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专题 01 集合与常用逻辑用语
考点一：集合的概念
1．（2023北京）已知集合 ，定义函数 则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】判断元素与集合的关系、求分段函数解析式或求函数的值
【分析】由 ，结合分段函数的解析式可得答案.
【详解】由题意可知 ，
所以 ，
故选：B.
2．（2023黑龙江）方程 的所有实数根组成的集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列举法表示集合
【分析】求解一元二次方程的根组成的集合
【详解】解方程 ，得 或 ，
方程 的所有实数根组成的集合为 .故选：C
3．（2021广西）若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】由元素与集合的关系即可得出答案.
【详解】因为 ，则 .
故选：B.
4．（2023河北）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有直角三角形 B．抛物线 上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近 的所有实数
【答案】D
【知识点】判断元素能否构成集合
【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论.
【详解】A，B，C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性．
故选：D．
5．（2022江苏）已知集合 ，则A中元素个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】列举法求集合中元素的个数
【分析】由列举法即可判断
【详解】 ，共有9个元素.
故选：B
6．（2022广西）已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（ ）
A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3}
【答案】D
【知识点】列举法表示集合
【分析】根据集合的知识确定正确选项.
【详解】由于集合 是由 三个元素构成，
所以 .
故选：D
7．（2020广西）设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（ ）
A．{长江，黄河} B． {长江，黑龙江}C． {长江，珠江} D． {长江，黄河，黑龙江，珠江}
【答案】D
【知识点】列举法表示集合
【分析】根据集合的概念及表示即得.
【详解】∵M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，
∴M ={长江，黄河，黑龙江，珠江}.
故选：D.
8．（2023河北）设集合 ， ， ，则 中的元素个数为
．
【答案】4
【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】求出所有 的值，根据集合元素的互异性可判断个数.
【详解】因为集合 中的元素 ， ， ，所以当 时， ，2，3，此时 ，6，
7．当 时， ，2，3，此时 ，7，8．
根据集合元素的互异性可知， ，6，7，8．即 ，共有4个元素．
故答案为：4．
9．（2023上海）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是
【答案】7
【知识点】集合元素互异性的应用、利用集合中元素的性质求集合元素个数
【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.
【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故
该集合中的元素个数是7；
故答案为：7.
10．（2023高北京）已知数集 含有 （ ）个元素，定义集合 ．
(1)若 ，写出 ；
(2)写出一个集合 ，使得 ；
(3)当 时，是否存在集合 ，使得 ？若存在，写出一个符合条件的集合 ；若不
存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析.
【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义
【分析】（1）根据集合的新定义，写出 中元素即可得解；（2）根据条件分析集合中元素即可得解；
（3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 为 中元素，
故 .
（2）取 ，此时 ，
满足 .
（3）当 时，不存在集合 ，使得 .
（反证法）
假设 时，存在集合 ，使得 ，
不妨设 ，且 ，
则 ，
所以 为 中7个不同的元素，
所以 ，
由 解得 .
此时， 与 矛盾，
所以假设不成立，
故不存在这样的集合 .
考点二：集合间的基本关系
1．（2023重庆）设 ，集合 ， ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数、求对数函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式
【分析】求出集合 、 ，利用集合的包含关系可求得实数 的取值范围.
【详解】因为 或 ， ，
又因为 ，则 .
故选：C.2．（2023广东）已知 ， 设集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系
【分析】先求出全集 ，从而判断四个选项的正误，可得答案.
【详解】由题意， ,
得 ,
故 ，A错误； ,故B错误，
，故 属于集合间符号使用不正确， C错误，
,D正确，
故选：D
3．（2022浙江）已知集合 ， 若 ， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】根据两个集合相等求参数
【分析】依题意可得 ，且 ，即可得到 和 为方程 的两个实数根，从而
得解；
【详解】解：因为 且 ，
所以 ，且 ，
又 ，
所以 和 为方程 的两个实数根，
所以 ；
故选：D
考点三：集合的基本运算
1．（2024福建）集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【知识点】交集的概念及运算
【分析】由交集的运算求解即可；
【详解】由题意可得 ，
故选：B.
2．（2022河北）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】补集的概念及运算
【分析】直接由补集的定义即可求解.
【详解】若全集 ，集合 ，则 .
故选：D.
3．（2024江苏）已知集合 ，则 的真子集个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、余弦函数图象的应用、由标准方程确
定圆心和半径
【分析】作出几何图形，确定 的元素个数即可得解.
【详解】集合 是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合，
集合 是坐标平面内，函数 图象上的点的集合，
在同一坐标系内作出圆 及函数 的部分图象，如图，
观察图象知，圆 及函数 的图象有3个公共点，
所以 有3个元素，共有 个真子集.
故选：C
4．（2024安徽）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先解一元二次不等式，再结合交集求解.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：C.
5．（2024云南）已知集合 ，若 有且仅有3个不同元
素，则 的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、由指数函数的单调性解不等式
【分析】先求出集合 ，然后结合集合的交集运算即可求解．
【详解】因为集合 ，
若 有且仅有3个不同元素，则这3个元素为3，2，1，
故 ，即 ．故 可取1，
故选：A．
6．（2024浙江）设全集 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】补集的概念及运算
【分析】根据补集的定义计算可得.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B
7．（2024湖南）已知集合 ， ，若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数
【分析】根据集合的交集求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，故 .
故选：A
8．（2024广东）已知集合 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据交集概念求出答案.
【详解】 .
故选：A
9．（2023新疆）设全集 ，集合 ， ，则 .
【答案】
【知识点】交并补混合运算
【分析】确定 ，再计算并集得到答案.
【详解】 ， ，则 ，
，则 .
故答案为： .
10．（2023河北）已知集合 ，集合 ，且 ，则
， ．
【答案】 1
【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据不等式解法可解得集合 ，再利用交集结果以及一元二次不等式与一元二次方程的关系即
可求得 的值.
【详解】由 可得 ；
由 可得
∵ ，∴ 是方程 的根，
则 ，可得
∵ ，∴ ，
则 ．
故答案为： ，111．（2022广东）已知集合 ， ， ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、由指数函数的
单调性解不等式
【分析】（1）解指数不等式，确定集合B，即可得出答案；
（2）由 得出 ，列式求解即可.
【详解】（1） ，
所以 ，又 ，
所以 .
（2）∵ ，∴ ，
由（1）得 ，又 ，
∴ ，解得 ，
∴ 的取值范围为 .
12．（2023北京）给定正整数 ，设集合 ．对于集合M的子集
A，若任取A中两个不同元素 ， ，有 ，且 ，
，…， 中有且只有一个为2，则称A具有性质P．
(1)当 时，判断 是否具有性质P；（结论无需证明）
(2)当 时，写出一个具有性质P的集合A；
(3)当 时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P．
【答案】(1)A不具有性质P；
(2) ；
(3)证明见解析.
【知识点】集合的应用、集合新定义
【分析】（1）根据题设新定义即可判断；
（2）根据定义即可写出；（3）若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，设 ，然后根据条件
推出矛盾，进而即得.
【详解】（1）根据题设定义可知 不具有性质P；
（2）当 时， ， ，且 ， ， 中有且只有一个为2，满足
性质P；
（3）当 时，若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，
即任取A中两个不同元素 ， ，
有 ，①
， ， ， 中有且只有一个为2．②
设 ；则 ．
当 时，由①得 ，不满足②，矛盾．
当 时，由①得 ，
由②得 与 不同时在A中； 与 不同时在A中； 与 不同时
在A中，所以A中元素个数至多为3，矛盾．
当 时，由①得 ，不满足②，矛盾．
当 或 时，不满足A中的元素个数为4，矛盾．
所以假设不成立，即A不具有性质P．
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进
行再迁移.
13．（2023河北）已知全集 ，集合 ， ．求：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）根据不等式的运算得出集合 与 ，再根据集合的交集运算得出答案；
（2）根据集合的交并补混合运算直接得出答案.
【详解】（1）由 ，可得 ，
所以 ．由 可得， 且 ，解得 ，
所以 ，
所以 ．
（2）因为 或 ，
所以 或 .
考点四：充分条件与必要条件
1．（2024北京）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】判断两个命题的关系，当 时， 是 充分条件；当 时， 是 不充分条件；当
时， 是 必要条件；当 时， 是 不必要条件.
【详解】当 时， ，∴“ ”是“ ”充分条件；
当 时， ，此时 满足要求，而 ，故 不一定成立，∴“ ”是“ ”不必要
条件.
故选：A.
2．（2023高三上·广西）下列命题中，含有存在量词的是（ ）
A．存在一个直角三角形三边长均为整数 B．所有偶函数图象关于y轴对称
C．任何梯形都不是平行四边形 D．任意两个等边三角形都相似
【答案】A
【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题
【分析】根据存在量词的含义判断即可.
【详解】“存在”、“有一些”、“某些”等等，这些叫做存在量词.
故选：A.
3．（2023安徽）设命题 ， ，则 的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】 的否定是: ,
故选：A
4．（2023吉林）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断即可.
【详解】因为 可以推出 ，即充分性成立；
但 不能推出 ，例如 ，即必要性不成立；
综上所述：“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B.
5．（2023浙江）已知 为实数，则“ ， ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、充要条件的证明
【分析】利用分离参数法求出 的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.
【详解】若 则
当 时，不等式的右边取得最大值1，故 充分性成立；
若 则 时, 当且仅当 时取等，
即 恒成立，因此，由 可以推出 ，故必要性成立.
综上所述， 是 的充要条件.
故选：C.
6．（2024福建）命题“ ”的否定是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题“ ”为全称量词命题，
其否定为： .
故选：D
7．（2024浙江）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称量词命题的否定形式直接求解即可.
【详解】全称量词命题： ，它的否定为： .
所以命题“ ”的否定是“ ”.
故选：D.
8．（2024湖南）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】特称命题的否定及其真假判断
【分析】根据特称命题的否定形式的相关知识直接判断.
【详解】命题“ ， ”的否定为“ ， ”，
故选：C.
二、填空题
9．（2024湖南）命题“ ， ”的否定是 .
【答案】 ，
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据全称命题的否定为特称命题求解即可.
【详解】由全称命题的否定为特称命题可知，
命题“ ， ”的否定是 ， .故答案为： ，
10．（2023河北）已知命题 ：实数 满足 ，其中 ，命题 ：实数 满足 ．
(1)若 ，则 是 的什么条件？
(2)若 是 的必要条件，求 的取值范围．
【答案】(1) 是 的必要不充分条件
(2)
【知识点】判断命题的必要不充分条件、必要条件的判定及性质
【分析】（1）找到命题 、 所表示的实数 对应的取值集合之间的包含关系，进而得到两个命题之间的
关系.
（2）由命题 是 的必要条件，得到命题 、 所表示的实数 对应的取值集合之间的包含关系，进而求
出参数 的范围.
【详解】（1）由 ，得 ，记集合 ，
，记集合 ．
因为B是A的真子集，所以 是 的必要不充分条件．（注：必要条件也正确）
故 是 的必要不充分条件．
（2） ，记集合 ，
，记集合 ，
因为 是 的必要条件，
所以 ，即 所以 ．
所以a的取值范围为 .
