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专题 01 集合与常用逻辑用语（十大题型七大易错题）
【题型1 集合的含义和表示】
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则下列表示正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令 分别为选项中不同值，求出 的值进行判定.
【详解】当 时， ，所以 ，故A正确；
当 时， ，所以 ，故B错误；
当 或 时， ，所以 ，故C错误；
当 时， ，所以 ，故D错误.
故选：A
2．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．0 B．2 C． D．0或2
【答案】B
【分析】
根据集合关系及元素与集合的关系列方程求解计算即可.
【详解】当 时，由 知， ，又 ，所以 ，不满
足集合元素的互异性；
当 时，由 知， ，又 ，无解；
当 时，由 知， ，又 ，无解；
当 时，由 知， ，又 ，所以 ，所以；
综上，则 2.
故选：B
3．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合 ，其中 且 ，则
实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.
【详解】由题意可得 ，解得 .
故选：A.
4．（2023·新疆·一模）已知集合 ，则集合 的元素个数为
（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【分析】将 的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合 ，即可得集合 的元素个数.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，故 ，共三个元素.
故选：A.
5．多选题（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若 ，则 ；②
若 ，则 下列判断中，正确的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】
根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
对于A，假设 ，则令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，不存在 ，即 ，矛盾，
∴ ，故A对；
对于B，由题， ，则
∴ ，故B对；
对于C，∵ ， ， ，
∵ 故C对；
对于D，∵ ， ，若 ，则 ，故D错误．故选：ABC．
6．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合 ，且 ，则
.
【答案】
【分析】根据题意，列出方程，求得 的值，结合集合元素的互异性，即可求解.
【详解】因为 ，所以 或 ，解得 或 ，
当 时， ， ，集合 不满足元素的互异性，所以 舍去；
当 时，经检验，符合题意，所以 ．
故答案为： ．
【题型2 集合的基本关系】
7．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为
（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】D
【分析】由 ，让集合 与 中的元素完全相同，即可列式求解 .
【详解】由题意， ， ，
故选：D.
8．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，若 ，则 的值
可以为（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．1或2
【答案】A
【分析】根据互异性可知 且 ，求出集合A，然后根据包含关系求解即可.
【详解】对于集合 ，由元素的互异性知 且 ，则 ．由 得 ．
若 ，则 ，满足 ；
若 ，则 ，矛盾，舍去．
故选：A
9．（2024·江西·二模）已知集合 ， ，若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先解一元二次不等式求出即可 ，再根据 得到不等式，解得即可.
【详解】由 ，即 ，解得 ，
即 ，
又 且 ，
所以 ，解得 ，实数 的取值范围 ．
故选：B．
10．（2024·四川成都·三模）已知集合
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题主要考查集合间的包含关系，根据题意，分析集合 之间的关系，进而作
出判断即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，
故选项D正确，选项A、B、C错误.
故选：D.
【题型3 集合的交并补运算】
11．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合 ， ， ，则
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据并集和交集的定义直接运算即可求解.
【详解】由题得 ，
所以 ，
故选：C.
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式得到集合A，然后求交集即可.
【详解】因为 ，又 ，所以 .
故选：B.
13．（2024·福建福州·模拟预测）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求集合 ， ，再求 .
【详解】由 ，所以 ；
由 ，所以 .
所以 .
故选：B
14．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知集合 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用指数函数的单调性解集合 得： ，再利用求根式函数定义
域解集合 得： ，最后利用并集求出结果即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
故选：A.15．（2024·广东茂名·一模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解出一元二次不等式和绝对值不等式，再利用交集含义即可.
【详解】 ， ，
.
故选：C.
16．（2024·上海·三模）已知集合 ， ，若 ，则 ．
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.
【详解】集合 ， ，由 ，得 ，又 ，
因此 ，所以 .
故答案为：3
17．（2024·山东日照·二模）设 为虚数单位．若集合 ，
，且 ，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用集合的包含关系，列出方程组，即可求解.
【详解】由集合 ， ，因为 ，
当 时，此时 ，方程组无解；当 时，此时 ，解得 ，
综上可得，实数 的值为 .
故答案为： .
【题型4 子集的个数求解】
18．（2024·安徽·模拟预测）已知集合 ，则 的子集个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
【答案】C
【分析】求出集合 中元素，进而求出集合 的子集个数．
【详解】由题意得， ，
则 的子集个数为 ，
故选：C．
19．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知集合 ， ，
则 的真子集的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，进而求出A，再利用交集的定义求出 即可得解.
【详解】由函数 ，得 ，因此 ，而 ，
因此 的真子集个数为7.
故选：D
20．（2024·安徽·三模）已知集合 ，则 的子集的个
数为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】B【分析】利用交集定义与子集个数与元素个数的关系计算即可得.
【详解】由 ，可得 ，
则 的子集的个数为 .
故选：B.
21．（2024·湖北·模拟预测）若集合 ．集合
，则 的真子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．31 D．32
【答案】A
【分析】首先解对数不等式求出集合 ，再解一元二次不等式求出集合 ，根据交集的定
义求出 ，即可判断其真子集个数.
【详解】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
由 ，即 ，解得 ，
，
所以 ，故 的真子集个数为 ．
故选：A．
22．（2024·全国·模拟预测）若集合 ， ，则集合 的真
子集的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先求集合A，确定 即可求解.【详解】因为 ， ，所以 ，
所以集合 的真子集的个数为 .
故选:D.
【题型5 集合中的求参问题】
23．（2024·河北邢台·二模）已知集合 ， ，若 中
有2个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】若条件满足，设出2个元素 以后可推知 ，从而确定 的
值，再证明 ，最后验证 时条件满足即可得到答案.
【详解】一方面，若 中有2个元素 ，则由 知
.
由 ，结合 ，知 只可能分别是 .
所以 ， ，得 ；
另一方面，若 ，则 ，所以 有2个元素 .
综上， 的取值范围是 .
故选：A.
24．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ．若 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数单调性求集合A，由题意可知 ，即可得结果.
【详解】由题意可得 ，
因为 ，则 ，所以 ．
故选：D．
25．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知全集 ，集合． ，
若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的解法求得 或 ，得到 ,结合 ，即可
求解.
【详解】由 ，解得 或 ，所以 或 ，可得
,
因为 ，且 ，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
故选；C.
26．（2024·山西临汾·三模）已知集合 ， ，且 ，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据补集运算求出 ，然后利用数轴分析可得.
【详解】因为 ，所以 或 ，
又 ，所以 .
故选：A
27．（2024·四川泸州·三模）已知集合 ， ，若 中有且
仅有一个元素，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的解法求得 ，结合 中有且仅有一个元素，即可
求解.
【详解】由不等式 ，即 ，解得 ，即 ，
因为 ，要使得 中有且仅有一个元素，则 或 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：B.
28．（2024·山东泰安·模拟预测）已知集合 ， ，
若 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】求得 ，由 ，可得以 或 ，求解即可.【详解】由题意， ，
或 ，
因为 ，所以 或 ，
又因为 ，所以 .
故 的取值范围为 .
故答案为： .
29．（2024·云南·模拟预测）已知集合 ，若 且
，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知条件，利用分式不等式求解集合 ，结合集合交集､并集的定义，即可求
解.
【详解】由 得： ，
所以 ，
因为 且 ，
所以 .
故答案为： .
30．（2024·贵州贵阳·二模）已知集合 ，集合
且 ，若 ，则 的取值范围是 .
【答案】【分析】解一元二次不等式可得 ，再对参数 进行分类讨论并利用对数函
数单调性解对数不等式，由交集结果求得 的取值范围.
【详解】由已知可得 ；
①若 ，则 ，由 ；
②若 ，则 ，此时 ，不符合题意．
综上可得 的取值范围是 .
故答案为：
【考题型6 韦恩图的应用】
31．（2024·云南昆明·三模）如图，已知集合 ， ，则图中阴影部
分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合韦恩图，根据集合的运算和表示法即可求解.
【详解】由题可知阴影部分表示的集合为： 且 ，即 .
故选：A.
32．（2024·安徽·三模）已知集合 ， ，则图中所示的阴影部
分的集合可以表示为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】图中所示的阴影部分的集合 ，结合集合的运算即可得解.
【详解】由图可知，阴影部分表示的集合的元素为 ，
而 ， ，则 ，
得 ，
故所求集合为 .
故选：C.
33．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 ，集合 ， ，则
图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据Venn图可知图中的阴影部分表示集合 ，利用补集的定义和运算求出
，结合交集的定义和运算即可得出结果.【详解】由题意得，图中的阴影部分表示集合 .
由集合 ， ，
得 或 ，所以 ，
故选：D．
【题型7 集合的新定义问题】
34．（2024·湖南怀化·二模）给定整数 ，有 个实数元素的集合 ，定义其相伴数集
，如果 ，则称集合 为一个 元规范数集．（注：
表示数集 中的最小数）．对于集合
，则（ ）
A． 是规范数集， 不是规范数集 B． 是规范数集， 是规范数集
C． 不是规范数集， 是规范数集 D． 不是规范数集， 不是规范数集
【答案】C
【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.
【详解】集合 中， ，则 ，
即 的相伴数集中的最小数不是1，因此 不是规范数集；
集合 ， ，
，
即 的相伴数集中的最小数是1，因此 是规范数集.
故选：C
35．多选题（2024·河南·三模）对于 的两个非空子集 ，定义运算
，则（ ）
A．B．
C．若 ，则
D． 表示一个正方形区域
【答案】BC
【分析】由集合的普通运算结合集合新定义逐一判断每个选项即可求解.
【详解】由题意知， 表示以数集 中的数为横坐标，数集 中的
数为纵坐标的点的集合，故 ，故A错误；
因为 ，
又 ，
所以 ，则B正确；
若 ，则 ，故C正确；
若 ，集合 只包含一个点，故D错误．
故选：BC．
36．多选题（2024·云南曲靖·二模）已知集合 ，定义 ，则下列命
题正确的是（ ）
A．若 ，则 与 的全部元素之和等于3874
B．若 表示实数集， 表示正实数集，则
C．若 表示实数集，则
D．若 表示正实数集，函数 ，则2049属于函数
的值域
【答案】BD【分析】对于A：根据题意可得 ， ，即可得结果；对于B：根
据题意结合指数函数的值域分析判断；对于C：根据题意结合幂函数值域分析判断；对于
D：根据题意取特值检验即可.
【详解】对于选项A：因为 ，
根据所给定义可得 ， ，
则 与 的全部元素之和等于3872，故选项A错误；
对于选项B： ，故选项B正确；
对于选项C： ，表示幂函数 的值域，
可知幂函数 的值域为 ，即 ，故选项C错误；
对于选项D：因为 ，
当 时，则 ，
可得 ，故选项D正确.
故选：BD.
37．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于 ，
定义集合 ，设 为集合 中的元素个数，特别规定：若 时，
．
(1)若 ，写出 ， 及 的值；
(2)若数列 是等差数列，求数列 的通项公式；
(3)设集合 ， ，求证： 且 ．【答案】(1) ， ， ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据数列 的定义，分别求出 ， ， ；
（2）假设 ， ，均与数列 是等差数列矛盾，进而得到数列 是
以 为首项， 为公差的等差数列，进而得到 ；
（3）根据定义得到数列 是递增数列；用反证法证明 ，假设存在正整数
，若 ，则推出 ，与假设矛盾，所以 ； ，所以要证
，只需证 ， 且 ，能推出 ，所以 ，所以
，所以结论成立.
【详解】（1）因为 ，所以 ， ，
由 得， ，所以 ，
由 得， ，所以 ；
（2）由题可知 ，所以 ，即 ，
若 ，则 ， ，
所以 ， ，与 是等差数列矛盾，所以 ，
设 ，因为 是各项均为正整数的递增数列，所以 ，假设存在 使得 ，设 ，由 得 ，
由 得 ， ，与 是等差数列矛盾，
所以对任意 都有 ，
所以数列 是等差数列， ；
（3）因为对于 ， ，所以 ，所以 ，即数列
是递增数列，
先证明 ，
假设 ，设正整数 ，
由于 ，故存在正整数 使得 ，所以 ，
因为 是各项均为正整数的递增数列，所以 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
又因为数列 是递增数列，所以 ，与假设矛盾，
所以 ；
再证明 ，
由题可知 ，所以要证 ，只需证 ，设 且 ，
因为数列 是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数 ，使得 ，
令 ，
若 则 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，若 ，则 ，所以 所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ；
综上所述， 且 .
【点睛】方法点睛：新定义问题解题策略
首先，明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行运算；最后得到结论.
【题型8 充分条件与必要条件的判定】
38．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线 ， 和平面 ， ， ， ，则
的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由线面垂直的性质定理与判定定理可得结论.
【详解】因为 ，所以 ，当 时，由线面垂直的性质定理可知 ；
只有当 且 时才能得到 .
所以 的必要不充分条件是 .
故选： .
39．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知“正项数列 满足 ”，则“ ”
是“数列 为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】由 可得正项数列 隔项成等比数列，再由 结合充分条件和必
要条件的定义求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
两式相除可得： ，
所以 ，
所以当 ，则 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以当 ，则 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
当 ，则 ， ，
所以数列 为公比为 的等比数列，
所以“ ”能推出“数列 为等比数列”，
若数列 为等比数列，则公比为2，故 ，
所以“数列 为等比数列”能推出“ ”.
故“ ”是“数列 为等比数列”的充要条件.
故选：C.
40．（2024·安徽合肥·模拟预测）若x， ，则“ ”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】等价变形 ，然后构造函数得出 ，解不等式
得 ，再利用充分条件和必要条件的定义，即可得解.
【详解】设命题p： ，命题q：
对于命题p，因为 ，所以， ，
构造函数 ，易知 在R上为增函数，所以 ；
对于命题q，因为 ，所以 ，即 ；
所以 为假命题， 为真命题；
所以p是q的必要不充分条件;
故选：B.
41．（2024·天津·模拟预测）已知 ， ，则 是 的（ ）条
件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断.
【详解】由 得 ，
由 得 ，则 是 的必要不充分条件.
故选：B.
42．（2024·四川·模拟预测）设 ，则“ ”是“ 为 的等比中项”的
（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，等比中项的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】当 时，若 ，此时 不是 和 的等比中项，即充分性不成立；
当 为 和 的等比中项时，可得 ，即必要性成立，
所以“ ”是“ 为 和 的等比中项”的必要不充分条件．
故选：C.
43．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线 ，
则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】当 时可得 ，即 ；当 时可得 ，结合充分、必要条件
的定义即可求解.
【详解】当 时， ，
即 ，则 ，即 ；
当 时， ，解得 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C【题型9 充分条件与必要条件的应用】
44．（2024·全国·模拟预测）已知圆 ： ，直线 ： ，
则直线 与圆 有公共点的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据直线与圆的位置关系，借助点到直线的距离公式，求出 的取值范围，即
直线与圆有公共点的充要条件，再确定那个是必要不充分条件.
【详解】由题意可知圆 的圆心坐标为 ，半径为1.
因为直线 与圆 有公共点，所以直线 与圆 相切或相交，
所以圆心 到直线 的距离 ，解得 .
其必要不充分条件是把 的取值范围扩大，
所以选项中只有 是 的必要不充分条件.
故选：A
45．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）若 是不等式 成立的一个必要
不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出不等式 成立的充要条件，根据充分必要条件关系判断.
【详解】 ，
因为 是 成立的必要不充分条件，
所以 .
故选：B.46．（2024·四川·模拟预测）“ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性，求得不等式对应的解集，再根据选项进行选择.
【详解】 等价于 ，即 ，
因为 可以推出 ，而 不能推出 ，所以 是 的必要不充
分条件，其它选项均不满足；
所以“ ”的一个必要不充分条件是 ．
故选：B．
47．多选题（2024·辽宁·模拟预测）若 ，则使“ ”成立的一个充分条件可以是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质及对数函数的单调性结合充分条件的定义即可得解.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，选项A正确；
对于B， 满足 ，选项错B错误；
对于C， ，当 时， ，选项错C错误；
对于D， ，
因为 ，所以 ，选项D正确.
故选：AD.48．多选题（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合 ，集合
，能使 成立的充分不必要条件有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由 成立的充要条件求出对应的参数 的范围，结合充分不必要条件的定
义即可得解.
【详解】 当且仅当 是 的子集，当且仅当 ，即 ，
对比选项可知使得 成立的充分不必要条件有 ， .
故选：CD.
49．多选题（2024·重庆·三模）命题“存在 ，使得 ”为真命题的一个充
分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据题意，转化为存在 ，设定 ，利用二次函数的性质，求得
的最小值为 ，求得 的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.
【详解】由题意，存在 ，使得 ，即 ，
当 时，即 时， 的最小值为 ，故 ；
所以命题“存在 ，使得 ”为真命题的充分不必要条件是 的真
子集，
结合选项可得，C和D项符合条件.
故选：CD.
50．（2024·辽宁大连·一模）“函数 是奇函数”的充要条件是实数
．
【答案】0
【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数 是奇函数，
则当且仅当 ，
也就是 恒成立，从而只能 .
故答案为：0.
【题型10 全称量词与特称量词命题】
51．（2024·河南·三模）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
即命题“ ”的否定为“ ”.
故选：B.
52．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题 的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.
【详解】由于全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题 的否定是 .
故选：C
53．（22-23高三下·河北衡水·阶段练习）条件 ， ，则 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
对于命题 ，由参变量分离法可得 ，求出函数 在 上的最大值，
可得出实数 的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.
【详解】若 ，使得 ，则 ，可得 ，则 ，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
故当 时， ，即 ，
所以， 的一个必要不充分条件是 .
故选：A.
54．（2024·陕西·模拟预测）给出下列三个命题：
①命题 ，使得 ，则 ，使得 ；
②“ 或 ”是“ ”的充要条件；
③若 为真命题，则 为真命题.
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】运用含有一个量词的命题的否定可判断①，解一元二次不等式并结合充分条件、
必要条件的定义可判断②，运用复合命题的真假关系可判断③.
【详解】对于①，命题 ，使得 ，则 ，使得 ，
故①正确；
对于②，因为 的解集为 或 ，所以“ 或 ”是“
”的充要条件，故②正确；
对于③，若 为真命题，则 、 中至少有一个为真命题，当 真 假或 假 真时，则 为假，当 真 真时，则 为真，故③错误.
故正确的命题是①②，即正确命题的个数为2.
故选：C.
55．（2024·广西南宁·一模）已知命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据含有一个量词命题的否定，即可得答案.
【详解】由题意知命题 为存在量词命题，
其否定为全称量词命题： ，
故选：A
56．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）若命题“ ”是假命题，则
实数 的最大值为 ．
【答案】
【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由题知命题的否定“ ”是真命题．令
，则 解得 ，故实数 的最大值为
故答案为：【易错点1 忽略“空集”的存在】
1．已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值组
成的集合为（ ） ∈
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}
【答案】D
【解答】解：由题意可得，集合A为单元素集，
（1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}， ，
（2）当a≠0时 则Δ＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， ∅
当a＝1时，集合A的两个子集是{﹣1}， ，
当a＝﹣1，此时集合A的两个子集是{1}，∅ ．
综上所述，a的取值为﹣1，0，1． ∅
故选：D．
2．已知集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．
（1）求A∩B，（ A）∪B；
R
（2）若B∩C＝C，∁求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，
∴A∩B＝{x|2≤x＜5}，
A＝{x|﹣3＜x＜2}，
R
∁∴（
R
A）∪B＝{x|﹣3＜x＜5}；
（2）∁∵B∩C＝C，∴C B，
又C＝{x|m﹣1≤x≤2m}⊆，
①当C＝ 时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1；
∅
②当C≠ 时， ，2＜m＜ ；
∅
综上，m的取值范围是 ．【易错点2 分不清四种集合的区别】
3．已知集合M＝{x|x2﹣x＜0}，N＝{x|ln（x﹣1）＜0}，则（ ）
A．M N B．M＝N C．M∩N＝ D．M∪N＝R
【答案⊆】C ∅
【解答】解：解不等式x2﹣x＜0，解得0＜x＜1，即集合M＝{x|0＜x＜1}；
解不等式ln（x﹣1）＜0，由f（x）＝lnx是增函数，又ln1＝0，
所以x﹣1＜1，解得x＜2，又由对数的定义域可知x﹣1＞0，解得x＞1，即集合N＝{x|1
＜x＜2}．
显然选项A、B都不正确；
对于选项C，M∩N＝ ，故C选项正确；
对于选项D，M∪N＝∅{x|0＜x＜1或1＜x＜2}，故选项D错误．
故选：C．
【易错点3 搞不清楚是否能取得边界值】
4．已知集合A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|﹣a＜x≤a+3}，若A∩B＝A，则a取值范围是（
）
A．a＞﹣2 B．a≤﹣1 C．a≥1 D．a＞2
【答案】C
【解答】解：∵A∩B＝A，
∴A B，
⊆
∴ ，
解得，a≥1，
故选：C．
5．已知集合A＝{2，﹣2}，B＝{x|x2﹣ax+4＝0}，若A∪B＝A，则实数a满足（ ）
A．{a|﹣4＜a＜4} B．{a|﹣2＜a＜2} C．{﹣4，4} D．{a|﹣4≤a≤4}
【答案】D
【解答】解：由A∪B＝A得，B A，则B＝ 或B≠ ，
（1）当B＝ 时，即有：Δ＝a2﹣⊆16＜0，解得∅﹣4＜a∅＜4，
适合条件B ∅A，实数a满足：﹣4＜a＜4；
（2）当B≠⊆ 时，且A＝{﹣2，2}，
∅①若B＝{﹣2}，表明x2﹣ax+4＝0有两个相等的实根﹣2，
则（﹣2）2﹣a×（﹣2）+4＝0，则a＝﹣4，满足Δ＝a2﹣16＝0；
②若B＝{2}，表明x2﹣ax+4＝0有两个相等的实根2，
则22﹣a×2+4＝0，解得a＝4，满足Δ＝a2﹣16＝0；
③若B＝{﹣2，2}，表明x2﹣ax+4＝0有两个的实根﹣2和2，
则（﹣2）2﹣a×（﹣2）+4＝0，22﹣a×2+4＝0，则a不存在；
综上得：所有满足条件的实数a组成的集合为[﹣4，4]，
故选：D．
6．定义集合MΨN＝{x|x M且x﹣1 N}，已知集合A＝{x|x2+3x﹣10＜0}，B＝{x|﹣7＜x＜
0}，则AψB＝（ ）∈ ∈
A．{x|﹣5＜x＜﹣1} B．{x|﹣7＜x＜2} C．{x|﹣5＜x＜1} D．{x|﹣5＜x＜0}
【答案】C
【解答】解：∵集合A＝{x|x2+3x﹣10＜0}＝{x|﹣5＜x＜2}，
B＝{x|﹣7＜x＜0}，
∴AψB＝{x| }＝{x|﹣5＜x＜1}．
故选：C．
【易错点4 不理解有关逻辑语言】
7．已知函数 则“a≤0”是“f（x）在R上单调递减”
的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解答】解：函数 在R上单调递减时，
应满足 ，解得 ，即a≤﹣4；
所以“a≤0”是“f（x）在R上单调递减”的必要不充分条件．
故选：B．
8．设a，b R，则“a＞b＞0”是“ ”的（ ）
A．充分∈而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：若a＞b＞0，则 ﹣ ＝ ＜0，即 ＜ 成立．
若 ＜ 则 ﹣ ＝ ＜0，a＞b＞0或0＞a＞b
所以“a＞b＞0是 ＜ ”的充分不必要条件．
故选：A．
【易错点5 不等严谨掌握充要条件的概念】
9．“ 为第一象限角”是“sin ＞0”的（ ）
A．充θ分而不必要条件 θ
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：“ 为第一象限角”则“sin ＞0”，充分性成立，
若“sin ＞0”，θ则 为第一象限角或第二θ象限角，
θ θ或角的终边在y轴正半轴上，则必要性不成立．
故选：A．
10．已知x R，p：“x2﹣x＞0”，q：“x＞1”，则p是q的（ ）
A．充分∈但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：∵x2﹣x＞0得出x＞1或x＜0，得不出x＞1；
x＞1得出x2﹣x＞0，
∴p是q的必要不充分条件．
故选：B．
11．设z C，则 是z为纯虚数的（ ）
∈
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解答】解：对于复数z，若z+ ＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚
数，
则z+ ＝0．
∴“z+ ＝0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．
故选：B．
【易错点6 考虑充要条件时，忽略前提条件】
12．“0＜a＜4”是“ x R使ax 2﹣ax +1≤0成立”为假命题的（ ）
0 0 0
A．充要条件 ∃ ∈
B．充分不必要条件C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：当a＝0时，ax 2﹣ax +1≤0不成立；
0 0
当a≠0时，Δ＝（﹣a）2﹣4a×1≥0，解得a＜0或a≥4，
又因为“ x R使ax 2﹣ax +1≤0成立”为假命题，
0 0 0
所以0≤a∃＜4∈，所以“0＜a＜4”是“ x
0
R使ax
0
2﹣ax
0
+1≤0成立”为假命题的充分不
必要条件． ∃ ∈
故选B．
13．已知向量 ， ，则“x＝3”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：根据题意，向量 ， ，
当x＝3时， ＝（3，3）， ＝（6，6），必有 ∥ ，
反之，若 ∥ ，则有2x2＝18，解可得x＝±3，
故“x＝3”是“ ”的充分不必要条件；
故选：A．
【易错点7 不能正确理解有关概念，导致推理错误】
14．关于x的不等式ax2+ax﹣x﹣1＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（ ，+∞）的一个充
分不必要条件是（ ）
A．a≤﹣1 B．a＞0 C．﹣1＜a＜0 D．a＜﹣3
【答案】D
【解答】解：不等式可化为ax2+（a﹣1）x﹣1＜0，即a 的解集为（﹣∞，﹣1）∪（ ，+∞），则 ，
解得a≤﹣1，
四个选项中，只有{a|a＜﹣3} {a|a≤﹣1}，
⊂
故a＜﹣3是原不等式解集为（﹣∞，﹣1）∪（ ，+∞）的一个充分不必要条件．
故选：D．
15．可以作为关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数解的一个必要条件的是 （ ）
A．m＜ B．m＜ C．m＜﹣ D．m＜﹣
【答案】A
【解答】解：由题意，Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×m≥0，
解得m≤ ，
而m≤ 可以推出m＜ ，
故选：A．
