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考前强化练
(一)送分考点专项练
1.集合、常用逻辑用语、不等式(分值:73 分)
学生用书
P207
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·北京,1)已知集合M={x|-4<x≤1},N={x|-1<x<3},则M∪N=( )
A.{x|-4<x<3}
B.{x|-1<x≤1}
C.{0,1,2}
D.{x|-1<x<4}
答案A
解析由题意得M∪N=(-4,3).
2.(2024·全国甲,理2)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|√x∈A},则∁A(A∩B)=( )
A.{1,4,9}
B.{3,4,9}
C.{1,2,3}
D.{2,3,5}
答案D
解析因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|√x∈A},所以B={1,4,9,16,25,81},则A∩B={1,4,9},即
∁A(A∩B)={2,3,5}.
3.(2024·广东潮州模拟)设x>0,则函数y= x
2+ x +25
x
的最小值为( )
A.6
B.7
C.10
D.11
答案D
解析∵x>0,∴y= x
2+ x +25
x
=x+25
x
+1≥2√x· 25
x
+1=11,当且仅当x=25
x
,即x=5 时,等号成立,所以
函数y= x
2+ x +25
x
的最小值为11.
4.(2024·广东茂名模拟)已知集合A={x||x-2|≥1},B={x|2≤x<4},则图中阴影部分表示的集合是( )
A.{x|1<x<2}
B.{x|2≤x<3}
C.{x|1≤x<4}
D.{x|2<x≤4}
答案B
解析∵A={x||x-2|≥1}={x|x≤1 或x≥3},∴∁RA={x|1<x<3},图中阴影部分表示的集合是
(∁RA)∩B,∴(∁RA)∩B={x|2≤x<3}.
5.(2024·山东日照模拟)对于实数a,b,c,下列结论中正确的是( )
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A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则1
a > 1
b
C.若a<b<0,则a
b < b
a
D.若a>b,1
a > 1
b
,则ab<0
答案D
解析对于A,当c=0 时,不成立,故A 错误;对于B,若a>b>0,则1
a < 1
b
,故B 错误;对于C,令a=-2,b=-1,代
入不成立,故C 错误;对于D,若a>b,1
a > 1
b
,则a>0,b<0,则ab<0,故D 正确.
6.(2024·广东韶关二模)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:平方米)的计算公式是
W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10 000 平方米,每平方
米收费1 元,请估算平整完这块场地所需的最少费用(单位:元)是( )
A.10 000
B.10 480
C.10 816
D.10 818
答案C
解析设矩形场地的长为x 米,则宽为10 000
x
米,W=(x+4)·(10 000
x
+4)=4x+40 000
x
+10 016≥2
√4 x· 40 000
x
+10 016=10 816,当且仅当4x=40 000
x
,即x=100 时,等号成立.所以平整这块场地
所需的最少费用为1×10 816=10 816 元.
7.(2024·河北秦皇岛三模)若集合A={x|√x ≤a},B={x|x2-2x-3≤0},且A⊆B,则实数a 的取值范围为(
)
A.[0,1]
B.[0,√3]
C.(-∞,1]
D.(-∞,√3]
答案D
解析由x2-2x-3≤0,即(x+1)(x-3)≤0,解得-1≤x≤3,所以B={x|x2-2x-3≤0}=[-1,3].当a<0 时,A={x|√x ≤
a}=⌀,符合A⊆B.当a≥0 时,由√x ≤a,解得0≤x≤a2,所以A={x|√x ≤a}={x|0≤x≤a2}.因为A⊆B,所以
{
a
2≤3,
a≥0,
解得0≤a≤√3.综上可得,实数a 的取值范围为(-∞,√3].
8.(2023·河北邯郸一模)已知a>0,b>0,且a+b=2,则2
a+1 +
8
b+1
的最小值是( )
A.2
B.4
C. 9
2
D.9
答案C
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解析因为a+b=2,所以(a+1)+(b+1)=4,则2
a+1 +
8
b+1 = 1
4
[(a+1)+(b+1)]( 2
a+1 +
8
b+1
)=
1
4 [ 2(b+1)
a+1
+ 8(a+1)
b+1
+10]≥1
4 ×(2×4+10)=9
2
,当且仅当2(b+1)
a+1
= 8(a+1)
b+1
,即a=1
3
,b=5
3
时,等
号成立.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2024·湖北襄阳模拟)已知集合A={1,2},B={0,1,2,3,4},集合C 满足A⫋C⊆B,则下列选项正确的有(
)
A.1∈C,2∈C
B.集合C 可以为{1,2}
C.集合C 的个数为7 D.集合C 的个数为8
答案AC
解析由题意得A={1,2},B={0,1,2,3,4},且A⫋C⊆B,所以1∈C,2∈C,故A 正确;当C={1,2}时,不满足
A⫋C,故B 错误;集合C 的个数等价于集合{0,3,4}的非空子集的个数,所以集合C 的个数为23-1=7,故
C 正确,D 错误.故选AC.
10.命题“任意1≤x≤3,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥9
B.a≥11
C.a≥10
D.a≥12
答案BCD
解析任意1≤x≤3,x2-a≤0,则a≥x2对任意1≤x≤3 都成立.又x2≤9,所以a≥9,观察选项可得命题
“任意1≤x≤3,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.
11.(2024·湖南益阳三模)下列命题中,正确的有( )
A.x+4
x
最小值是4
B.a>1 是a2>a 的充分不必要条件
C.若a>b,则1
a < 1
b
D.若a,b∈R*,且a+b=1,则1
a + 4
b
的最小值为9
答案BD
解析当x>0 时,x+4
x ≥2√x· 4
x
=4(当且仅当x=2 时,等号成立),当x<0 时,x+4
x
=-[(-x)+ 4
- x
]≤-2
√(- x )· 4
- x
=-4(当且仅当x=-2 时,等号成立),所以x+4
x
没有最小值,故A 错误;由a2>a 得a>1 或
a<0,所以a>1 是a2>a 的充分不必要条件,故B 正确;当a=1,b=-1 时,a>b,但1
a > 1
b
,故C 错误;因为
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a+b=1,所以1
a + 4
b
=(1
a + 4
b
)(a+b)=5+b
a + 4 a
b ≥5+2√
b
a · 4 a
b
=9,当且仅当b
a = 4 a
b
,即b2=4a2时,等号
成立,故D 选项正确.故选BD.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2024·安徽阜阳模拟)已知命题p:∃x∈R,x2+2mx+3≤0,请写出一个满足“p 为假命题”的整数m
的值: .
答案-1(答案不唯一)
解析由命题p:∃x∈R,x2+2mx+3≤0 为假命题,则∀x∈R,x2+2mx+3>0 恒成立,得Δ=4m2-4×3<0,解得-
√3<m<√3,所以整数m 的值可为-1,0,1(答案不唯一).
13.若不等式kx2+(k-6)x+2>0 的解为全体实数,则实数k 的取值范围是 .
答案(2,18)
解析当k=0 时,不等式kx2+(k-6)x+2>0 可化为-6x+2>0,显然不合题意;当k≠0 时,因为kx2+(k-6)x+2>0
的解为全体实数,所以{
k >0,
Δ=(k -6)
2- 4 k ×2<0,
解得2<k<18.综上,实数k 的取值范围为(2,18).
14.(2024·山东菏泽模拟)已知x>0,y>0,x+2y=1,则( x +1)( x +3 y )
2 xy
的最小值为 .
答案4+2√3
解析由x>0,y>0,x+2y=1,可得
( x + x +2 y )( x +3 y )
2 xy
=(2 x +2 y )( x +3 y )
2 xy
= x
2+ 4 xy +3 y
2
xy
= x
y + 3 y
x
+4≥2√
x
y · 3 y
x
+4=4+2√3,当且仅当{
x
y = 3 y
x ,
x +2 y =1,
即{
x =2√3-3,
y =2-√3
时,等号成立,所以( x +1)( x +3 y )
2 xy
的最小值为
4+2√3.
