文档文本内容
第六章数列
§6.5 数列求和
【考情分析·探规律】
考点
3 年考情（2021-2024）
命题趋势
数列求和
2024·全国甲卷、2024·天津
2023·北京卷、2023·全国甲卷
2023·新课标Ⅱ卷、2022·天津
2022·全国新Ⅱ卷、2022·新高考全国Ⅰ卷
2021·全国新Ⅰ卷、2021·浙江卷
2021·全国新Ⅱ卷
熟练掌握裂项相消求
和和错位相减求和，该内容
是新高考卷的常考内容，常
考查裂项相消求和、错位相
减求和、奇偶并项求和，需
重点综合复习。
【知识梳理】
1.数列求和的几种常用方法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和.
①等差数列的前n 项和公式：
Sn＝n(a1＋an)
2
＝na1＋n(n−1)
2
d.
②等比数列的前n 项和公式：
Sn＝{
na1,q＝1,
a1(1−q
n)
1−q
＝a1−anq
1−q
,q≠1.
(2)分组求和法与并项求和法
①分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可
用分组求和法，分别求和后相加减.
②并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－
1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，
那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此
法推导的.
(4)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得
其和.
常见的裂项技巧
①
1
n(n＋1) ＝1
n －
1
n＋1.
②
1
n(n＋2) ＝1
2(
1
n −
1
n＋2).
③
1
(2n−1)(2n＋1) ＝1
2(
1
2n−1 −
1
2n＋1).
④
1
❑√n＋❑√n＋1 ＝❑√n＋1－❑√n.
⑤
1
n(n＋1)(n＋2) ＝1
2[
1
n(n＋1) −
1
(n＋1)(n＋2)].
【名师点拨】
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2.12＋22＋…＋n2＝.
3.裂项求和常用的三种变形
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
【随堂练习】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和Sn＝.( )
(2)当n≥2 时，＝.( )
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减
法求和.( )
(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3 的等比数列，则数列{an}的通
项公式是an＝.( )
2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋an＋1＝(－1)n，则数列{an}前2 025 项和为( )
A.－1 011
B.－1 012
C.1 013
D.1 014
3.Sn＝1
2 ＋1
2 ＋3
8＋…＋n
2
n等于( )
A.2
n−n−1
2
n
B.2
n＋1−n−2
2
n
C.2
n−n＋1
2
n
D.2
n＋1−n＋2
2
n
4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋
1
n(n＋1)，则通项公式an＝ .
【必练核心题型】
题型一 分组求和与并项求和
【典例】1.设数列{an}的前n 项和为Sn，数列{an}满足an＋2＝{
an＋2,n 为偶数,
2an,n 为奇数, 且
a1＝2，a2＝1，则S20等于( )
A.1 023
B.1 124
C.2 146
D.2 145
【典例】2.已知数列{an}是等差数列，a1＝tan 225°，a5＝13a1，设Sn为数列{(－
1)nan}的前n 项和，则S2 026等于( )
A.2 026
B.－2 026
C.3 039
D.－3 039
【变式训练】
变式1.已知数列{an}满足an＝2×(－2)n－1＋n－2.求数列{an}的前n 项和Sn.
题型二 裂项相消法求和
【典例】1.已知数列{an}的前n 项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log2a2n－1，cn＝
1
bnbn＋1，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1
2.
【变式训练】
变式1.(2025·安顺模拟)记Sn为数列{an}的前n 项和，已知a1＝1，且∀n∈N*，anSn
＋1－an＋1Sn＝anan＋1
2
.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝n
2＋n＋1
anan＋1
，{bn}的前n 项和为Tn，求Tn的最小值.
题型三 错位相减法求和
【典例】1.(2025·贵阳模拟)已知数列{an}满足an＋1＝1
3an＋(
1
3)
n＋1
，且a1＝－2
3.设
{an}的前n 项和为Tn，bn＝3n·an.
(1)证明：{bn}是等差数列；
(2)求Tn.
【变式训练】
变式1.已知数列{an}满足a1＝5
2，且an＝
4 an−1−1
an−1＋2 (n∈N*，且n≥2).
(1)设bn＝
1
an−1，求证：数列{bn}是等差数列；
(2)记cn＝(n＋1)·3n·an，求数列{cn}的前n 项和Sn.
【限时训练】（限时：60 分钟）
1.(12 分)(2025·南通模拟)设数列{an}的前n 项和为Sn，若Sn－1
2an＝n2＋1，n∈N*.
(1)求a1，a2，并证明：数列{an＋an＋1}是等差数列；(6 分)
(2)求S20.(6 分)
2.(12 分)已知数列{an}满足a1＝10，an＋1＝3an－2.
(1)求{an}的通项公式；(5 分)
(2)若bn＝
an−1
(an＋2)an
，记数列{bn}的前n 项和为Tn，求证：Tn<1
8.(7 分)
3.(13 分)已知数列{an}的首项a1＝a(a≠0)，前n 项和为Sn，且满足Sn＋1－Sn＝
5an
4 an＋1
(n∈N*).
(1)判断数列{
1
an
−1}是否为等比数列；(6 分)
(2)若a1＝5
6，记数列{
n
an}的前n 项和为Tn，求Tn.(7 分)
【尖子生加餐特训】
4.(13 分)已知在数列{an}中，a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；(6 分)
(2)若数列{bn}满足bn＝sin(
π
2 an＋1)＋cos(πan)，求数列{bn}的前2 026 项和T2 026.(7 分)
