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第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r
定
方
代数法：由
法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r，r，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
1 2
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r，r d＝|r－r| 0≤d<|r－r|
1 2 1 2 1 2
d> r＋r d＝r＋r |r－r|<d< r＋r
1 2 1 2 1 2 1 2
的关系 (r≠r) (r≠r)
1 2 1 2
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
――→一元二次方程
一．直线与圆的位置关系
例1．（1）直线 与圆 的位置关系是（ ）A．相交且过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
（2）直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为（ ）
A．相交、相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
（3）已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【复习指导】：判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
（4）已知圆 上仅存在一个点到直线 的距离为1，则实数a的值为（ ）
A．-2 B． C．-1 D．0
（5）已知圆 与直线 相切，则（ ）
A． B．
C． ，或 D． ，或
二．圆的切线、弦长问题
命题点1 圆的切线问题
例2．（1）过点 作圆 的切线，则切线方程为（ ）A． B． C． D． 或
（2）与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
（3）从圆 外一点 向圆引切线，则此切线的长是（ ）
A． B．2 C． D．
（4）过点 作圆 的切线交坐标轴于点 、 ，则 _________.
（5）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则 ____________．
（6）已知过点 的直线与圆C： 相切，且与直线 垂直，则实数a的
值为___________.
（7）已知圆 ．求满足下列条件的切线方程．
(i)过点 ；
(ii)过点 ．【复习指导】：求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x，y)在圆上．
0 0
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y 或x＝x.
0 0
(2)点(x，y) 在圆外．
0 0
①设切线方程为y－y＝k(x－x)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
0 0
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
0
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
命题点2 弦长问题
例3．（1）已知圆C的圆心在直线 上，且与直线 相切于点 ，则圆
C被直线 截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
（2）已知直线 与圆 相交于 两点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．5
（3）（多选）已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．过原点的最短弦长为8
D．圆M被y轴截得的弦长为6
（4）设直线 与圆 相交所得弦长为 ，则 _____（5）已知直线 ，直线 过点 且与直线 相互垂直，圆 ，若直
线 与圆C交于M，N两点，则 _________．
【复习指导】：直线与圆相交时的弦长求法
几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题
若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦
代数法
长
设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x，y)，(x，y)，将直线方程代入圆的方程，
1 1 2 2
弦长公式法 消元后利用根与系数的关系得弦长
l＝|x－x|＝
1 2
（6）已知圆心在 轴正半轴上的圆 过原点 ，且与直线 相交所得的弦长为 ，则圆 的标准
方程为__________________.
【复习指导】：(1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
三．圆与圆的位置关系
命题点1 圆与圆的位置关系
例4．（1）圆 与圆 的交点坐标为（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和（2）已知圆 与圆 外切，则实数 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
（3）已知圆 的圆心在直线 上，点 与 都在圆 上，圆 ，
则 与 的位置关系是___________.
【复习指导】：判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关
系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．一般
不采用代数法．
（4）写出一个半径为1，且与圆 和圆 均外切的圆的方程__________．
（5）已知曲线 ，圆 ，当曲线C与圆M有3个公共点时
______
命题点2 圆的公共弦
例5．（1）已知圆 与圆 的公共弦长为2，则m的值为
（ ）A． B． C． D．3
（2）圆 ： 与圆 ： 的公共弦长为________.
【复习指导】：公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定
理求解．
（3）圆 与圆 的公共弦所在直线方程为___________.
【复习指导】：两圆的公共弦问题：
若圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0与圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程
1 1 1 1 2 2 2 2
为(D－D)x＋(E－E)y＋F－F＝0.
1 2 1 2 1 2
即若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
（4）已知圆 与圆 的公共弦经过点M，则 __________．
命题点2 圆的公切线
例6．（1）圆 与圆 的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）（多选）已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，两圆的公切线过点B．若 ，两圆的相交弦长为
C．若两圆的一个交点为 ，分别过点 的两圆的切线相互垂直，则
D．若 时，两圆的位置关系为内含
（3）已知圆 与圆 恰有两条公切线，则实数 的取值范围
________．
（4）写出与圆 和 都相切的一条直线方程____________．
1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
2．当圆 截直线 所得的弦最长时，则m的值为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
3．若直线 与圆 相离，则过点 的直线与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
4．直线 和圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线 与圆 交于 两个不同点，则当弦 最短时，圆
与圆 的位置关系是（ ）
A．内切 B．相离 C．外切 D．相交
7．已知点 在圆 上运动，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线 经过点 ，且 与圆 相切，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．过直线 上的点作圆 的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线 及圆 ，过直线l上任意一点P作圆C的一条切线PA，A
为切点，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．
11．若直线 与圆 相切，则 的值是（ ）
A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12
12．一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线
的斜率为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
13．若曲线y＝ 与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．(1，＋∞) D．(1，3]
14．若直线 与圆 相切，则 （ ）
A． B． C． D．
15．过圆 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，若 ，则
实数 （ ）
A． B． C． D．
16．已知 为圆 内一定点，过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为（ ）A． B．
C． D．
17．已知圆 与圆 只有一个公共点，则 （ ）
A．1 B．4 C．9 D．1或9
18．已知圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 在圆 内
B．若圆 与圆 恰有三条公切线，则
C．直线 与圆 相离
D．圆 关于 对称
19．已知圆 和圆 ，其中 ，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可
以是（ ）
A． B． C． D．
20．已知圆 与圆 交于A，B两点，则四边形 的面积为（ ）
A．12 B．6 C．24 D．
21．圆 与圆 只有一个公共点，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．4或622．在平面直角坐标系中，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ．则直
线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
23．若圆 与圆 的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．圆 与圆 的公共弦长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
25．（多选）已知直线 与圆 ，则（ ）
A．直线 与圆 一定相交 B．直线 过定点
C．圆心 到直线 距离的最大值是 D．使得圆心 到直线 的距离为2的直线 有2条
26．（多选）已知 ，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径 B．点 在圆C的内部C．直线 与圆C相切 D．圆 与圆C相交
27．（多选）已知圆 与直线 ，则（ ）
A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交所截的最短弦长为 D．直线与圆可以相切
28．（多选）已知圆 ，直线 ，点 在直线 上运动，直线 分别于圆
切于点 .则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 的面积最小值为
B． 最短时，弦 长为
C． 最短时，弦 直线方程为
D．直线 过定点
29．过直线 上动点P作圆 的一条切线，切点为A，若使得 的点P
有两个，则实数m的取值范围为___________．
30．直线 与圆 交于A、B两点，且 ，则实数
_______．31．已知直线 ： 与圆 ： 相交于 两点，若 ，则 的值为
________．
32．过点 且与圆 相切的直线的方程是______．
33．从圆 外一点 向圆引切线，则此切线的长为______．
34．已知直线 与曲线 有两个不同的交点，则 的取值范围是________．
35．已知圆 与直线 相切，则 ___________.
36．已知直线 与圆 交于 ， 两点，则 ______.
37．已知抛物线 ，圆 ，直线 与 交于A，B两点，与 交于
M，N两点，若 ，则 ______．38．直线 经过点 ，与圆 相交截得的弦长为 ，则直线 的方程为
________．
39．已知直线 与圆 相交于A、B两点．若 为直角三角形，则 的值为
________．
40．已知圆 与圆 外切，此时直线 被圆 所截的弦长
为__________．
41．圆 ： 和圆 ： 交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是
______.
42．已知圆 和圆 外切，则实数 的值为______．
43．已知圆 ，圆 .
(1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；
(2)若过点 的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
44．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；(2)若 ＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
45．已知圆 经过 和 两点，且圆心在直线 上．
(1)求圆 的方程；
(2)从点 向圆C作切线，求切线方程．
46．已知圆C： ．
(1)若点 ，求过点 的圆 的切线方程；
(2)若点 为圆 的弦 的中点，求直线 的方程．
47．已知圆C： ，直线l： .
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|= 时，求直线l的方程.48．已知半径小于6的圆 过点 ，且圆 与两坐标轴均相切．
(1)求圆 的标准方程；
(2)若圆 与直线 交于 两点，__________，求 的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①： ；条件②： ．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
49．已知点 在圆 上．
(1)求该圆的圆心坐标及半径长；
(2)过点 ，斜率为 的直线 与圆 相交于 两点，求弦 的长．
50．过圆 外一点P（4，2）向圆引切线．
(1)求过点P的圆的切线方程；
(2)若过点P的直线截圆所得的弦长为 ，求该直线的方程；
(3)若过P点引圆的两条切线，切点分别为 、 ，求过切点 、 的直线方程．
