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3.排列、组合与二项式定理(分值:73 分)
学生用书
P211
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·北京,4)在(x-√x)4的展开式中,x3的系数为( )
A.6
B.-6
C.12
D.-12
答案A
解析(x-√x)4的二项展开式的通项为Tr+1=C4
rx4-r·(-√x)r=C4
r(-1)r
x
4 - r
2(r=0,1,2,3,4),令4-r
2
=3,解得r=2,
故所求即为C4
2(-1)2=6.
2.(2024·广东湛江二模)已知(1-2x)9=a0+a1x+…+a9x9,则a0+∑
i=2
9 ai=( )
A.-2
B.-19
C.15
D.17
答案D
解析令x=1,得a0+a1+a2+…+a9=-1.又(1-2x)9展开式的通项为Tr+1=C9
r(-2x)r=C9
r(-2)rxr(0≤r≤9 且
r∈N),所以a1=(-2)1×C9
1=-18,所以a0+∑
i=2
9 ai=-1-(-18)=17.
3.(2024·河北张家口三模)(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为( )
A.-5
B.5
C.-10
D.10
答案A
解析(1+x)5的展开式通项为Tr+1=C5
rxr,则(1-x2)(1+x)5的展开式中x4项为C5
4x4-x2·C5
2x2=(C5
4-C5
2
)x4=-5x4,所以(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为-5.
4.(2024·广东佛山二模)甲、乙、丙、丁、戊共5 名同学进行劳动实践比赛,已知冠军是甲和乙当中的
一人,丁和戊都不是最差的,则这5 名同学的名次排列(无并列名次)共有( )
A.12 种
B.24 种
C.36 种
D.48 种
答案B
解析依题意,排第1 名,有C2
1种方法,排丁和戊,有A3
2种方法,排余下2 人,有A2
2种方法,所以这5 名同学
的名次排列(无并列名次)共有C2
1 A3
2 A2
2=24(种).
5.(2024·湖南长沙三模)在(3x+y-1)8的展开式中,x2y 的系数是( )
A.168
B.-168
C.1 512
D.-1 512
答案D
解析原问题可以理解为8 个(3x+y-1)相乘,要想得到x2y,需要8 个因式中有2 个取x 项,1 个取y 项,还
剩5 个取常数项,由题意x2y 的系数为C8
2×32×C6
1×1×C5
5×(-1)5=-1 512.
6.(2024·山东烟台一模)将8 个大小形状完全相同的小球放入3 个不同的盒子中,要求每个盒子中至少
放2 个小球,则不同放法的种数为( )
A.3
B.6
C.10
D.15
答案B
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解析依题意,每个盒子放入2 个球,余下2 个球可以放入一个盒子有C3
1种方法,放入两个盒子有C3
2种
方法,所以不同放法的种数为C3
1+C3
2=6.
7.(2024·湖北黄冈模拟)设a,b,m(m>0)为整数,若a 和b 被m 除得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,
记为a≡b(mod m).若a=C20
1 ×2+C20
2 ×22+…+C20
20×220,a≡b(mod 9),则b 的值可以是( )
A.2 018
B.2 020
C.2 022
D.2 024
答案D
解析a=C20
1 ×2+C20
2 ×22+…+C20
20×220=(1+2)20-1=910-1,所以a 除以9 的余数是8,选项中只有2 024 除
以9 余8.
8.(2024·江苏无锡模拟)现将四名语文教师、三名心理教师、两名数学教师分配到三所不同学校,每个
学校三人,要求每个学校既有心理教师又有语文教师,则不同的安排种数为( )
A.216
B.432
C.864
D.1 080
答案B
解析求不同的安排种数需要分成3 步,把3 名心理教师分配到三所学校,有A3
3种方法,再把4 名语文教
师按2∶1∶1 分成3 组,并分配到三所学校,有C4
2 A3
3种方法,最后把2 名数学教师分配到只有1 名语文
教师的两所学校,有A2
2种方法,由分步乘法计数原理得不同的安排种数为A3
3×C4
2 A3
3× A2
2=432.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2024·重庆模拟)已知二项展开式f(x)= x3-1
x
8,下列说法正确的有( )
A.f(x)的展开式中的常数项是56
B.f(x)的展开式中的各项系数之和为0
C.f(x)的展开式中的二项式系数最大值是70
D.f(i)=-16,其中i 为虚数单位
答案BC
解析x3-1
x
8的展开式的通项为Tk+1=C8
k(x3)8-k· -1
x
k=(-1)kC8
kx24-4k.令24-4k=0,即k=6,则T7=(-1)6C8
6
=28,故A 错误;令x=1,即f(1)= 1-1
1
8=0,故各项系数之和为0,故B 正确;由k=8,故二项式系数
10.(2024·山东德州模拟)带有编号1,2,3,4,5 的五个球,则下列说法正确的有( )
A.全部投入4 个不同的盒子里,共有45种放法
B.放进不同的4 个盒子里,每盒至少一个,共有4 种放法
C.将其中的4 个球投入4 个盒子里的一个(另一个球不投入),共有20 种放法
D.全部投入3 个不同的盒子里,没有空盒,共有140 种不同的放法
答案AC
解析由分步乘法计数原理,五个球全部投入4 个不同的盒子里共有45种放法,故A 正确;五个不同的
球放进不同的4 个盒子里,每盒至少一个,共有C5
2 A4
4=240 种放法,故B 错误;将其中的4 个球投入一个
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盒子里(另一个球不投入)共有C5
4C4
1=20 种放法,故C 正确;将球全部投入3 个不同的盒子里,没有空盒,
共有C5
3 A3
3+ C5
2C3
2
A2
2
A3
3=150 种不同的放法,故D 错误.故选AC.
11.在(x - 2
x)
6
的展开式中( )
A.常数项为160
B.含x2项的系数为60
C.第4 项的二项式系数为15
D.所有项的系数和为1
答案 BD
解析(x - 2
x)
6
展开式的通项为Tr+1=C6
rx6-r(- 2
x)
r
=C6
r(-2)rx6-2r.令6-2r=0,得r=3,则常数项为C6
3×
(-2)3=-160,故A 错误;令6-2r=2,得r=2,则含x2项的系数为C6
2×(-2)2=60,故B 正确;展开式第4 项
的二项式系数为C6
3=20,故C 错误;取x=1 得到所有项的系数和为(1- 2
1)
6
=1,故D 正确.故选BD.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2024·河北保定三模)在x+ a
x
2
6(a>0)的展开式中,常数项为75,则a= .
答案√5
解析x+ a
x
2
6的展开式的通项为Tr+1=C6
r ·x6-r·
a
x
2
r=ar·C6
r ·x6-3r,令6-3r=0,解得r=2,所以常数项为
C6
2·a2=15a2=75.又a>0,解得a=√5.
13.(2024·全国甲,理13) 1
3+x
10的展开式中,各项系数中的最大值为 .
答案5
解析由题展开式通项为Tr+1=C10
r ( 1
3
)10-rxr,0≤r≤10 且r∈Z,设展开式中第r+1 项系数最大,则
{
C10
r ( 1
3 )
10-r≥C10
r +1( 1
3 )
9-r,
C10
r ( 1
3 )
10-r≥C10
r -1( 1
3 )
11-r ⇒{
r ≥29
4 ,
r ≤33
4 ,
即29
4 ≤r≤33
4 .又r∈Z,故r=8,所以展开式中系数最大的
项是第9 项,且该项系数为C10
8 ( 1
3
)2=5.
14.(2024·广东佛山二模)甲、乙、丙3 人在公交总站上了同一辆公交车,已知3 人都将在第4 站至第8
站的某一公交站点下车,且在每一个公交站点最多只有两人同时下车,从同一公交站点下车的两人不
区分下车的顺序,则甲、乙、丙3 人下车的不同方法总数是 .
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答案120
解析由题意,3 人都在第4 站至第8 站的某一公交站点1 人独自下车,共有A5
3=60 种,3 人中有2 人在同
一公交站点下车,另1 人在另外一公交站点下车,共有C3
2 A5
2=60 种,故甲、乙、丙3 人下车的不同方法
总数是60+60=120 种.
