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第 1 讲 转化与化归思想在函数中的应用
在学习数学时，我们研究的最多的题往往是自己不会做的题，因此解题的过程实际上是一个从未知向
已知转化的过程。
同样的，我们在解决函数问题的过程中，经常会遇到这样一些困境：做题时总感觉这道题见过，但是
按照平时常用的方式就是解不出来。此时便需要我们将问题进行转化，通过观察、分析等思维过程，将原
问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的。
转化和化归可使所要研究的问题化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知。通过改变思维的
角度，使我们从所给问题的情境中找出我们曾经见过的熟悉的模型，从而迅速、准确地解决问题。
【应用一】利用转化与化归思想解决不等式问题
函数的不等式问题，一直是常考问题，解决不等式问题我们一般的想法是根据函数单调性进行求解，
但有的时候，题目给出的不等式中会含有不止一个变量，无法直接利用函数的单调性，此时就需要我们对
不等式进行变形，将陌生的问题转化为我们熟悉的利用函数单调性求解的问题，例如下面这道小题：
【例1】若实数 ， 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
本题是一道不等式问题，且含有两个变量，直接运算很难得到答案，所以我们可以对本题中所给的式
子 进行变形： ，接着构建一个新的函数
，将这个问题转化为函数单调性问题然后求解。
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得 ，构建函数 ，结合单调性分析可
得 ，再结合对数函数单调性逐项分析判断.
【详解】因为 ，所以
构造函数 ，则 在 上单调递增，
故 ，所以 ，对A、B：则 ，但无法确定 与1的大小关系，故无法确定 与0的大小关系，A、B错
误；
对C、D： ，且 在定义域上单调递增，所以 ，C错误，D正确.
故选：D.
【思维升华】
通过本题不难发现，对于多变量的不等式求解问题，我们可以对不等式进行适当的变
形，化难为易、化繁为简，将其转化为我们所熟悉的函数单调性问题，所以在解答数学问题
时，我们有时会遇到陌生的问题，感到棘手。这时，可以想办法把陌生的问题和学过的知识
联系起来，把陌生的问题转化为熟悉的问题进行解答，使问题得到有效解决。
【变式1.1】（2020•新课标Ⅱ）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：由 ，可得 ，令 ，则 在 上单调递
增，且 ，结合函数的单调性可得 ， 的大小关系，结合选项即可判断．
方法二：根据条件取 ， ，即可排除错误选项．
【详解】解：方法一：由 ，可得 ，
令 ，则 在 上单调递增，且 ，
所以 ，即 ，由于 ，
故 ．
方法二：取 ， ，满足 ，
此时 ， ，可排除 ．故选： ．
【变式1.2】若实数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数和对数运算法则可将已知等式化为 ，根据对数函数单调性得到
，设 ，由函数单调性可得结果.
【详解】由题意知： ， ， ， ， ， ，
，即 ， 在 上单调递增，
， ；设 ，则 ，
与 在 上单调递增， 在 上单调递增， ，即 .故选：A.
【应用二】利用转化与化归思想解决函数最值问题
函数的最值问题是一类常考题型，其中比较经典的就是一次函数与二次函数的比值问题，对于这种
题比较直接和容易想到的方法是求导，但求导法在计算量上还是有点大，所以对于此类问题我们可以将
分母变形，把这种问题转化为均值不等式的问题，比如下面这道题：
【例2】当x＞﹣1时，关于代数式 ，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．不确定 C．有最大值 D．无最大值
对于本题，可以看到当 x＞﹣1 时 x+1＞0，关于代数式 可以变形为： ＝
，然后根据基本不等式可解决此题．
【答案】【解析】
【分析】当 时 ，关于代数式 ，然后根据基
本不等式可解决此题．
【详解】解：当 时 ，关于代数式
，
当且仅当 即 时等号成立，此时关于代数式 取得最大值．
故选： ．
【思维升华】
通过本题不难发现，对于求形如一次函数/二次函数的代数式最值问题，我们可以对代数
式的分母进行适当的变形，将其转化为我们所熟悉的基本不等式求最值问题，所以解答有些
数学问题时，我们可以通过变形，利用已经所学过的定义、定理和公式等，达到从未知到已
知的转化，从而使问题得到解决。不仅对于一次函数/二次函数型代数式，我们可以用同样的
方法研究二次函数/一次函数型代数式的最值。
【变式2.1】设 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】对 变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】因为 ，所以 ，
故 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：D
【变式2.2】设 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式求出函数得最大值.
【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，即 的最大值为 .
故选：C.
【应用三】利用转化与化归思想解决函数零点问题
函数的极值问题，既是重点题型又是难点题型，遇到此类题，我们一般的想法是进行求导，实际上，
对于已知的基本初等函数求极值的问题，也可以直接做出基本初等函数的图象，结合函数图象使问题得到
解决，比如下面这道题：
【例3】（2018·全国Ⅰ卷）已知函数 ， ,若g(x)存在2个零点,则a的取值
范围是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
把函数 零点的问题,转化为方程 根的问题,进而转化为函数 的图象与
直线 的图象的交点问题，观察函数 的解析式，可以看到 是由我们熟悉的指数函数和对
数函数构成的，所以能很容易画出函数图象，接着借助函数图象便能得到我们想要的答案。
【答案】
【解析】
【分析】先令 得到 ，即等价于 与 有两个交点，然后画出函数图
象，根据图象即可求解．【详解】解：令 ，即 有两个根，
即 与 有两个交点，分别画出 与 的图象，如下所示：
由图可知：当纵截距 时，即 时， 与 有两个交点，
故 ， ．
故选： ．
【思维升华】
通常研究函数零点问题，如果我们发现函数值得零很难解，我们就可以把它转化为两个
函数图象的交点问题，所以对于函数零点，大部分问题的解决都离不开转化与化归和数形结
合思想，这体现了数与形的相互转化。
【变式3.1】函数 的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【解析】
【详解】本题转化为函数 和函数 的交点个数,做出两个函数的图像,如图,根据图像可得两个函数交点的个数为 个,所以函数 的零点个数为 个.故选:C.
【变式3.2】若函数 有极值点 ， ，且 ，则关于 的方程
的不同实根个数是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
【解析】
【分析】结合题意可知，关于 的方程 的不同实根个数即为 ， 的
根的个数，可求．
【详解】解： 有极值点 ， ，且 ，
有两根 ， ，且 ，
即 ， ，
比较方程 可得， ， ，
则关于 的方程 的不同实根个数即为 ， 的根的个数，
，则函数在 单调递增，在 ， 上单调递减， ， 上单调递增，
，有2个实根，分别在 处和 ， 内，
有1个实根，在 ， 内
综上可得，方程一共有3个根．
故选： ．
【应用四】利用转化与化归思想判断大小
在做题的过程中，我们经常会遇到比大小问题，遇到这类题，我们的想法往往是先找一个中间值，比
如比较这些数和0或1的大小，接着根据小于0的数最小，其次是0-1之间的数，最大的是大于1的数，得到最终结果，但有的时候，题目中出现的数字可能都小于 0，或都在 0-1之间，或都大于 1，例如：
， ， ，这三个数都在0-1之间，此时我们无法用之前的方式进行比大小，所以
需要对这个问题进行转化，变为我们熟悉的问题然后求解，例如下面这道小题：
【例4】（2020•新课标Ⅲ）已知 ， ．设 ， ， ，则
A． B． C． D．
本题是一道较难的比大小问题，因为题中所给的三个数 ， ， ，都在0-1之间，
不好进行比大小，所以我们可以把这三个数两两转化为同底的数，比如：由 ，根据
， 即可得到 ，即 ，接着利用同样的方法，即可确定 ， ，
的大小关系．
【答案】A
【解析】
【分析】法一：利用中间值比较即可 ， ，根据由 和 ，得到 ，即可确
定 ， ， 的大小关系．
法二：利用作差法得到 ，利用指对互化得到 ， ，由此能求出结果．
【解答】解法一：由 ，
，而
，
即 ；
， ， ， ；
， ， ， ，
综上， ．
解法二： ， ， ，，
，
， ， ，
， ， ，
．
故选： ．
【思维升华】
通过本题不难发现，对于一个确定的对数比大小问题，如果无法法借助通常找中间值的
方法求解时，可以将对数转化为同底的对数，然后比较大小。但是通过本题可以发现，如何
转化是一个难点，比如这里： 为什么要乘 ，这么做的依据是什么？这就要求
我们平时在做题的过程中多积累，多试错，化生为熟、化难为易。实际上在本题中乘 ，也
是因为根据已有知识可以知道54>83,利用这一关系反推出乘 ，这也反应了转化思想中的正
难则反，如果正向走不通，可以进行倒推。
【变式4.1】已知 ， ， ，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c B． C． D．
【答案】B
【详解】 ， ，所以 ，所以
又因 ， ，所以 ，所以
所以 ，故选B
【变式4.2】（2022·湖北武昌·高三期末）已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数和指数的单调性可判断 ， ；在构造函数 ， ，再根据换元法和不
等式放缩，可证明当 时， ，由此即可判断 的大小.
【详解】
因为
，所以 ；
由 且 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，
令 ，则 ，
则 ， 等价于 ， ；
又 ，
所以当 时， ，
故 ，所以 ．
故选：C．
【应用五】利用转化与化归思想判解决恒成立问题
新高考越来越注重对综合素质的考查，恒成立问题便是考查综合素质的很好途经，它经常以函数、方
程、不等式等知识为载体，渗透转化与化归、分类讨论、数形结合等思想方法。近几年的数学高考中频频
出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数知识密不可分。遇到恒成立问题，我们的第一想法大多
是利用分离参数或数形结合进行求解，但有的时候恒成立问题中给出的函数形式虽然并不复杂，但是变量却不止一个，此时利用分离参数无法解决，利用数形结合不易讨论，所以我们可以将形的问题转化为数
（值域）的问题，利用代数方法进行求解，比如下面这道题：
【例5】（2022秋·北京·高三人大附中校考阶段练习）已知函数 ， ，若对
任意的 ，总存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
在解决本题时，我们可以把恒成立问题转化为值域问题，也就是将：对任意的 ，总存在
，使得 成立，转化为 在 上值域是 在 上值域的子集，在这里
和 都是我们所熟悉的函数，所以接下来只要讨论 在不同取值时函数 和 的取值即可。
【答案】D
【解析】
【详解】要使对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
即 在 上值域是 在 上值域的子集，
开口向上且对称轴为 ，则 上值域为 ；
对于 ：
当 时 在 上值域为 ，
此时， ，可得 ；
当 时 在 上值域为 ，不满足要求；
当 时 在 上值域为 ；此时， ，可得 ；
综上， 的取值范围 .故选：D
【思维升华】
通常研究恒成立问题，如果我们发现数形结合不好解决时，我们就可以把它转化为值域
问题，通过研究函数的值域，使问题得到解决，所以和函数零点问题类似，恒成立问题的解
决都离不开转化与化归和数形结合思想。同时恒成立问题形式多样，要会根据不同需要进行
转化。
【变式5.1】已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到 ，根据函数单调性得到 ， ，得到不等式，
求出实数 的取值范围是 .
【详解】若 ， ，使得 ，
故只需 ，其中 在 上单调递减，故 ，
在 上单调递增，故 ，
所以 ，解得： ，
实数 的取值范围是 .
故选：C
【变式5.2】若对于常数m和任意实数x，等式 恒成立，则 的周期为 .
【解析】将已知恒等式中的x换成x+m得
,
又将上式中的x换成x+2m得 ,
故 是以4m为周期的周期函数.
巩固练习
1.(2022·安徽省模拟)设函数 ， ．若 在
， 有零点，则实数 的取值范围为． ， B． ， C． ， D． ，
A
【答案】
【解析】
【分析】令 ，函数 换元为 ，在 ， 有零点可以转化为在 上
有解，即 ，该问题又转化为函数图象交点的问题，利用函数单调性求出最小
值即可解决．
【详解】解：由已知得 ， ，
则 ，
则 ，
设 ，当 时，函数 为增函数，则 ，
若 在 ， 有零点，
即 在 上有解，
即 ，即 ，
由于函数 在 ， 上单调递增，
则 ，
即 ，故 ，
则实数 的取值范围是 ， ．
故选： ．
2.（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中）函数 的最大值为（ ）A． B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，即函数 的定义域为
.令 ，
则 ，∴ ，
∴ ，当且仅当 时 有最大值为1，
当 时， 或1满足.
故选：D
3.（多选题）（2022·江苏·南京外国语学校高一期中）已知函数 ，下列说法
正确的是（ ）
A． 的最大值为1 B． 的值域为
C． 的最大值为2 D． 在 上单调递减
【答案】ABC
【解析】A： ，当 时 的最大值为1，故正确；
B： 上递增，值域 ，故正确；
C： ，当且仅当 时取等号，故正确；
D： ，在 递增，故错误；
故选：ABC．4.（2022·全国·高一课时练习）已知 ，则 的值域为______.
【答案】
【解析】令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
故 的解析式为 ，其值域为 .
故答案为： .
5.（2022·全国·高一课时练习）求函数 的值域．
【答案】
【解析】令 ，则 ，
由 及 ，得 ，所以 ，
则 （ ），
为开口向下的二次函数，对称轴为 ，故在 单调递增
因此当 时， ；当 时，
故函数的值域为 ．
