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§1.4 基本不等式
课标要求 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
1.基本不等式：√ab≤a+b
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a = b 时，等号成立.
(3)其中a+b
2 叫做正数a，b 的算术平均数，√ab叫做正数a，b 的几何平均数.
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y 都是正数，如果积xy 等于定值P，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2√P.
(2)已知x，y 都是正数，如果和x+y 等于定值S，那么当x=y 时，积xy 有最大值1
4S 2 .
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤(
a+b
2 )
2
与√ab≤a+b
2
等号成立的条件是相同的.( × )
(2)y=x+1
x 的最小值是2.( × )
(3)若x>0，y>0 且x+y=xy，则xy 的最小值为4.( √ )
(4)函数y=sin x+ 4
sin x ，x∈(0，π
2)的最小值为4.( × )
2.若函数f(x)=x+ 1
x -2(x>2)在x=a 处取最小值，则a 等于( )
A.1+√2
B.1+√3
C.3
D.4
答案 C
解析 当x>2 时，x-2>0，f(x)=(x-2)+ 1
x -2+2≥2√( x -2)·
1
x -2+2=4，当且仅当x-2= 1
x -2(x>2)，即x=3 时，
取等号，即当f(x)取得最小值时x=3，即a=3.
3.已知0<x<1，则x(1-x)的最大值为( )
A.1
4
B.1
8
C. 1
16
D.1
答案 A
解析 因为0<x<1，所以1-x>0，
所以x(1-x)≤(
x +1- x
2 )
2
=1
4 ，
当且仅当x=1-x，即x=1
2时，等号成立，
故x(1-x)的最大值为1
4 .
4.(2025·滨州模拟)已知正数a，b 满足a+b=1，则4
a +1
b的最小值为 .
答案 9
解析 由题意得a>0，b>0 且a+b=1，
所以4
a +1
b=(
4
a + 1
b)(a+b)=5+4 b
a +a
b≥5+2√
4 b
a · a
b =9，
当且仅当4 b
a =a
b，即a=2b=2
3时等号成立.
所以4
a +1
b的最小值为9.
谨防两个易误点
(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等式的条件必
须相同，否则会造成错误.
(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.
题型一 直接法求最值
例1 (1)(多选)(2025·广州模拟)下列代数式中最小值为2 的是( )
A.b
a +a
b
B.2x+2-x
C.y=|sin x|+
1
|sin x|
D.√x
2+2+
1
√x
2+2
答案 BC
解析 选项A 中，当ab<0 时，函数y= b
a+a
b <0，不符合题意；
选项B 中，2x+2-x≥2√2
x·2
- x=2，当且仅当x=0 时，等号成立，满足题意；
选项C 中，在y=|sin x|+
1
|sin x|中，|sin x|>0，所以y=|sin x|+
1
|sin x|≥2√
|sin x|·
1
|sin x|=2，当且仅当|sin x|
=1 时，等号成立，满足题意；
选项D 中，√x
2+2+
1
√x
2+2≥2√
√x
2+2·
1
√x
2+2
=2，当且仅当√x
2+2=
1
√x
2+2时，等号成立，但此方程无
实数解，不符合题意.
(2)(2025·青岛统考)若1≤x≤4，则√(6- x)( x +2)的最大值为( )
A.4
B.√15
C.2√3
D.2
答案 A
解析 因为1≤x≤4，所以6-x>0，x+2>0，
所以√(6- x)( x +2)≤6- x + x +2
2
=4，
当且仅当6-x=x+2，即x=2 时取等号，
所以√(6- x)( x +2)的最大值为4.
思维升华 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式a+b
2
≥√ab 成立的前提
条件为a>0，b>0 ；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上
三点缺一不可.
跟踪训练1 (1)函数y=
3 x
4 x
2-3 x +1(x>0)的最大值为( )
A.-3
B.3
4
C.3
D.1
答案 C
解析 因为x>0，所以y=
3 x
4 x
2-3 x +1=
3
4 x + 1
x -3≤
3
2√4 x· 1
x -3=3，
当且仅当4x=1
x ，即x=1
2时，等号成立，故原函数的最大值为3.
(2)若实数x，y 满足xy=1，则x2+2y2的最小值为( )
A.1
B.√2
C.2
D.2√2
答案 D
解析 由xy=1 得x2+2y2≥2√x
2·2 y
2=2√2，
当且仅当x2=2y2，即x2=√2，y2=√2
2 时等号成立，x2+2y2取得最小值2√2.
题型二 配凑法求最值
例2 (1)已知0<x<√2
2 ，则x√1-2 x
2的最大值为( )
A.√2
2
B.1
2
C.1
4
D.√2
4
答案 D
解析 x√1-2 x
2=√x
2(1-2 x
2)=√
1
2 ·2 x
2·(1-2 x
2)≤√
1
2×2 x
2+1-2 x
2
2
=√2
4 ，
当且仅当2x2=1-2x2，即x=1
2时取等号.
(2)函数f(x)=4x+ 9
x +1，x∈(-1，+∞)的最小值为( )
A.6
B.8
C.10
D.12
答案 B
解析 因为x∈(-1，+∞)，则x+1>0，
则f(x)=4x+ 9
x +1=4(x+1)+ 9
x +1-4
≥2√4( x +1)·
9
x +1-4=12-4=8，
当且仅当{
4( x +1)=
9
x +1 ，
x>-1，
即x=1
2时，等号成立，
故函数f(x)=4x+ 9
x +1，x∈(-1，+∞)的最小值为8.
延伸探究 在例2(2)中，若把“x∈(-1，+∞)”改为“x∈(-∞，-1)”，求f(x)的最大值.
解 ∵x∈(-∞，-1)，
∴x+1<0，∴-(x+1)>0，
∴f(x)=4x+ 9
x +1=4(x+1)+ 9
x +1-4
=-[- 4( x +1)+
9
-( x +1)]-4
≤-2√[- 4( x +1)]·
9
-( x +1) -4
=-2×6-4=-16，
当且仅当-4(x+1)=
9
-( x +1) ，即x=-5
2时取等号.
∴当x=-5
2时，f(x)max=-16.
与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型
如图，
对于函数f(x)=x+k
x ，k>0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，+∞).
(1)当√k∈[a，b]时，f(x)=x+k
x ≥2√k，f(x)min=f(√k)=√k+ k
√k =2√k；
(2)当√k<a 时，f(x)=x+k
x 在区间[a，b]上单调递增，f(x)min=f(a)=a+k
a；
(3)当√k>b 时，f(x)=x+k
x 在区间[a，b]上单调递减，f(x)min=f(b)=b+k
b .
因此，只有当√k∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当√k∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最
值.
典例 函数f(x)=x2+
3
x
2+2的最小值是 .
答案 3
2
解析 由f(x)=x2+
3
x
2+2=x2+2+
3
x
2+2-2，
令x2+2=t(t≥2)，则有f(t)=t+3
t -2，
由对勾函数的性质知，f(t)在[2，+∞)上单调递增，所以当t=2 时，f(t)min=3
2，
即当x=0 时，f(x)min=3
2.
思维升华 配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不
等式求解最值.
跟踪训练2 (1)(2024·哈尔滨模拟)已知x<0，y<0，且2x+y=-2，则4x+2y的最小值为( )
A.1
B.√2
C.2
D.2√2
答案 A
解析 因为x<0，y<0，所以4x+2y=22x+2y≥2√2
2 x·2
y=2√2
2 x + y=1，当且仅当22x=2y，即2x=y=-1 时，等号成
立，所以4x+2y的最小值为1.
(2)(2025·海口模拟)设x<2，则关于函数y=2x-1+ 2
x -2，下列说法正确的是( )
A.最小值为7
B.最小值为-1
C.最大值为7
D.最大值为-1
答案 D
解析 因为x<2，所以2-x>0，
所以y=2x-1+ 2
x -2=2(x-2)+ 2
x -2+3=-[2(2- x)+
2
2- x]+3，
因为2(2-x)+ 2
2- x ≥2√2(2- x)·
2
2- x =4，
当且仅当2(2-x)= 2
2- x ，即x=1 时等号成立，
故-[2(2- x)+
2
2- x]+3≤-4+3=-1，
所以函数y=2x-1+ 2
x -2有最大值为-1.
题型三 常数代换法求最值
例3 (1)已知正数x，y 满足x+8y=xy，则x+2y 的最小值是( )
A.6
B.16
C.20
D.18
答案 D
解析 因为正数x，y 满足x+8y=xy，即8
x + 1
y =1，
则x+2y=(x+2y)(
8
x + 1
y)=10+16 y
x
+ x
y ≥10+2√
16 y
x
· x
y =18，
当且仅当16 y
x
= x
y ，即x=12，y=3 时等号成立.
(2)(2025·无锡模拟)已知x，y 均为正实数，且1
x +2+ 1
y +3=1
6，则x+y 的最小值为( )
A.1
6
B.1
C.19
D.24
答案 C
解析 因为x，y 均为正实数，且1
x +2+ 1
y +3=1
6，
则x+y=(x+2)+(y+3)-5=6(
1
x +2 +
1
y +3)[(x+2)+(y+3)]-5
=6(2+ y +3
x +2 + x +2
y +3)-5，因为y +3
x +2 >0，x +2
y +3>0，
所以6(2+ y +3
x +2 + x +2
y +3)-5
≥6(2√
y +3
x +2 · x +2
y +3 +2)-5=19，
即x+y≥19，当且仅当{
y +3
x +2 = x +2
y +3 ，
1
x +2 +
1
y +3 = 1
6 ，
即{
x =10，
y =9
时，等号成立.
所以x+y 的最小值为19.
思维升华 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不
等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
跟踪训练3 (多选)已知a，b 为正实数，且a>1，b>1，(a-1)(b-1)=1，则下列结论正确的是( )
A.1
a+1
b=1
B.ab 的最大值为4
C.2a+b 的最小值为3+2√2
D. 1
a-1+ 1
b-1的最小值为2
答案 ACD
解析 因为a>1，b>1，所以a-1>0，b-1>0.
对于A，因为(a-1)(b-1)=1，所以ab=a+b，得1
a+1
b=1，A 正确；
对于B，因为ab=a+b≥2√ab(当且仅当a=b=2 时取等号)，所以√ab≥2，ab≥4，
所以ab 的最小值为4，B 错误；
对于C，(2a+b)(
1
a + 1
b)=3+2a
b +b
a≥3+2√
2a
b · b
a=3+2√2(当且仅当a=1+√2
2 ，b=1+√2时取等号)，C 正确；
对于D，因为(a-1)(b-1)=1，所以1
a-1+ 1
b-1≥2√
1
(a-1)(b-1)=2(当且仅当a=b=2 时取等号)，D 正确.
题型四 构造不等式法求最值
例4 (多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab=a+b+8，则下列结论正确的是( )
A.a+b≤8
B.ab≥16
C.a2+b2≥32
D.a+3b≥4+6√3
答案 BCD
解析 对于选项A，由a+b+8=ab≤(
a+b
2 )
2
，当且仅当a=b 时等号成立，不妨设a+b=t，
则t2-4t-32≥0，
解得t≥8 或t≤-4，
因为a>0，b>0，则a+b≥8，故A 项错误；
对于选项B，由ab-8=a+b≥2√ab，
当且仅当a=b 时等号成立，
不妨设√ab=s，则s2-2s-8≥0，
解得s≥4 或s≤-2，
因为s>0，则s≥4，
即ab≥16，故B 项正确；
对于选项C，a2+b2≥2ab，又由B 项知ab≥16，所以a2+b2≥2ab≥32，当且仅当a=b 时等号成立，故C 项
正确；
对于选项D，由ab=a+b+8 可得a(b-1)=b+8，则b-1>0，且a=b+8
b-1，则a+3b=b+8
b-1+3b=1+ 9
b-1+3b=4+ 9
b-1
+3(b-1)≥4+2√27=4+6√3，当且仅当9
b-1=3(b-1)时取等号，即b=√3+1，a=3√3+1 时，a+3b 有最小值4+6
√3，故D 项正确.
思维升华 若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求最值.
跟踪训练4 若实数x，y 满足x2+y2-xy=1，则x2+y2的最大值为 ，x+y 的最大值为
.
答案 2 2
解析 x2+y2-xy=1 可变形为(x2+y2)-1=xy≤x
2+ y
2
2
，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1 时取等号，所以x2+y2的
最大值为2；
x2+y2-xy=1 可变形为(x+y)2-1=3xy≤3(
x + y
2 )
2
，解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=1 时右边取等号，所以x+y
的最大值为2.
课时精练
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.已知m>0，n>0，mn=81，则m+n 的最小值是( )
A.9
B.18
C.9√3
D.27
答案 B
解析 因为m>0，n>0，
由基本不等式m+n≥2√mn得，
m+n≥18，当且仅当m=n=9 时，等号成立，
所以m+n 的最小值是18.
2.(2025·滨州模拟)已知a2+b2=5，则4
a
2+ 1
b
2的最小值为( )
A.9
B.7
C.9
5
D.7
5
答案 C
解析 因为a2+b2=5，所以4
a
2+ 1
b
2=(
4
a
2 + 1
b
2)(a2+b2)×1
5=1
5(4 + 4 b
2
a
2 + a
2
b
2 +1)≥1
5(5+2√
4 b
2
a
2 · a
2
b
2)=9
5，
当且仅当4 b
2
a
2 =a
2
b
2且a2+b2=5，
即b2=5
3，a2=10
3 时，等号成立，所以4
a
2+ 1
b
2的最小值为9
5.
3.函数f(x)= x
2+ x +1
x -1
(x>1)的最小值为( )
A.2√3
B.3+2√3
C.2+2√2
D.5
答案 B
解析 因为x>1，所以x-1>0，
所以f(x)= x
2+ x +1
x -1
=( x -1)
2+3( x -1)+3
x -1
=(x-1)+ 3
x -1+3≥2√( x -1)·
3
x -1+3=2√3+3，
当且仅当x-1= 3
x -1，
即x=√3+1 时取等号，
所以函数f(x)= x
2+ x +1
x -1
(x>1)的
最小值为3+2√3.
4.(2024·漯河模拟)设正实数x，y，z 满足x2-xy+y2-z=0，则xy
z 的最大值为( )
A.4
B.2
C.3
D.1
答案 D
解析 因为正实数x，y，z 满足x2-xy+y2-z=0，则z=x2+y2-xy，
所以xy
z =
xy
x
2+ y
2- xy =
1
x
y + y
x -1≤
1
2√
x
y · y
x -1=1，
当且仅当x
y = y
x (x>0，y>0)，即x=y 时，等号成立，故xy
z 的最大值为1.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.下列说法正确的是( )
A.函数y=ln x+ 4
ln x 的最小值是4
B.函数y=x+4
x (x<0)的最大值是-4
C.函数y= x
2+10
√x
2+9
的最小值是2
D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8
答案 BD
解析 A 选项，由于ln x 可能小于0，即y=ln x+ 4
ln x 的函数值可能为负值，故其最小值为4 不成立，故A
错误；
B 选项，对于函数y=x+4
x (x<0)，
x+4
x =-[(- x)+ 4
- x ]≤-2√(- x)· 4
- x
=-4，当且仅当-x= 4
- x ，即x=-2 时等号成立，故B 正确；
C 选项，y= x
2+10
√x
2+9
=√x
2+9+
1
√x
2+9≥2√
√x
2+9·
1
√x
2+9
=2，但√x
2+9=
1
√x
2+9无实数解，所以等号不成立，
所以最小值为2 不成立，故C 错误；
D 选项，由基本不等式得x
2+ y
2
2
≥(
x + y
2 )
2
，所以x2+y2≥2(
x + y
2 )
2
=2×22=8，当且仅当x=y=2 时等号成立，
故D 正确.
6.(2024·重庆统考)已知x，y 都为正数，且x+2y=4，则下列说法正确的是( )
A.2xy 的最大值为4
B.x2+4y2的最小值为12
C. 2
y +1
x 的最小值为9
4
D.√x+√2 y的最大值为2√2
答案 ACD
解析 由题意知正数x，y 满足x+2y=4.
对于A，2xy=x·2y≤(
x +2 y
2 )
2
=4，当且仅当x=2y=2 时取等号，A 正确；
对于B，x2+4y2=( x +2 y)
2+( x -2 y)
2
2
≥1
2(x+2y)2=8，当且仅当x=2y=2 时取等号，B 错误；
对于C，2
y +1
x =1
4 (x+2y)(
2
y + 1
x)=1
4(5+ 2 x
y + 2 y
x )≥9
4 ，当且仅当x=y=4
3 时取等号，C 正确；
对于D，√x+√2 y=√x +2 y +2√x·2 y≤√4 + x +2 y=2√2，当且仅当x=2y=2 时取等号，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.设x>2，则函数y=4x-1+ 4
x -2的最小值为 .
答案 15
解析 因为x>2，所以x-2>0，
所以y=4x-1+ 4
x -2=4(x-2)+ 4
x -2+7≥2√4( x -2)·
4
x -2+7=15，
当且仅当4(x-2)= 4
x -2，即x=3 时等号成立，
所以函数y=4x-1+ 4
x -2的最小值为15.
8.已知实数x，y 满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y 的最小值是 .
答案 2√2
3
解析 因为实数x，y 满足3xy+y2=1，y>0，
所以x=1- y
2
3 y ，
则2x+y=2-2 y
2
3 y
+y= 2
3 y + y
3
≥2√
2
3 y · y
3 =2√2
3 ，
当且仅当2
3 y = y
3 ，即y=√2时，等号成立，
所以2x+y 的最小值是2√2
3
.
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求：
(1)xy 的最大值；(6 分)
(2)2x+y 的最小值.(7 分)
解 (1)因为x>0，y>0，
根据基本不等式，30=x+2y+xy≥2√2 xy+xy(当且仅当x=2y=6 时取等号)，
令√xy=t(t>0)，则t2+2√2t-30≤0，
解得-5√2≤t≤3√2，又t>0，
所以0<t≤3√2，即0<√xy≤3√2，
所以0<xy≤18，故xy 的最大值为18.
(2)由x+2y+xy=30 可知，y=30- x
2+ x >0，0<x<30，2x+y=2x+30- x
2+ x =2(x+2)+ 32
2+ x -5≥2√2( x +2)· 32
2+ x -5=11，
当且仅当2(x+2)= 32
2+ x ，即x=2 时取等号，
所以2x+y 的最小值为11.
10.(15 分)已知x，y 都是正数.
(1)若2x+3y=3，求xy 的最大值；(7 分)
(2)若
1
x - y + 1
2 y =2，且x>y，求x+y 的最小值.(8 分)
解 (1)因为x，y 都是正数，
则2x+3y≥2√2 x·3 y=2√6 xy，
即2√6 xy≤3，
解得xy≤3
8，当且仅当2x=3y，
即{
x = 3
4 ，
y = 1
2
时取等号，
所以xy 的最大值为3
8.
(2)已知x，y 都是正数，且x>y，
令x-y=m，2y=n，
所以m>0，n>0，1
m+1
n=2，
所以x+y=m+n=(m+n)·1
2(
1
m + 1
n)
=1
2(2+ n
m + m
n)≥1
2×(2+2)=2，
当且仅当m=n=1，即x=3
2，y=1
2时，取等号，所以x+y 的最小值为2.
每小题5 分，共10 分
11.正数a，b 满足a>b，ab=4，则a
3+b
3
a
2-b
2的最小值为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
答案 C
解析 由题意得a>0，b>0，a-b>0，则a
3+b
3
a
2-b
2=a
2+b
2-ab
a-b
=(a-b)
2+ 4
a-b
=a-b+ 4
a-b≥2√(a-b)·
4
a-b=4，
当且仅当a-b=2 且ab=4，即a=√5+1，b=√5-1 时，等号成立.
12.(2024·山东济南实验中学模拟)已知x，y 为正实数，且x+y=1，则x +6 y +3
xy
的最小值为( )
A.24
B.25
C.6+4√2
D.6√2-3
答案 B
解析 因为x，y 为正实数，且x+y=1，
所以x +6 y +3
xy
= x +6 y +3( x + y)
xy
=4 x +9 y
xy
=9
x + 4
y =(
9
x + 4
y)(x+y)=13+9 y
x +4 x
y ≥13+2√
9 y
x · 4 x
y =25，
当且仅当{
9 y
x = 4 x
y ，
x + y =1，
即{
x = 3
5 ，
y = 2
5
时，等号成立，
所以x +6 y +3
xy
的最小值为25.
