文档文本内容
数列
一、倒序相加求和
1.
已知函数
，数列
满足
.
(1)求证：
为定值，并求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【知识点】倒序相加法求和、裂项相消法求和
【分析】（1）计算
为定值2，用倒序相加法求得
通项公式；
（2）由（1）得到
，裂项相消求和得
，进而结合单调性证明不等式即可.
【详解】（1）由题意得
，
则
，
得到
，
两式相加得
，即
.
（2）由题意得
，
则
，
而
，而
，可得当
时，
，
令
，因为反比例函数
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增，故
得证.
2.
定义在
上的函数
．
(1)求
．
(2)是否存在常数
，对任意的
，有
？
【答案】(1)
(2)不存在
【知识点】数列求和的其他方法、倒序相加法求和
【分析】（1）由题意得
，结合倒序相加法即可求解；
（2）通过放缩说明当
趋向于无穷大时，
也趋向于无穷大即可求解.
【详解】（1）由于
，即
，
所以
，解得
．
（2）不存在．
，
说明，当
趋向于无穷大时，
也趋向于无穷大，
所以不存在常数
，使得
．
3.
已知函数
，数列
满足
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】裂项相消法求和、倒序相加法求和、由正弦函数的奇偶性求函数值
【分析】（1）应用倒序相加结合正弦函数的奇偶性计算求解得出通项公式；
（2）应用裂项相消计算即可证明.
【详解】（1）因为
，
所以
．
当
时，
，
所以
，
所以
，即当
时，
．
又当
时，
，所以数列
的通项公式为
．
（2）
，
所以
．
所以
．
4.
已知函数
，数列
是正项等比数列，且
，
(1)计算
的值；
(2)用书本上推导等差数列前n 项和的方法，求
的
值.
【答案】(1)1；
(2)
.
【知识点】倒序相加法求和、等比数列下标和性质及应用、求函数值
【分析】（1）直接代入
化简即可；
（2）由（1）
，结合等比数列性质，即可求解.
【详解】（1）因为函数
，
所以
（2）因数列
是正项等比数列，且
，则
，
所以
，
同理
，
令
，
又
，
则有
，故
，
所以
.
5.
已知
，数列
的前
项和为
，点
均在函数
的
图象上.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，令
，求数列
的前2024 项和
.
【答案】(1)
(2)1012
【知识点】倒序相加法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）由题意得
，再利用
可求出
，
（2）先求得
，
，然后利用倒序相加法可求得结果.
【详解】（1）因为点
均在函数
的图象上，
所以
，
当
时，
，即
，
当
时，
，
因为
满足上式，
所以
；
（2）因为
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
①，
又
②，
+
①②，得
，
所以
.
二、错位相减求和
6.
已知数列
的前
项和
，且
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】错位相减法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）根据数列前
项和与通项公式的关系，通过作差法证明数列为等差数列即可.
（2）根据等差数列定义，写出数列
通项公式，进而求出数列
通项公式，再根据错
位相减法，以及等比数列前
项和公式，求出结果即可.
【详解】（1）由题意可知，当
时，
，因为
，解得
，
当
时，
，化简得
，
因为
，所以
，则
，即
，
可知数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由（1）可知，
，则
，
则
，
则
，
可得
，
解得
.
7.
已知等差数列
的通项公式
，数列
满足
．
(1)证明：数列
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)已知数列
求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和
【分析】（1）结合已知得
，
，再根据等比数列的定义与通
项公式求解即可；
（2）由题知
，再根据错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为数列
满足
，即
所以
，
又
，
，故
,
，
所以
，
，
所以数列
是等比数列，首项为
，公比为
，
所以
，即
，
所以
的通项公式为
.
（2）因为等差数列
的通项公式
，
可得
，
所以
①，
②，
得：
，
所以
.
8.
已知数列
的前
项和为
，数列
是公比为3 的等比数列，且
.
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）当
时
，当
时，结合
，求得
，再由
，利用等比数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）得到
，利用乘公比错位相减法，即可求出数列
的前
项和.
【详解】（1）因为
，所以当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，符合上式，所以
，
又因为
，数列
是公比为3 的等比数列，所以
，
所以数列
的通项公式为
，数列
的通项公式为
.
（2）由（1）知
，
，可得
，
则
，
，
两式相减，可得
，
所以
.
9.
已知正项数列
满足
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n 项和、
错位相减法求和
【分析】（1）利用递推式结合已知条件求出公比，再利用
求出
，从而求出
的通项公式；
（2）先求出数列
的通项公式，列出
和
，再利用错位相减法结合等比数列前
项和公式求
．
【详解】（1）因为数列
为正项数列，所以
，故
，
又
，
所以
，故
是公比为
的等比数列，
又因为
，
，
所以
，解得
，
所以
．
（2）
，
①，
②，
式①减去②得
，
．
10. 已知
的前
项和为
，且
.
(1)当
为何值时，数列
为等比数列，并求此时数列的通项公式；
(2)当
时，设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）分别代入计算得
，再根据等比中项求出
，最
后再
即可；
（2）利用错位相减法即可.
【详解】（1）（1）因为
的前
项和
，
所以
，
所以
，
若
是等比数列，则
，求得
，
当
时，
，
又当
时，
，
则当
时，
也适合此通项公式.即
，
由于
对
都成立，所以此时数列
为等比数列，
所以当
时，数列
为等比数列，此时数列的通项公式为
.
（2）（2）当
时，
，
则
，
，
所以
，
故
.
三、裂项相消求和
11.
已知等差数列
的前
项和为
，公差不为
，
，且
成等比数列．
(1)求
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n 项和的基本量计算、等比数列
的定义、裂项相消法求和
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，根据题意，列出方程组，求得
，即可求得数列
的通项公式；
（2）由（1）得到
，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列
的公差为
，
由
，可得
，即
，
又由
成等比数列，可得
，所以
，
整理得
，联立方程组
，解得
，
所以
，
所以数列
的通项公式为
.
（2）解：由（1）知
，可得
，
所以
．
12. 已知
为公差不为零的等差数列，其中
，
，
成等比数列，
.
(1)求数列
通项公式；
(2)记
，设
的前
项和为
，求最小的正整数
，使得
.
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、裂项相消法求和
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算，结合等比中项的概念列式求
和
，可得数列
的通项公式.
（2）利用裂项求和法求
，再解不等式可得
的取值范围，可得
的最小值.
【详解】（1）设数列
首项为
，公差为
，
因为
，
，
成等比数列，所以
，
又
，所以
.
又
，
所以
.
所以
.
（2）因为
，
所以
，
由
.
所以
的最小值为1013.
13. 设正项数列
的前
项和为
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和
，求证：
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、利用an 与sn 关系求通项或
项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）应用
关系及已知递推关系得
，结合等差数列的定义写出通
项公式；
（2）由（1）及裂项相消法求
，即可证.
【详解】（1）当
时，由
，得
，
，得
，
又
，
，且
，作差得
，
所以
，
，则
且
，
故数列
是公差为1 的等差数列，故数列的通项公式为
；
（2）
∴
.
又
，所以
.
14. 在数列
中，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和
【分析】（1）利用题干条件构造恒等式，从而得出通项公式，注意检验
时是否满足
通项公式.
（2）由（1）得出
，再将
进行奇偶讨论，
先算出项数为偶数时的和，再计算项数为奇数的和，可以简化运算.
【详解】（1）因为
，
所以当
时，
，即
，
所以当
时，
，
所以
，
在
中，令
时，
，解得
.
对于，
，当
时，
，
符合上式，所以通项公式为
.
（2）由（1）得
，
当
为偶数时，
；
当
为奇数时，
所以
.
15. 已知数列
的通项公式为
. 数列
满足
，
.
(1)求数列
的前n 项和
.
(2)证明数列
是等比数列，并求数列
的通项公式.
(3)求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n 项和、裂项相消法求和、分组（并
项）法求和
【分析】（1）根据给定条件，利用裂项相消法求和即得.
（2）利用构造法，结合等比数列定义推理得证，进而求出通项公式.
（3）利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前n 项和计算得解.
【详解】（1）由
，得
，
所以
.
（2）依题意，
，由
，得
，得
，
而
，则
，
所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
，即
.
（3）由（2）知
，
所以
.
四、分组、并项求和
16. 已知数列
的各项均为正数，前
项和为
，且
．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分组（并项）法求和、利用an 与sn 关系求通项或项
【分析】（1）利用
的关系，可得
是等差数列，利用等差数列通项公式可得答案；
（2）先根据
求出
的通项公式，利用并项求和可得答案.
【详解】（1）因为
，当
时，可得
；
因为当
时，有
，
所以
，整理得
，
所以
是首项为4，公差为4 的等差数列．
所以
，
因为数列
的各项均为正数，所以
.
（2）由（1）知，当
时，
．
当
时，
成立，所以
．
所以
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
综上，
．
17. 已知
是等差数列，
是等比数列，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和；
(3)求数列
前
项和
的最大值．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)75.
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n 项和的最值、等比数列通项
公式的基本量计算、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据
得到
的通项公式，进而可得
的通项公式；
（2）由（1）中的通项公式可得
的通项公式，分组求和；
（3）根据等差数列的求和公式可得
的表达式，根据二次函数的性质可得
的最大值.
【详解】（1）因为
，
所以等比数列
的公比为
，所以
.
所以
，
所以等差数列
的公差为
，
所以
.
（2）由（1）知
，
所以
.
（3）由等差数列的前
项和公式知
，
由二次函数的性质知，当
时，
取得最大值75.
18. 已知数列
的前
项和为
，且
(1)求数列
的通项公式
；
(2)设数列
满足
，
为数列
的前
项和，求
.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求等差数列前n 项和、求等比数列前n 项和、分组（并项）法求和、利用an 与
sn 关系求通项或项
【分析】（1）根据条件，利用
与
间的关系，即可求解；
（2）利用（1）中结果得
，再分组利用等差数列、等比数列的前
项和公
式，即可求解
【详解】（1）因为
①，当
时，
②，
由①
②得到
，
又
时，
，不满足
，
所以
（2）由（1）知
，
所以
.
19. 已知数列
满足：
，
．
(1)求
，并判断
是否恒成立；
(2)设
，证明：
是等差数列；
(3)数列
的前
项和为
，求
．
【答案】(1)
，
不恒成立
(2)证明见解析
(3)
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明数列是等差数列、求等差数
列前n 项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）利用数列递推式求出数列的前5 项，即可判断结论；
（2）将数列递推式分
和
，
展开相加，推得
，进而
得到
，利用等差数列的定义证明即可；
（3）由数列递推式可得
，结合
，将
的展开式按照
各项的下标的奇偶分成两类，再并项求和，利用等差数列的求和公式即可求得.
【详解】（1）因为
，所以
，
，
；
又
，
，故
不恒成立．
（2）当
，
，
；
当
，
，
；
两式相加，可得
，故
，
由
，可得
是等差数列．
（3）当
时，
，又
，
所以
，则在偶数项的和中，每对
，
均满足此条件．
又由（2）可得
，
则
20. 已知等差数列
的前n 项和为
，
是公比大于1 的等比数列，
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
；
(2)
【知识点】分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的
基本量计算
【分析】（1）设等差数列
的公差为d，等比数列
的公比为q，根据题意建立方程
组，求解即可；
（2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）设等差数列
的公差为d，等比数列
的公比为q，且
．
依题意得
，得
，故
，
又
，消去
可得
，则
（舍）或
．
则
，故
．
（2）因为
，所以
，
则
.
五、数列其他求和方法
21. 已知数列
的前n 项和为
，且
（
）.数列
是公比为2 的等比数列，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前n 项和
；
(3)证明：
.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【知识点】求等比数列前n 项和、错位相减法求和、数列求和的其他方法、利用an 与sn 关
系求通项或项
【分析】（1）根据
与
的关系求解；
（2）利用错位相减法求解；
（3）利用放缩
求和证明.
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
；
又
，
所以
（2）因为
，
，所以
.
所以
.
所以
①，
所以
②，
所以①②得
，
所以
（3）因为
，所以
，
又当
时，
，即
，所以
，
所以
，
所以
，得证.
22. 在公差不为0 的等差数列
中，
，且
成等比数列．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【知识点】数列求和的其他方法、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）用基本量表示已知可求
，进而求通项公式；
（2）证明
是递增数列可证
；放缩求和可证
.
【详解】（1）设等差数列
公差为
，则
，
由题可得
，解得
，
所以
.
（2）由（1）
，
，
所以
，
所以
是递增数列.
所以
，且
，
所以
.
23. 记
为数列
的前
项和，已知
，
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，若对任意
，
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an 与sn 关系求通项或项、数列求和的其他方法、
分组（并项）法求和
【分析】（1）首先求出
，再利用数列通项公式与前
项和的关系
得
到递推关系，因为
，可求得数列
为等差数列，由此可写出数列
的通项公式；
（2）先写出数列
的通项公式，再求出数列
的前
项和为
，解法一是分部求和，
解法二是分组求和，解法三直接从问题入手，构造新数列
，求其最小值，则
不大于其最小值，此即为恒成立，由此可得实数
的取值范围.
【详解】（1）
时，
，解得
或
，因为
，所以
，
时，
，得
，
因为
，所以
，又
，
故数列
是首项为3，公差为2 的等差数列，
所以数列
的通项公式为
；
（2）解法一：由
，所以
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
所以
，
因为对任意的
，
成立，
所以，当
为奇数时，即
，所以
，
不等号的右边可看作关于
的二次函数，对称轴为
，
因为
为奇数，所以
时，
，则
当
为偶数时，
，所以
，
同理可得，因为
为偶数，所以
时，
，则
，
综上，
.
解法二：由
，
当
为偶数时，
.
当
为奇数时，
，
所以
（下同解法一）
解法三：因为对任意的
，
成立，
则
，即求
的最小值，令
，
当
为奇数时，
则
，所以
最小值一定在
为奇数时取到，
当
为奇数时，
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
为奇数时，
，
则
的最小值为
，
所以
.
24. 已知数列
的前
项和为
，其中
，
；数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用an 与sn 关系求通项或项、数列求和的其他方法
【分析】（1）根据
求解即可；
（2）根据
，求出
的通项公式，根据通项公式研究
数列各项正负情况，进
而得到
的前
项和
.
【详解】（1）
，
时，有
，
时有
，
，
，
又
，也符合上式，
故数列
是首项为1，公比为2 的等比数列，
.
（2）
，
时，
，
时有
，
，又
，也符合上式，
所以
，
当
时
，当
时
，
当
时，
，
当
时，
.
故
.
25. 已知数列
的首项为
，且满足
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设数列
的前n 项和为
，求数列
的前
项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】数列求和的其他方法、求等差数列前n 项和、由递推关系证明数列是等差数列
【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明；
（2）由（1）的结果可知
，再分别讨论
为奇、偶的两种情况
的前
项和.
【详解】（1）因为
，
，
若
，则
，与
矛盾，
所以
，所以
，
所以
，因为
，所以
，
所以数列
是以首项为2，公差为4 的等差数列.
（2）由（1）知
，
数列
的前
项和为
，
所以
，
设数列
的前n 项和为
，
当n 为偶数时，
，
因为
，
所以
，
当
为奇数时，
为偶数.
，
所以
六、数列与不等式
26. 已知各项均为正数的数列
的前n 项和为
，
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，求使得
成立的正整数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用an 与sn 关系求通项
或项、数列不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）先利用递推式求得
，然后利用
与
的关系，结合等差数列通项公式
求解即可；
（2）先利用裂项相消法求得
，解不等式可得取值范围．
【详解】（1）由
，且
，可得
，即
，
当
时，由
，可得
，
两式相减可得
，因为
，可得
，
即该数列的奇数项构成以
为首项公差为2 的等差数列，偶数项构成以
为首项公
差为2 的等差数列，
即有
，
可得
；
（2）
，
可得数列
的前
项和
．
则
，即
，
当
时，
成立；当
时，
成立；当
时，
成立，
当
时，
，
综上所述，使得
成立的正整数
的取值范围是
.
27. 已知数列
满足
的前
项和为
.
(1)证明：
为等比数列，并求数列
的通项公式.
(2)记
的前
项和为
.
（i）求
；
（ii）若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)（i）
；（ii）
.
【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、数列
不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）应用等比数列定义证明等比数列，根据通项公式计算求解；
（2）（i）应用错位相减法计算求解；（ii）设新数列
，再根据单调性得
出最小值分奇偶计算求参.
【详解】（1）由
，可得
，
则
，又
，所以
为等比数列，
故
，则
，得
.
（2）（i）由（1）可得
，
因为
，
则
，
得
，
化简得
，
（ii）原不等式化简可得
，
记
，
则
.
记
，知
是关于
的增函数，
其中
.
故
时，
，又
，所以
.
原不等式成立，则存在
，使得
.
则当
为奇数时，此时
，
故
，即
，此时
无解，不等式恒不成立；
当
为偶数时，
即
，
解得
或
，
故
的取值范围为
.
28. 已知数列
满足
，
.
(1)证明：数列
是常数列，并求数列
的通项公式；
(2)设
，
为
的前
项和.
（i）求
；
（ii）若
，
恒成立，求实数
的最大值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)（i）
；（ii）
【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、数学归纳法证明数列问题、数列
不等式恒成立问题
【分析】（1）将
两边同时除以
，令
，利用数学归纳法
证明
，从而可得结果；
（2）（i）由错位相减法计算可得结果；（ii）化简可得
，令
，
计算可得
，分析
为奇数和
为偶数时
的单调性可知当
时，
有最小值，
求出
从而得到
的最大值.
【详解】（1）由题意知
，
令
，则
，
由
，可得
，
所以对任意
，
，即
，
所以数列
是常数列，
所以
.
（2）（i）
，则
，
，
所以
，
所以
.
（ii）由题意知
，即
.
令
，则
，
当
为奇数时，
，所以
单调递减，
当
为偶数时，
，所以
单调递增.
所以当
时，
有最小值，且
，
所以
的最大值为
.
29. 已知数列
的前
项和为
，
，
.
(1)证明数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和；
(3)设
，若对任意正整数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、利用an 与sn 关系求通项
或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）根据等差数列的定义证明
是等差数列，从而得
，进而可求解
；
（2）根据错位相减法求和即可；
（3）确定数列
的单调性得最值，即可得
，解一元二次不等式即可得实
数
的取值范围.
【详解】（1）由
得
，又
，
所以数列
是以
为首项，公差为1 的等差数列
∴
，即
∴当
时，
，
又
不满足上式，所以
；
（2）设
的前n 项和为
，
所以
，
所以
，
两式相减得：
，
所以
，
故数列
的前n 项和为
；
（3）由（1）知
， 则
∴
，
∴当
时，
；
当
时，
，即
所以
的最大值为
，
依题意
，即
，解得
或
，
所以实数
的取值范围是：
.
30. 已知
是等差数列，其前
项和为
，
是等比数列，已知
，
，
，
是
和
的等比中项.
(1)求
和
的通项公式；
(2)对任意的正整数
，设
求数列
的前
项和
.
(3)若
对于
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
(3)
【知识点】数列不等式恒成立问题、错位相减法求和、等比数列通项公式的基本量计算、
等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）利用
及
求出
，再结合
，
是
和
的等比中项可求出
；
（2）利用错位相减法即可求出
；
（3）由题可得
对于
恒成立，令
，当
时，
，当
时，
单调递减，从而可得
.
【详解】（1）由
，
，解得
，
所以
；则
，
由
是
和
的等比中项，则
，解得
，
又由
，所以
，所以
.
（2）由（1）可得
，
则
①，
②，
将两式相减得：
，
解得
；
（3）若
，对于
恒成立，
即
，对于
恒成立，
化简得
对于
恒成立，令
，
则
，当
时，
；
所以当
时，
，
所以当
时，
单调递减，当
时，
，
所以
，所以
，
故实数
的取值范围为
．
七、数列新定义
31. 已知数列
满足：对任意的
，都有
（为常数），则称数列
为“
友好数
列”，特别地，当
时，数列
为“极好数列”.
(1)若数列
的通项公式分别为
，求证：数列
为“
友
好数列”；
(2)若数列
为“极好数列”，
，求数列
的通项公式
；
(3)已知正整数列
为“
友好数列”，数列
为等比数列，且
，求证：
数列
为等差数列.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、等比数列的定义、错位相减法求和、数列新
定义
【分析】（1）根据“
友好数列”以及错位相减求和法证得数列
为“
友好
数列”.
（2）利用退一作差法，结合等比数列的定义求得
.
（3）根据“
友好数列”以及等差数列的定义证得数列
为等差数列.
【详解】（1）因为数列
的通项公式分别为
，
所以
.
设
，
则
，
两式相减，可得
，
所以
.
又
，
所以对任意
，都有
，
所以
为“
友好数列”.
（2）因为
，所以
，
，
，
且
，
所以
，①
当
时，
，②
-
①②得
，即
.
当
时，①可化为
，即
所以
成立，所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
.
（3）因为数列
为“
友好数列”，
所以对任意的
，都有
.
设等比数列
的公比为
，则
.
当
时，可得
，即
.
由
得
或
.
当
时，
.
当
时，
，则
.
当
时，
，则
.
这与
矛盾，所以
不符合题意.
当
时，
，
进而
时，恒有
，①
所以
时，恒有
，②
-
①②可得
.
故数列
为等差数列.
32. 已知数列
的首项
，前
项和为
，若对任意的正整数
，均有
成
立，其中
和
是实数，则称此数列为“
”数列.
(1)若等差数列
是“
”数列，求
的值；
(2)若正项数列
是“
”数列，求数列
的通项公式；
(3)对于给定的
，是否存在三个不同的数列
为“
”数列，且
？若存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【知识点】数列新定义、利用an 与sn 关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、由递
推关系式求通项公式
【分析】（1）根据
可直接得到结果；
（2）根据“
”数列定义可推导得到
，由等比数列通项公式可求得
，根据
与
关系可求得
；
（3）令
，可推导得到
，分别讨论
和
的情况，构造关于
的表达式后结合双勾函数即可求得结果.
【详解】（1）
等差数列
是“
”数列，
，
，
存在
，
.
（2）
正项数列
是“
”数列，
，
，
，即
，
又
，
数列
是以为首项，
为公比的等比数列，
，
当
时，
，
当
时，
不满足
，
.
（3）由“
”数列定义知：
，又
，
，
令
，则
，故
，且
，且
，
，
；
若
，则
恒成立，则
，
若
，则
，
因为存在三个不同的数列
为“
”数列，
故
有解，故
有解且解不为1，
由双勾函数的单调性可得
，
，即实数
的取值范围为
.
33. 已知数列
的前
项和为
，若数列
满足
，则称数列
是“方特数
列”.
(1)证明：数列
是“方特数列”；
(2)若数列
是“方特数列”，求
的取值范围；
(3)证明：当
时，数列
是“方特数列”.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求等比数列前n 项和、错位相减法求和、
数列新定义
【分析】（1）求出
利用“方特数列”的定义即可证明；
（2）分类讨论当
和
时，数列
的前
项和为
，“方特数列”的定
义列出不等式即可求解；
（3）当
时，由（1）知满足条件，当
且
时，利用错位相减法求出数列
的前
项和为
，利用“方特数列”的定义结合导数即可证明.
【详解】（1）当
时，
，
，
∴数列
满足
，即数列
是“方特数列”.
（2）当
时，
，
，满足条件；
当
时，
，
∵数列
是“方特数列”，
∴
，.
∴
，∴
且
，
综上所述，当数列
是“方特数列”时，
的取值范围为
.
（3）当
时，由（1）知满足条件，
当
且
时，
，
，
∴
，
∴
，
，
设
，∴
，
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减，∴
，
∴
，
综上所述，当
时，数列
是“方特数列”.
34. 定义: 对于任意
，满足条件
且
(
是与
无关的常数)
的无穷数列
称为
数列.
(1)若
，证明:数列
是
数列；
(2)设数列
的通项为
，且数列
是
数列，求常数
的取值范围；
(3)设数列
，问数列
是否是
数列？请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)数列
是
数列，理由见解析
【知识点】数列新定义、确定数列中的最大（小）项、判断数列的增减性
【分析】（1）根据题中的新定义代入即可证出.
（2）作差得出数列
的单调性，代入通项
解不等式组，使
即可
求解.
（3）作差求出
恒成立，又得
，再根据题中新定义即可求
解.
【详解】（1）解：（1）由
得
，
所以数列
满足
．
单调递减，
所以当
时，
取得最大值0，即
．
所以，数列
是T 数列．
（2）由
，
得
，
当
，即
时，
，此时数列
单调递增；
而当
时，
，此时数列
单调递减；
因此数列
中的最大项是
，
所以
的取值范围是
．
（3）假设数列
是
数列，依题意有：
，
因为
，所以当且仅当
小于
的最小值时，
对任意
恒成立，
即可得
．
又当
时，
，
，故
，
综上所述：当
且
时，数列
是
数列．
35. 定义:对于任意
，满足条件
且
(
是与
无关的常数)的无穷数列
称为
数列.
(1)若
，试举反例说明数列
不是
数列；
(2)若
，证明:数列
是
数列；
(3)设数列
的通项为
，且数列
是
数列，求常数
的取值范围.
【答案】(1)说明见解析
(2)证明见解析
(3)
【知识点】根据数列的单调性求参数、数列新定义、确定数列中的最大（小）项、判断数
列的增减性
【分析】（1）根据函数的性质，结合新定义的条件，即可判断；
（2）首先计算
，再结合二次函数的最值，即可说明；
（3）首先判断数列
的单调性，再求数列的最值，即可求解
的取值范围.
【详解】（1）数列
，当
时，
，所以不存在
使
，
所以数列
不是
数列；
（2）由
，得
所以数列
满足
.
又
，当
或5 时，
取得最大值
，即
.
综上，数列
是
数列.
（3）因为
，
所以当
即
时，
，此时数列
单调递增
当
时，
，此时数列
单调递减；故数列
的最大项是
，
所以，
的取值范围是
