2024•昌乐县校级模拟）已知函数 ．
（1）当 时，设函数 的最小值为 （a），证明： （a） ；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，证明： ．
32．（2023•龙岩模拟）已知两数 ，则 的最小值为
A． B． C． D．033．（2023•金昌二模）已知函数 在 上单调递增，且 在区间 ， 上既
有最大值又有最小值，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
34．（2024•南充模拟）设函数 为自然对数的底数），函数 与函数 的图象关于直线
对称．
（1）设函数 ，若 时， 恒成立，求 的取值范围；
（2）证明： 与 有且仅有两条公切线，且 图象上两切点横坐标互为相反数．
35．（2024•开封一模）已知函数 且 ．
（1）求 的值；
（2）证明：当 时， ．
36．（2024•金牛区校级三模）函数 和 有相同的最大值 ，直线 与两曲线
和 恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为 ， ， ，则下列说法正确的是① ；② ；③ ；④ ．
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
37．（2024•秦都区校级四模）已知函数 ， ，若 恒成立，则 的最大值
是
A． B．1 C．2 D．
38．（2023•四川模拟）已知函数 ， ，若存在 ， ，使得 成
立，则 的最小值为 ．
39．（2024•东莞市校级一模）设 ， 为函数 的两个零点．
（1）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
40．（2024•河西区校级模拟）已知函数 ．
（1）求函数 在点 ， 处的切线方程；
（2）求函数 单调增区间；
（3）若存在 ， ， ，使得 是自然对数的底数），求实数 的取值范围．41．（2023•汉滨区校级模拟）已知函数 ．
（Ⅰ）若存在唯一的负整数 ，使得 ，求 的取值范围；
（Ⅱ）若 ，当 时， ，求 的取值范围．
42．（2023•青羊区校级模拟）设函数 ．
（1）若 最小值为0，求 的范围；
（2）令 ， 图象上有一点列 ，2， ， ； ，若直线 的斜率
为 ，2， ， ，证明： ．
43．（2024•浑南区校级模拟）已知函数 ．
（1）若 ，证明： ；（2）设 ，若 恒成立，求实数 的取值范围．
五．利用导数研究曲线上某点切线方程（共7小题）
44．（2024•林芝市一模）若函数 的图象在 处的切线斜率为1，则 ．
45．（2023•新城区校级模拟）已知函数 ，则曲线 在点 ， （1） 处的切线与两
坐标轴围成的角形的面积等于
A．1 B． C． D．
46．（2024•凉山州模拟）函数 在区间 的图象上存在两条相互垂直的切线，则 的取
值范围为
A． B． C． D．
47．（2023•抚州模拟）已知函数 有两条与直线 平行的切线，且切点坐标分别为 ，
， ， ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
48．（2024•昌乐县校级模拟）已知直线 与曲线 相切，则 的值为 ．
49．（2023•大理市二模）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则实数 的取值范围为
．50．（2024•金牛区校级三模）已知函数 ．
（1）曲线 在点 ， 处的切线方程为 ，求实数 的值．
（2）在（1）的条件下，若 ，试探究 在 上零点的个数．
六．不等式恒成立的问题（共10小题）
51．（2023•南昌一模）已知函数 ，若对于任意的 ， ，不等式
恒立，则实数 的取值范围是
A． B． ， C． D． ，
52．（2023•浑南区一模）若两个正实数 ， 满足 ，且不等式 恒成立，则
实数 的取值范围为
A． B． 或 C． D． 或
53．（2023•河南模拟）已知函数 ．（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
54．（2023•丹凤县校级模拟）已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
55 ． （ 2023• 吴 忠 模 拟 ） 已 知 是 上 的 单 调 递 增 函 数 ， ， 不 等 式
恒成立，则 的取值范围是
A． B． C． D．
56．（2023•海拉尔区校级模拟）已知函数 ．
（1）若 ，求 的解集；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．57．（2023•浑南区校级模拟）已知平面向量 ， ，记 ，
（1）对于 ，不等式 （其中 ， 恒成立，求 的最大值．
（2）若 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 （B） ， ， ， 成等比数列，求
的值．
58．（2023•河南三模）已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围．
59．（2023•成都模拟）已知 ， ，且 ，函数 在 上的最小值为
．
（1）求 的值；
（2）若 恒成立，求实数 的最大值．60．（2023•天山区校级模拟）已知函数 ， ．
（1）若不等式 的解集为 ， ， ，求 的值；
（2）若 ，使 ，求 的取值范围．
