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第 09 讲 函数模型及其应用 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·广东深圳·高一校考期末）地震时释放出的能量 (单位：焦耳)与地震里氏震
级 之间的关系为： ． 年 月 日，我国汶川发生了里氏 级地震，
它所释放出来的能量是 年 月 日甘肃积石山发生的里氏 级地震的多少倍?(参
考： )（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先表示出能量和地震里氏震级的函数关系，结合指数运算进行求解即可.
【详解】由 可得 ，
里氏 级地震释放的能量为 ，里氏 级地震释放的能量为 ，
.
故选：C.
2．（2024上·宁夏石嘴山·高一统考期末）根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合
的是（ ）
1 2 3 4
14 20 29 43
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用一次函数指对函数及反比例函数的单调性判断即可
【详解】由图表可知：随x增大y增大，且增长越来越快，故排除A,B,D.
故选：C
3．（2024上·广西柳州·高一鹿寨县鹿寨中学校联考期末）加快县域范围内农业转移人口市
名化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点．某高二数学兴趣小组，通
过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以 的增长率递增，若要据此预测该
县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为（ ）
A．B． 且
C．
D． 且
【答案】B
【分析】由题意可得该县区城区常住人口 与年份 的函数关系为指数型函数，即可得解.
【详解】由题意可知，该县城区常住人口每年大约以 的增长率递增，
则该县区城区常住人口 与年份 的函数关系为指数型函数.
故选：B.
4．（2024上·广东·高三校联考阶段练习）碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活
体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消
失．已知碳14的半衰期为 年，即生物死亡 年后，碳14所剩质量 ，
其中 为活体组织中碳14的质量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代，
2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的 倍，依据计算结果可推断该
生物死亡的时间约为公元前（参考数据： ）
A． 年 B． 年 C． 年 D． 年
【答案】A
【分析】根据已知代入数据，根据指数与对数的运算式化简运算.
【详解】由题意知 ，所以 ，
所以 ，
所以可推断该生物死亡的时间约为公元前 年,
故选：A．
5．（2024·全国·高三专题练习）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应
根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公
式为 和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为 计算确定，其中P为水
雾喷头的工作压力（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提
供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位： ）．水
雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头
的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象
的保护面积S为 ，保护对象的设计喷雾强度W为 时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（参考数据： ）（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】把给定的数据代入公式计算即可作答.
【详解】依题意， ， ， ， ，
由 ， ，得 ，
所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个.
故选：C
6．（2024上·福建龙岩·高一校联考期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一
种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函
数解析式可以简化为 的形式．已知
描述的是一种植物的高度随着时间 （单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1
米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（ ）年．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由题设有 ，即可求参数 、 的值，进而判断 的单调性且
，即可判断植物的高度超过 至少需要多少年.
【详解】依题意可得 ，则 ，解得 ，
∴ ，
因为 在定义域 上单调递减，且 ，又 在 上单调递
减，
所以 在 上单调递增，而 ， ，
即 ，
∴该植物的高度超过 ，至少需要 年.
故选：C.
7．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）中国茶文化博大精
深，茶水的口感与茶叶类型和水温经有关研究可知：在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过 后茶水的温度为 ，且 ，当茶水温度降
至70℃时，此时茶水泡制时间大约为（ ）（结果保留整数，参考数据： ，
， ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当 时，求得 ，当 时，求出 值.
【详解】当 时， ，则 ，
令 ，∴ ，
，解得 ．
故选：B
8．（2024上·浙江金华·高一统考期末）某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量
不超过20%后才能排放．过滤过程中废弃的污染物含量 （单位： ）与时间 （单
位： ）之间的关系为 ，其中 是原有废气的污染物含量（单位： ），
是正常数．若在前 消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过（答案取整数）
（ ）
参考数据： ， ， ，
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意列出方程和不等式即可求解.
【详解】由题有 ，设 小时后污染物含量不超过 ，
则 ，解得 ，即至少经过29小时能达到排放标准.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·全国·高一专题练习）几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，
生产此产品获得的月利润 （单位：万元）与每月投入的研发经费 （单位：万元）有
关．当每月投入的研发经费不高于 万元时， ，研发利润率
．他们现在已投入研发经费 万元，则下列判断正确的是（ ）
A．投入 万元研发经费可以获得最大利润率
B．要再投入 万元研发经费才能获得最大月利润
C．要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费 万元D．要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费 万元
【答案】BC
【分析】根据二次函数性质可判断最大月利润，再根据基本不等式可判断最大利润率.
【详解】由 ，所以当投入 万元时，月利润最大，
所以需再投入 万元研发经费，B选项正确，D选项错误；
研发利润率 ，
又 ，当且仅当 ，即 时，利润率最大，所以需再投入研发
经费 万元，可获得最大利润率，A选项错误，C选项正确；
故选：BC.
10．（2024·河南郑州·统考一模）溶液酸碱度是通过 来计量的． 的计算公式为
，其中 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离
子的浓度为 摩尔/升，则纯净水的 是7．当 时，溶液呈酸性，当 时，
溶液呈碱性，当 （例如：纯净水）时，溶液呈中性．我国规定饮用水的 值在
之间，则下列选项正确的是（ ）（参考数据：取 ）
A．若苏打水的 是8，则苏打水中的氢离子浓度为 摩尔/升
B．若胃酸中氢离子的浓度为 摩尔/升，则胃酸的 是
C．若海水的氢离子浓度是纯净水的 倍，则海水的 是
D．若某种水中氢离子的浓度为 摩尔/升，则该种水适合饮用
【答案】ABC
【分析】利用 的计算公式 可得A正确，将溶液中氢离子的浓度代入计算
式利用参考数据可分别求得选项BCD的 值，可得结论.
【详解】对于A，若苏打水的 是8，即 ，所以 ，
即苏打水中的氢离子浓度为 摩尔/升，所以A正确；
对于B，若胃酸中氢离子的浓度为 摩尔/升，则
，即B正确；
对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的 倍，则海水的氢离子浓度是
，
因此 ，即海水的 是 ，所以C正确；对于D，若某种水中氢离子的浓度为 摩尔/升，则
；
而 不在 范围内，即可得该种水不适合饮用，即D错误；
故选：ABC
三、填空题
11．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某
物质上的细菌的 ，要使该物质上的细菌少于原来的 ，则至少要喷洒 次
【答案】
【分析】可设喷洒 次，根据题意可得出 ，代入 即可求出 ，从而得出答
案．
【详解】设喷洒 次，则： ，
，
，且 ，
，
，即至少喷洒 次．
故答案为：
12．（2024上·广东佛山·高一统考期末）表观活化能的概念最早是针对Arrhenius（阿伦尼
乌斯）公式 中的参量 提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能，
Arrhenius公式中的k为反应速率常数， 为摩尔气体常量， 为热力学温度（单位为开尔
文，简称开）， 为阿伦尼乌斯常数．已知某化学反应的温度每增加 开，反应速
率常数 变为原来的 倍，则当温度从 开上升到 开时， = ．（参考数据：
）
【答案】
【分析】由 ，结合某化学反应的温度每增加 开，反应速率常数 变为原来的
倍，得到温度从 开上升到 开时，反应速率常数 变为原来的 倍，列式计算，即
可求解.
【详解】根据题意，温度每增加 开，反应速率常数 变为原来的 倍，
则当温度从 开上升到 开时，反应速率常数 变为 开时的 倍，由 ，
当 开， ，
当 开， ，
所以 ，
，
，
，
，
，
故答案为： .
四、解答题
13．（2024下·河北·高一河北郑口中学校考开学考试）人们对声音有不同的感觉，这与它
的强度有关系．声音的强度I用瓦/平方米表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平
表示，它们满足公式 （单位为分贝， ，其中 ，这是人们平均
能听到的声音的最小强度，是听觉的开端）．
(1)手表指针转动的声音强度是 ，耳语的强度是 ，静音电风扇的强
度是 ，试分别求出它们的强度水平；
(2)某品牌轿车在安全行车速度内能保证车内噪音的强度水平保持在60分贝以下，试求其声
音强度I的范围．
【答案】(1)10分贝，20分贝，40分贝
(2)
【分析】（1）根据声音的强度水平 与声音的强度I之间的关系式，代入求值，即得答
案；
（2）根据声音的强度水平 与声音的强度I之间的关系式，列出不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得手表指针转动的声音强度是 ，
则其强度水平为 （分贝），耳语的强度是 ，则其强度水平为 （分贝），
静音电风扇的强度是 ，则其强度水平为 （分
贝）；
（2）由题意可知某品牌轿车在安全行车速度内能保证车内噪音的强度水平保持在60分贝
以下，
即 ，即 ，
故 ，则 ，
故该品牌轿车声音强度I的范围为 .
14．（2024上·河北沧州·高一统考期末）中国信通院近期公布的最新数据显示，2023年9
月，国内手机出货量同比增长近六成，多个市场咨询报告也显示，国内手机市场在逐渐回
暖．新一波“换机潮”即将到来，主要原因是今年秋季多个市场品牌发布旗舰机型，受到
不少消费者的青睐，市场大卖．某手机生产厂家看到了商机，为了进一步增加市场竞争
力，计划2024年利用更先进的技术生产某款高端手机，通过市场分析，生产此款手机全年
需投入固定成本360万元，预售价每部1.5万元，且最多生产8万部，若每生产x千部手
机，需另投入成本 万元， （全年内生产的手机当年
能全部销售完）
(1)求2024年的利润 （万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；（利润=销售额-成
本）
(2)2024年此款手机产量为多少部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)此款手机产量为8万部时，企业所获利润最大，最大利润是23520万元
【分析】（1）根据利润与销售额、成本的关系列出解析式，代入分段函数，即得利润
的函数关系式；
（2）就（1）中得到的利润 的分段函数式，分段求出每段函数的最大值，进行比较后
即得.
【详解】（1）当 时，；
当 时． ，
所以
（2）当 时． ，
则 （万元）；
当 时． 单调递增，
所以 （万元），
因为 ，
所以2024年此款手机产量为8万部时，企业所获利润最大，最大利润是23520万元．
B能力提升
1．（2024上·湖北荆门·高一统考期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的
热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速 .经多次测试得
到，该汽车每小时耗电量 （单位： ）与速度 （单位： ）的下列数据：
0 10 40 60
0 1325 4400 7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
， ， .
(1)当 时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数
解析式；
(2)现有一辆同型号汽车从 地驶到 地，前一段是 的国道，后一段是 的高速
路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量 （单位： ）与速度的关系是：
（ ），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多
少？
【答案】(1)选择 ，
(2)当这辆车在国道上的行驶速度为 ，在高速路上的行驶速度为 时，该车从
地到 地的总耗电量最少，最少为 .【分析】（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析
式.
（2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）对于 ，当 时，它无意义，所以不合题意；
对于 ，它显然是个减函数，这与 矛盾；
故选择 .
根据提供的数据，有 ，解得 ，
当 时， .
（2）国道路段长为 ，所用时间为 ，所耗电量为:
，
因为 ，当 时， ；
高速路段长为 ，所用时间为 ，
所耗电量为
，
当且仅当 即 时等号成立.
所以 ：
故当这辆车在国道上的行驶速度为 ，在高速路上的行驶速度为 时，
该车从 地到 地的总耗电量最少，最少为 .
2．（2024上·安徽淮南·高一深圳市高级中学校联考期末）甲、乙两个课外兴趣小组分别对
本地某一蔬菜交易市场的一种蔬菜价格进行追踪.
(1)甲小组得出该种蓅菜在1-8月份的价格P（元/kg）与月份t近似满足关系
，月交易是Q（单位：吨）与月份t近似满足关系 ，求月交易额y（万元）
与月份t的函数关系式.并估计1-8月份中第几个月的月交易额最大；(2)乙小组通过追踪得到该种疏菜上市初期和后期因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中
期又出现供大于求使价格连续下跌.现有三种函数模拟价格 （单位：元 ）与月价x
之间的函数关系：① （ ，且 ）；② ；③
.
①为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数?并说明理由；
②若 ， ，求出所选函数 的解析式（注：函数的定义域是 ，其
中 表示1月份， 表示2月份，…，以此类推），并估计价格在5元/kg以下的月份
有几个.
【答案】(1) ；4月
(2)①应选③，理由见解析；② ，估计有4个月价格在5元/kg以下
【分析】（1）求出关于 的解析式即可求解；
（2）①根据各函数的性质即可求解；②先求出 ，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由题意得： ，
所以 ，
当 时，根据二次函数的性质得 时取最大月交易额为 万元，
当 时，同理可得 时取得最大月交易额为 万元，
所以估计 月的月交易额最大；
（2）①①函数 是单调函数，不符合题意，
②二次函数 的的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，
不符合题意，
③当 时，函数 在 上的图象时下降的，
在 上的图象是上升的，在 上的图象是下降的，
满足条件，应选：③；
②因为 ， ，
所以 ，所以 ， ，所以 ，令 ，
所以 ， ，
由一次函数图象易知 时价格在5元/kg以下，
即 月、 月、 月、 月价格在5元/kg以下,
所以有 个月价格在5元/kg以下.
3．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周
公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化
中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和
礼貌．立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一
杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为100℃，经过1分钟测得其温度变为
80℃，再经过1分钟测得其温度变为65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度y（单
位：℃）随经过的时间t（单位：分钟）的函数关系式，选用了两种函数模型：
① （ 为常数， 且 ）；
② （ 为常数， ）．
(1)请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型；
(2)现代研究结果显示，饮茶温度不要超过60℃，请利用（1）中选出的模型该杯茶泡好后
到适宜饮用至少需要等待多长时间？（参考数据： ）
【答案】(1)
(2)2.5分钟
【分析】（1）分别代入 得到函数模型，结合生活实际进行判断即可；
（2）根据（1）求出的函数模型解不等式即可.
【详解】（1）若选用①，根据条件可得 ，解得 ，
所以 ．
此时， 随着 的增大而减小，符合生活实际；若选用②，根据条件可得 ，解得 ，
所以 ．
又 ，当 时， 随着 的增大而增大，不符合生活实
际，应舍去．
所以该函数模型为 ．
（2）由（1），令 ，
于是 ，两边取常用对数得 ，又 ，
故 ，
所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟．
4．（2024上·福建三明·高一统考期末）某地区不同身高 未成年男性体重平均值
如下表：
身高
80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重 10 12 15 17 20 27 31 45 50 67
根据表中数据及散点图，为了能近似地反映该
地区未成年男性平均体重 与身高 的关系，现有以下三种模型提供选择：
① ，② ，③(1)你认为最符合实际的函数模型是哪个（说明理由）？并利用 ， ，
这三组数据求出此函数模型的解析式；
(2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏
瘦，那么该地区一名身高为164cm，体重为62kg的未成年男性的体重是否正常？
（参考数据： ）
【答案】(1)选择模型① ，理由见解析，
(2)正常
【分析】（1）根据散点图和表中的数据特征确定应选择模型①，代入三组值，解一个三元
方程组即得函数模型的解析式；
（2）依题意，根据该男性的身高代入解析式算出对应的体重平均值，结合其实际体重与平
均体重的比值进行判断即可.
【详解】（1）选择模型① ，因为体重 随着身高 的增大而增大，并且增长的
速度越来越快，属于指数爆炸性增长模型．
把 ， ， 这三组数据分别代入 ，
可得（Ⅰ） 消去 ，可得： （Ⅱ） 将两式相除可得：
，
将其代入（Ⅰ）式，可得： 解得： ，故 ．
（2）由（1）得 ，
所以，当 时 ，
由 可得： ，所以 ，
所以 ，
因 ，
故该未成年男性的体重正常．
