92.圆锥曲线第二定义与应用
一．基本原理
1.椭圆第二定义
已知点
到定点
的距离与它到定直线
的距离之比是常数
( , )
P x y
( ,0)
F c
2
:
a
l x
c
，求点
的轨迹.
(
0)
c a
c
a
P
解析：
化简得
2
2
2
(
)
,
x
c
y
c
a
a
x
c
2
2
2
2
2
2
2
2 .
a
c
x
a y
a
a
c
令
，上述方程就可化为
2
2
2(
0)
a
c
b b
2
2
2
2
1(
0).
x
y
a
b
a
b
2.双曲线第二定义
类似地，我们可以得到:当点
到定点
的距离和它到定直线
的距离之比
P
( ,0)
F c
2
:
a
l x
c
是常数
时，这个点的轨迹是双曲线，方程为
(其中
(
0)
c c
a
a
2
2
2
2
1
x
y
a
b
2
2
2
b
c
a
)，这个常数就是双曲线的离心率.
解析：设
是动点，定点为
，定直线为
，常数
，由上述可得：
,
M x y
,0
F c
2
a
x
c
c
e
a
，化简得到
．其中
．
2
2
2
x
c
y
MF
c
MH
a
a
x
c
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
2
2
2
c
a
b
3.抛物线的定义是众所周知的，不再赘述.
4.圆锥曲线第二定义
这样，圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点
和到一条定直线
不在上)的距
F
(l F
l
离之比等于常数
的点的轨迹.
e
当
时，它是椭圆；当
时，它是双曲线；当
时，它是抛物线.其中
是圆
0
1
e
1
e
1
e
e
锥曲线的离心率，定点
是圆锥曲线的焦点，定直线是圆雉曲线的准线.
F
l
二．典例应用
例1.圆锥曲线焦半径：椭圆
，
，
分别为其左右焦
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
1
,0
F
c
2
,0
F c
点，
为椭圆上一点，那么该椭圆左准线为
，右准线为
，根据椭圆
0
0
,
P x y
2
a
x
c
2a
x
c
第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与它到对应准线的距离之比等于离心率
则
，
．
2
1
0
0
a
PF
e
x
a
ex
c
2
2
0
0
a
PF
e
x
a
ex
c
同理对于双曲线有相似的结论成立：
为双曲线
上的一点，
，
0
0
,
P x y
2
2
2
2
1
x
y
a
b
1
,0
F
c
分别为双曲线的左右焦点，则
，
．
2
,0
F c
1
0
PF
a
ex
2
0
PF
a
ex
例2.（2018 全国三卷）已知斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，线
k
l
2
2
1
4
3
x
y
C
：
A
B
段
的中点为
．
AB
1
0
M
m
m
，
（1）证明：
；
1
2
k
（2）设
为
的右焦点，
为
上一点,且
．证明：
，
，
F
C
P
C
0
FP
FA
FB
FA
FP
成等差数列，并求该数列的公差．
FB
解：（1）设
，则
.两式相减，并由
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
2
2
2
2
1
1
2
2
1,
1
4
3
4
3
x
y
x
y
得
.由题设知
，于是
1
2
1
2
y
y
k
x
x
1
2
1
2
0
4
3
x
x
y
y
k
1
2
1
2
1,
2
2
x
x
y
y
m
.①
3
4
k
m
由题设得
，故
.
3
0
2
m
1
2
k
（2）由题意得
(1,0)
F
，设
3
3
(
,
)
P x
y
，则
3
3
1
1
2
2
(
1,
)
(
1,
)
(
1,
)
(0,0)
y
x
x
y
x
y
.
由（1）及题设得
3
3
2
1
2
1
3
(
)
1,
(
)
2
0
y
y
x
x
y
x
m
. 又点P 在C 上，所以
3
4
m
，从而
3
(1,
)
2
P
，
3
|
|
2
FP
. 于是
2
2
2
2
1
1
1
1
1
|
|
(
1)
(
1)
3(1
)
2
4
2
x
x
FA
x
x
y
. 同理
2
|
| 2
2
x
FB
.
所以
1
2
1
|
|
|
| 4
(
)
3
2
FA
FB
x
x
.故2 |
| |
|
|
|
FP
FA
FB
，即|
|,|
|,|
|
FA
FP
FB
成
等差数列.设该数列的公差为d，则
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2 |
| ||
|
|
||
|
|
(
)
4
2
2
FB
FA
x
x
x
x
x x
d
.②，将
3
4
m
代入①得
1
k
.所以l 的方程为
7
4
y
x
，代入C 的方程，并整理得：
2
1
7
14
0
4
x
x
.故
1
2
1
2
1
2,
28
x
x
x x
，代入②解得
3 21
|
|
28
d
. 所以该数列的公差
为3 21
28
或
3 21
28
.
例3.已知直线
与双曲线
的左右两支分别交于
、
两点，与双曲线
MN
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
M
N
C
的右准线相交于
点，点
为右焦点，若
，
，则实数
P
F
2
FM
FN
uuur
uuur
0
1
NP
PM
uuur
uuur
的值为_________.
解析：记
、
在右准线上的射影分别为点
、
，由
及双曲线第二定义
M
N
1
M
1
N
2
FM
FN
uuur
uuur
知：
，又
，所以
，从而
，则
1
1
2
MM
NN
1
1
MM P
NN P
V
: V
2
MP
NP
1
2
NP
PM
uuur
uuur
1
2
.
例4.证明：角度形式焦半径：上加下减，即
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
cos
cos
cos
b
b
ab
QF
PF
AB
a
c
a
c
a
c
，
证明：设椭圆
的准线
与
轴交于
点，
为椭圆的
)
0
(1
:
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
E
c
a
x
2
x
C
2
1, F
F
左右焦点，过右焦点
的直线与椭圆
交于
两点.设
，过
两点向
2
F
l
E
Q
P,
P
CF2
Q
P,
准线
引垂线，垂足记为
点.根据椭圆第二定义，
,
.过
c
a
x
2
F
E,
e
PE
PF
|
|
|
|
2
e
QE
QF
|
|
|
|
2
两点再向
轴引垂线，垂足记为
点.
Q
P,
x
H
G,
显然
，再代入
cos
|
|
cos
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
2
2
2
2
2
PF
c
c
a
PF
CF
G
F
CF
CG
PE
可得
，整理化简：
e
PE
PF
|
|
|
|
2
e
PF
c
c
a
PF
cos
|
|
|
|
2
2
2
2
2
.
cos
b
PF
a
c
同理可得：
2
2
.
cos
b
QF
a
c
类似地，双曲线
的一个焦点为F，P 为双曲线上任意一点，设
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，则双曲线的焦半径
，若直线
交双曲线于另一点Q，则双
PFO
2
cos
b
PF
c
a
PF
曲线的焦点弦
.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P 和F 是否位于y
2
2
2
2
2
cos
ab
PQ
a
c
轴同侧决定，同正异负）
例5.已知椭圆
，左焦点为
，在椭圆
上取三个不同点
、
、
，且
2
2
:
1
36
27
x
y
C
F
C
P
Q
R
，则
的最小值为（ ）
2π
3
PFQ
QFR
RFP
1
2
3
FP
FQ
FR
A．
B．
C．
D．
4
3
3
6
4
3
3
9
4
2 3
3
9
4
3
3
3
解析：在椭圆
中，
，
，
，如下图所示：
C
6
a
3 3
b
3
c
椭圆的左准线为
，以
为顶点，
轴的正方向为
始边的方向，
为角
2
12
a
x
c
F
x
FP
的终边，当
时，过点
作
，过点
作
，垂足分别为点
、
，
π
0
2
P
PN
l
F
FM
PN
^
N
M
易知四边形
为矩形，则
，由椭圆第二定义可得
EFMN
2
12
3
9
a
MN
EF
c
c
，则
，又因为
轴，则
，所以，
，所
1
2
PF
e
PN
2
PN
PF
//
PN x
FPN
cos
PM
PF
以，
，因为
，即
，所以，
cos
PM
PF
PN
PM
MN
2
cos
9
PF
PF
，
9
2
cos
PF
同理可知，当
为任意角时，等式
仍然成立，同理可得
9
2
cos
PF
，
，因此，
9
2π
2
cos
3
FQ
9
4π
2
cos
3
FR
2π
4π
4
2cos
6
3cos
1
2
3
2
cos
3
3
9
9
9
FP
FQ
FR
4
1
2π
4π
cos
2cos
3cos
3
9
3
3
4
1
3
3 3
cos
cos
3sin
cos
sin
3
9
2
2
，故
的最小值为
.故
4
1
3
3
4
3
π
sin
cos
sin
3
9
2
2
3
9
3
1
2
3
FP
FQ
FR
4
3
3
9
选：B.
例6．（1）设椭圆
（
）的左、右焦点分别为
，
，左、
2
2
2
2
1
x
y
a
b
0
a
b
𝐅𝟏( ‒ 𝐜,𝟎)
2
,0
F
c
右准线方程分别为：
，
：
.如图，由椭圆上的动点
向，
分别
1l
2
a
x
c
2l
2
a
x
c
𝐏(𝐱𝟎,𝐲𝟎)
1l
2l
作垂线，垂足分别为
，
.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率
1
N
2
N
（
，
）.请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式
1
2
1
2
e
PF
PF
PN
PN
2
2
2
a
c
b
0
c
，
.
1
0
e
PF
a
x
2
0
e
PF
a
x
（2）借助（1）中焦半径公式解决问题：已知
为椭圆
上两个不同的点，
,
A B
2
2
1
16
12
x
y
F
为右焦点，
，若线段
的垂直平分线交
轴于点
，求
.
6
AF
BF
AB
x
T
FT
解析：（1）由
，得
，
，又
1
2
1
2
e
PF
PF
PN
PN
1
1
e
PF
PN
2
2
e
PF
PN
，
，所以
，
2
2
1
0
0
a
a
PN
x
x
c
c
2
2
0
a
PN
x
c
2
1
1
0
0
e
e
e
a
PF
PN
x
a
x
c
，
2
2
2
0
0
e
e
e
a
PF
PN
x
a
x
c
即
，
.
1
0
e
PF
a
x
2
0
e
PF
a
x
（2）由题意，在椭圆
中，
，
，
，
.设
，
2
2
1
16
12
x
y
4
a
2
c
1
e
2
2,0
F
𝐀(𝐱𝟏,𝐲𝟏)
𝐁(𝐱𝟐,𝐲𝟐)
，
则由焦半径公式，得
，所以
，所以线段
1
2
1
1
4
4
6
2
2
AF
BF
x
x
1
2
4
x
x
AB
的中点为
.设
.由题意知，直线
与坐标轴不平行，且直线
的斜率
1
2
2,
2
y
y
E
,0
T m
AB
AB
，所以线段
的垂直平分线的斜率为
，则线段
的垂直平分线方
1
2
1
2
AB
y
y
k
x
x
AB
1
2
1
2
x
x
y
y
AB
程为
.代入
，得
1
2
1
2
1
2
2
2
x
x
y
y
y
x
y
y
,0
T m
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
12 1
12 1
16
16
2
2
2
x
x
y
y
m
x
x
x
x
，解得
，所以
.
2
2
2
1
1
2
1
2
3
3
3
4
2
8
2
x
x
x
x
x
x
1
2
m
1
3
2
2
2
FT
三．习题演练
1.如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为
，右准线l 的方程为：
．
3,0
F
12
x
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点
，使
，证明：
1
2
3
,
,
P P P
1
2
2
3
3
1
PFP
P FP
P FP
为定值，并求此定值．
1
2
3
1
1
1
FP
FP
FP
解析：（1）设椭圆方程为
．因焦点为
，故半焦距
，又右准线的方
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(3 0)
F
，
3
c
l
程为
，从而由已知
，因此
，
，故所求
2
a
x
c
2
2
12
36
a
a
c
，
6
a
2
2
27
3 3
b
a
c
椭圆方程为
.
2
2
1
36
27
x
y
（2）
记椭圆的右顶点为A，并设
（
1，2，3），不失一般性，假设
，
i
i
AFP
i
1
2
0
3
且
，
．又设点
在上的射影为
，因椭圆的离心率
，
2
1
2
3
3
1
4
3
iP
l
i
Q
1
2
c
e
a
从而有
．
2
cos
i
i
i
i
i
a
FP
PQ
e
c
FP
e
c
1 (9
cos
)
2
i
i
FP
(
1 2 3)
i ，，
解得
．
1
2
1
1
cos
9
2
i
i
FP
(
1 2 3)
i ，，
因此
，
1
1
1
1
2
3
1
1
1
2
1
2
4
3
cos
cos
cos
9
2
3
3
FP
FP
FP
而
1
1
1
2
4
cos
cos
cos
3
3
1
1
1
1
1
1
3
1
3
cos
cos
sin
cos
sin
0
2
2
2
2
，
故
为定值．综上，椭圆方程为
；
.
1
2
3
1
1
1
2
3
FP
FP
FP
2
2
1
36
27
x
y
1
2
3
1
1
1
2
3
FP
FP
FP
2.椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线有许多相似性质．比如三种曲线都可以用如下方式
定义（又称圆锥曲线第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨
迹为圆锥曲线．当
为椭圆，当
为抛物线，当
为双曲线．定点为焦点，定
0
1
e
1
e
1
e
直线为对应的准线，常数e 为圆锥曲线的离心率．依据上述表述解答下列问题．
已知点
，直线
动点
满足到点F 的距离与到定直线l 的距离之比为
(1,0)
F
:
4
l x
E
1
2
(1)求曲线
的轨迹方程；
E
(2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线
中，O 为抛物线顶点，过焦点
2
2
(
0)
y
px p
F 的直线交抛物线与A，B 两点，连接
，
并延长交准线l 与D，C，则以
为直径
AO
BO
CD
的圆与
相切于点F，以
为直径的圆与
相切于
中点．那么如图在曲线E 中是
AB
AB
CD
CD
否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由．
解析：（1）由题知，曲线
的轨迹为焦点在
轴上的椭圆，且
，所以
E
x
1
1
2
c
c
a
1
2
c
a
所以椭圆E 的轨迹方程为
2
2
1
4
3
x
y
（2）以
为直径的圆与
不相切．理由如下：当焦点弦
的最大值为长轴长，此时
AB
CD
AB
圆方程为
，圆与直线
相离；当
轴时焦点弦
的最短，此时圆方程为
2
2
4
x
y
CD
AB
x
AB
，圆与直线
相离；以
为直径的圆与
相切于点F，证明如下：
2
2
9
(
1)
4
x
y
CD
CD
AB
设
，
，直线
的方程为
1
1
,
A x y
2
2
,
B x
y
AB
1
x
my
由
化简得
由韦达定理得
2
2
1
1
4
3
x
my
x
y
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
1
2
2
1
2
2
6
3
4
9
3
4
m
y
y
m
y y
m
直线
的方程为
，令
，得
，
AM
1
1
(
2)
2
y
y
x
x
4
x
1
1
2
4,
2
y
D
x
同理
，
2
2
2
4,
2
y
C
x
1
2
1
2
4
9
2
2
y y
CF DF
x
x
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
9
6
2
2
1
1
1
1
3
4
3
4
m
x
x
my
my
m y y
m y
y
m
m
m
m
2
4
3
4
m
，
，所以，以
为直径的圆过点F
1
2
1
2
4
9
0
2
2
y y
CF DF
x
x
CF
DF
CD
又因为
中点坐标为
，而
CD
1
2
1
2
4,
2
2
y
y
E
x
x
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
2
2
1
1
1
1
my y
y
y
y
y
y
y
m
x
x
my
my
my
my
(4, 3 )
E
m
所以
，
，所以
为直径的圆与
相切于点F
3
4 1
EF
m
k
m
EF
AB
CD
AB
