微专题15 平面向量的基本运算及应用
高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算,难度中低档;
2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义,难度中低档.
【真题体验】
1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1),b＝(2,x),若b⊥(b－4a),则x＝( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
答案 D
解析 法一 因为b⊥(b－4a),
所以b·(b－4a)＝0,即b2＝4a·b.
因为a＝(0,1),b＝(2,x),
所以b2＝4＋x2,a·b＝x,
得4＋x2＝4x,所以(x－2)2＝0,
解得x＝2.
法二 因为a＝(0,1),b＝(2,x),
所以b－4a＝(2,x)－4(0,1)＝(2,x)－(0,4)＝(2,x－4).
因为b⊥(b－4a),所以b·(b－4a)＝0,
所以2×2＋x(x－4)＝0,
所以(x－2)2＝0,解得x＝2.
2.(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3,1),b＝(2,2),则cos<a＋b,a－b>＝( )
A. 1
17
B.√17
17
C.√5
5
D.2√5
5
答案 B
解析 由题意知a＋b＝(5,3),a－b＝(1,－1),
所以cos<a＋b,a－b>＝(a＋b)·(a−b)
|a ＋b||a−b| ＝5×1＋3×(−1)
√34×√2
＝
2
2√17 ＝√17
17 .
3.(2025·新高考Ⅰ卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海
学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和,其中
船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.如表给出了部分风力等级、名称与风
速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图
(风速的大小和向量的大小相同,单位:m/s),则真风为( )
等级
风速大小(单位:m/s)
名称
2
1.1~3.3
轻风
3
3.4~5.4
微风
4
5.5~7.9
和风
5
8.0~10.1
劲风
A.轻风
B.微风
C.和风
D.劲风
答案 A
解析 真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风速对应的向量＝视风风速对应的向量
＋船速对应的向量＝⃗AB,如图,|⃗AB|＝2√2∈[1.1,3.3],故选A.
4.(2025·新高考Ⅱ卷)已知平面向量a＝(x,1),b＝(x－1,2x),若a⊥(a－b),则|a|＝ .
答案 √2
解析 由题意得a－b＝(1,1－2x),
又a⊥(a－b),
所以a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0,
解得x＝1,所以|a|＝√2.
5.(2025·天津卷)△ABC 中,D 为AB 中点,⃗CE＝1
3⃗CD,⃗AB＝a,⃗AC＝b,则⃗AE＝ (用a,b 表
示);若|⃗AE|＝5,AE⊥CB,则⃗AE·⃗CD＝ .
答案 1
6a＋2
3b －15
解析 ⃗AE＝⃗AC ＋⃗CE＝⃗AC ＋1
3⃗CD
＝⃗AC ＋1
3(⃗AD－⃗AC)＝2
3⃗AC ＋1
6⃗AB
＝1
6a＋2
3b.
∵|⃗AE|＝5,∴25＝(
1
6 a＋2
3 b)
2
,
即900＝a2＋16b2＋8a·b,①
易得⃗BC＝b－a,
∵⃗AE⊥⃗BC,∴⃗AE·⃗BC＝0,
即(
1
6 a＋2
3 b)·(b－a)＝0,
得4b2－a2－3a·b＝0,②
由①②得2 700＝80b2－5a2,
∴16b2－a2＝540,
∴⃗AE·⃗CD＝(
1
6 a＋2
3 b)·(
1
2 a−b)
＝1
12(a2－8b2＋2a·b)
＝1
12[a
2−8b
2＋2
3 (4 b
2−a
2)]
＝1
36(a2－16b2)
＝1
36×(－540)＝－15.
【热点突破】
热点一 平面向量的线性运算
1.平面向量加减运算求解的关键是:对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”;对平面向量减
法抓住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”,再观察图形对向量进行等价转化.
2.在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作一个字母看待,其运算方法类似于代数中合并
同类项的运算,在计算时可以进行类比.
例1 (1)(2025·许昌质检)在平行四边形ABCD 中,点E,F,G 分别满足⃗DE＝⃗EC,⃗BC＝2⃗BG,⃗AF＝2⃗
FE,则⃗FG＝( )
A.2
3⃗AB－1
6⃗AD
B.2
3⃗AB＋1
6⃗AD
C.1
6⃗AB－2
3⃗AD
D.1
6⃗AB＋2
3⃗AD
(2)(2025·福州段考)如图所示,在△ABC 中,M 是AB 的中点,点N 在边AC 上,且⃗AN ＝1
2⃗NC,BN 与
CM 交于点E,若⃗AE＝λ⃗AB＋μ⃗AC,则λ,μ 满足( )
A.λ＋μ＝4
5
B. λ
μ＝2
C.λ－μ＝2
5
D. λ
μ ＝1
2
答案 (1)A (2)B
解析 (1)如图,⃗FG＝⃗AG－⃗AF ＝⃗AB＋1
2⃗BC －2
3⃗AE＝⃗AB＋1
2⃗AD－2
3(⃗AD＋1
2⃗DC)
＝⃗AB－1
6⃗AD－1
3⃗AB＝2
3⃗AB－1
6⃗AD.
(2)由⃗AN ＝1
2⃗NC,得⃗AN ＝1
3⃗AC,
因为M 是AB 的中点,所以⃗AM ＝1
2⃗AB.
由N,E,B 三点共线知,存在实数m 满足⃗AE＝ m⃗AN＋(1－m)⃗AB＝1
3m⃗AC＋(1－m)⃗AB.
由C,E,M 三点共线知,存在实数n 满足⃗AE＝n⃗AM＋(1－n)⃗AC ＝1
2n⃗AB＋(1－n)⃗AC,
所以1
3m⃗AC＋(1－m)⃗AB
＝1
2n⃗AB＋(1－n)⃗AC.
又因为⃗AC,⃗AB为不共线的非零向量,
所以{
1−m＝1
2 n,
1
3 m＝1−n,
解得{
m＝3
5 ,
n＝4
5 ,
所以⃗AE＝2
5⃗AB＋1
5⃗AC,
即λ＝2
5,μ＝1
5.
λ＋μ＝2
5 ＋1
5 ＝3
5,故A 不正确;
λ
μ ＝
2
5
1
5
＝2,因此B 正确,D 不正确;
λ－μ＝2
5 －1
5 ＝1
5,因此C 不正确.故选B.
易错提醒 在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理恰当地选取基底,变形要有方向,
不能盲目转化.
训练1 (1)(2025·北京东城区质检)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则⃗EC＝(
)
A.3
4⃗AB－1
4⃗AC
B.－1
4⃗AB－3
4⃗AC
C.3
4⃗AB＋1
4⃗AC
D.－1
4⃗AB＋3
4⃗AC
(2)(多选)如图所示,已知四边形ABCD 为等腰梯形,CD∥AB,CD＝1
2AB,E 为DC 的中点,F 为AE 的
中点,若⃗AD＝λ⃗AB＋μ⃗BF,则( )
A.λ＝7
2
B.μ＝2
C.λ＝7
4
D.μ＝1
答案 (1)D (2)BC
解析 (1)由D 为BC 中点,
得⃗AD＝1
2(⃗AB＋⃗AC),
在△ABC 中,⃗EC ＝⃗AC －⃗AE＝⃗AC －1
2⃗AD
＝⃗AC －1
4(⃗AB＋⃗AC)
＝3
4⃗AC －1
4⃗AB.
(2)因为CD∥AB,CD＝1
2AB,E 为DC 的中点,所以⃗AD＝⃗AE＋⃗ED＝⃗AE－1
4⃗AB.
因为F 为 AE 的中点,
所以⃗AE＝2⃗AF＝2(⃗AB＋⃗BF)＝2⃗AB＋2⃗BF,
所以⃗AD＝2⃗AB＋2⃗BF －1
4⃗AB
＝7
4⃗AB＋2⃗BF,
所以λ＝7
4,μ＝2.故选BC.
热点二 平面向量的数量积
1.数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.
2.可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算.
例2 (1)(2025·泰安模拟)已知非零向量a,b 满足|a|＝2√2
3 |b|,若(a＋b)⊥(3a－2b),则a 与b 的夹角为(
)
A.π
4
B.π
2
C.3 π
4
D.π
(2)如图,在△ABC 中,∠ABC＝90°,F 为AB 的中点,CE＝3,CB＝8,AB＝12,则⃗EA·⃗EB＝ .
答案 (1)C (2)13
解析 (1)因为(a＋b)⊥(3a－2b),
所以(a＋b)·(3a－2b)＝0,
即3a2＋a·b－2b2＝0,
则a·b＝2|b|2－3|a|2,
又|a|＝2√2
3 |b|,
则a·b＝2|b|2－3(
2√2
3 |b|)
2
＝－2
3|b|2,
所以cos<a,b>＝
a·b
|a|·|b|
＝
−2
3|b |
2
2√2
3
|b|·|b|
＝－√2
2 ,
又0≤<a,b>≤π,所以a 与b 的夹角为3 π
4 .
(2)法一(坐标法)
建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(12,0),B(0,0),
C(0,8),F(6,0),
易知CF＝√C B
2＋B F
2＝10,
即CE＝3
10FC,FE＝7
10FC,
所以⃗BE＝⃗BF ＋7
10⃗FC
＝(6,0)＋7
10(－6,8)＝(
9
5 , 28
5 ),
所以⃗EA ＝⃗BA －⃗BE＝(12,0)－(
9
5 , 28
5 )
＝(
51
5 ,−28
5 ),
而⃗EB＝(−9
5 ,−28
5 ),
所以⃗EA·⃗EB＝51
5 ×(−9
5)＋(−28
5 )
2
＝13.
法二(基底法) 由法一知⃗EF ＝7
10⃗CF,
且CF＝√C B
2＋(
1
2 BA)
2
＝10,
故⃗EA·⃗EB＝(⃗EF ＋⃗FA)·(⃗EF ＋⃗FB)
＝(
7
10⃗CF ＋1
2⃗BA)·(
7
10⃗CF −1
2⃗BA)
＝49
100⃗CF
2－1
4⃗BA
2＝49
100×102－1
4×122＝13.
法三(利用极化恒等式) 由法一知|⃗EF|＝7,
由极化恒等式知⃗
EA·⃗EB＝|⃗EF|2－1
4|⃗BA|2＝49－1
4×144＝13.
易错提醒 1.由向量的运算求其夹角时要注意夹角的范围是[0,π].
2.利用基底计算数量积时,要注意选择恰当的基底,常用已知的向量作基底.
训练2 (1)(多选)(2025·长沙模拟)已知向量a,b 满足|a＋2b|＝|a|,a·b＋a2＝0,且|a|＝2,则( )
A.|b|＝2
B.a＋b＝0
C.|a－2b|＝6
D.a·b＝4
(2)在矩形ABCD 中,AB＝2√3,AD＝2,点E 满足2⃗DE＝3⃗DC,则⃗AE·⃗BD＝ .
答案 (1)ABC (2)－14
解析 (1)因为|a＋2b|＝|a|,
所以|a＋2b|2＝|a|2,即a2＋4a·b＋4b2＝a2,
整理可得a·b＋b2＝0,
再由a·b＋a2＝0,且|a|＝2,
可得a2＝b2＝4,
所以|b|＝2,a·b＝－4,A 正确,D 错误;
cos<a,b>＝
a·b
|a||b| ＝－1,
即向量a,b 的夹角<a,b>＝π,
故向量a,b 共线且方向相反,所以a＋b＝0,B 正确;
|a－2b|＝√(a−2b)
2＝√a
2−4 a·b＋4 b
2＝√4＋16＋16＝6,C 正确.
(2)由题意,以A 为坐标原点,⃗AB,⃗AD的方向分别为x,y 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2√3,0),C(2√3,2),D(0,2),
所以⃗DC＝(2√3,0),⃗BD＝(－2√3,2).
因为2⃗DE＝3⃗DC,设E(x,y),
则2(x,y－2)＝3(2√3,0),解得E(3√3,2),
所以⃗AE＝(3√3,2),
所以⃗AE·⃗BD＝(3√3,2)·(－2√3,2)＝－14.
热点三 平面向量的综合应用
三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支,内容繁杂,且平面向量与三角函数交汇点较多,如
向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.
例3 已知ω>0,a＝(√3sin ωx,－cos ωx),b＝(cos ωx,cos ωx),f(x)＝a·b,x1,x2是y＝f(x)－1
2的两个
零点,且|x1－x2|min＝π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α∈(0, π
2),f(
α
2)＝1
10,求sin 2α 的值.
解 (1)f(x)＝√3sin ωxcos ωx－cos2ωx
＝√3
2 sin 2ωx－1＋cos2ωx
2
＝√3
2 sin 2ωx－1
2cos 2ωx－1
2
＝sin(2ωx −π
6)－1
2.
∵x1,x2是函数y＝f(x)－1
2
＝sin(2ωx −π
6)－1 的两个零点,
即x1,x2是方程sin(2ωx −π
6)＝1 的两个实根,
且|x1－x2|min＝π,
∴T＝2π
2ω＝π,∴ω＝1.
∴f(x)＝sin(2 x−π
6)－1
2.
由－π
2 ＋2kπ≤2x－π
6 ≤π
2 ＋2kπ,k∈Z,
得－π
6 ＋kπ≤x≤π
3 ＋kπ,k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为[−π
6 ＋k π , π
3 ＋k π](k∈Z).
(2)f(
α
2)＝sin(α −π
6)－1
2 ＝1
10,
∴sin(α −π
6)＝3
5.
∵0<α<π
2 ,∴－π
6 <α－π
6 <π
3 ,
∴cos(α −π
6)＝4
5 .
∵sin α＝sin[(α −π
6)＋π
6]
＝sin(α −π
6)cos π
6 ＋cos(α −π
6)sin π
6
＝4＋3√3
10
,
cos α＝cos[(α −π
6)＋π
6]
＝cos(α −π
6)cos π
6 －sin(α −π
6)sin π
6
＝4√3−3
10
,
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×4＋3√3
10
× 4√3−3
10
＝24＋7√3
50
.
规律方法 对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中
的“数量关系”,再利用三角函数的相关知识进行求解.
训练3 (2025·宜昌调研)如图所示,A,B,C,D 是正弦函数y＝sin x 图象上四个点,且在A,C 两点函
数值最大,在B,D 两点函数值最小,则(⃗OA ＋⃗OB)·(⃗OC ＋⃗OD)＝ .
答案 12π2
解析 由题图知,A(
π
2 ,1),B(
3 π
2 ,−1),C(
5 π
2 ,1),D(
7 π
2 ,−1),
所以⃗OA ＝(
π
2 ,1),⃗OB＝(
3 π
2 ,−1),⃗OC ＝(
5 π
2 ,1),⃗OD＝(
7 π
2 ,−1),
所以⃗OA ＋⃗OB＝(2π,0),⃗OC ＋⃗OD＝(6π,0),
所以(⃗OA ＋⃗OB)·(⃗OC ＋⃗OD)
＝2π×6π＋0×0＝12π2.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD＝2DA.记⃗CA＝m,⃗CD＝n,则⃗CB＝( )
A.3m－2n
B.－2m＋3n
C.3m＋2n
D.2m＋3n
答案 B
解析 因为BD＝2DA,所以⃗AB＝3⃗AD,
所以⃗CB＝⃗CA ＋⃗AB
＝⃗CA＋3⃗AD
＝⃗CA＋3(⃗CD－⃗CA)
＝－2⃗CA＋3⃗CD
＝－2m＋3n.
2.(2025·重庆部分学校联考)已知向量a＝(m,1),b＝(0,3),且a⊥(a－b),则m＝( )
A.√2
B.2
C.±√2
D.±2
答案 C
解析 因为a＝(m,1),b＝(0,3),
所以|a|＝√m
2＋1,a·b＝m×0＋1×3＝3.
因为a⊥(a－b),
所以a·(a－b)＝0,
即a2－a·b＝m2＋1－3＝0,
解得m＝±√2.
3.(2025·浙江Z20 名校联盟联考)已知向量a＝(－1,1),b＝(2,0),向量a 在向量b 上的投影向量c＝(
)
A.(－2,0)
B.(2,0)
C.(－1,0)
D.(1,0)
答案 C
解析 因为向量a＝(－1,1),b＝(2,0),
所以向量a 在向量b 上的投影向量c＝a·b
|b |
2·b＝(－1,0).
4.(2025·北京延庆区模拟)已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足⃗AP＝1
2(⃗AC ＋⃗AD),则⃗AP·⃗AC＝(
)
A.4
B.5
C.6
D.8
答案 C
解析 以A 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
正方形ABCD 的边长为2,
则A(0,0),C(2,2),D(0,2),
可得⃗AC＝(2,2),⃗AD＝(0,2),
点P 满足⃗AP＝1
2(⃗AC ＋⃗AD)＝(1,2),
所以⃗AP·⃗AC＝1×2＋2×2＝6.
5.(2025·西安质检)在△ABC 中,点D 在边AB 上,且BD＝2DA,点E 满足⃗CD＝2⃗CE,若AB＝AC＝6,⃗
AB·⃗AC＝6,则|⃗AE|＝( )
A.√11
B.2√3
C.12
D.11
答案 A
解析 因为BD＝2DA,所以⃗AD＝1
3⃗AB.
因为⃗CD＝2⃗CE,所以E 为CD 的中点,
则⃗AE＝⃗AD＋⃗DE
＝⃗AD＋1
2⃗DC
＝⃗AD＋1
2(⃗AC －⃗AD)
＝1
2⃗AC ＋1
2⃗AD
＝1
2⃗AC ＋1
6⃗AB,
故|⃗AE|＝|
1
2⃗AC ＋1
6⃗AB|
＝√(
1
2⃗AC ＋1
6⃗AB)
2
＝√
1
4⃗AC
2＋1
36⃗AB
2＋1
6⃗AC ·⃗AB
＝√9＋1＋1＝√11.
6.(2025·南京质检)在△ABC 中,D 是BC 上一点,满足⃗BD＝2⃗DC,M 是AD 的中点,若⃗BM＝λ⃗BA＋μ⃗
BC,则λ＋μ＝( )
A.5
4
B.7
8
C.5
6
D.5
8
答案 C
解析 ⃗BM ＝1
2(⃗BA ＋⃗BD)
＝1
2(⃗BA ＋2
3⃗BC)
＝1
2⃗BA ＋1
3⃗BC,
所以λ＝1
2,μ＝1
3,
则λ＋μ＝1
2 ＋1
3 ＝5
6.
7.(2025·石家庄模拟)八卦是中国古老文化中用以解释自然,推演事物关系的工具,太极八卦示意图
如图.现将一副八卦简化为正八边形ABCDEFGH,设其边长为a,中心为O,则下列选项中不正确的
是( )
A.⃗AB·⃗AC ＝⃗AB·⃗AD
B.⃗OA·⃗OB＋⃗OC·⃗OF＝0
C.⃗EG和⃗HD是一对相反向量
D.|⃗AB－⃗BC ＋⃗CD＋⃗EF －⃗FG|＝a
答案 C
解析 A 中,因为∠ABC＝∠BCD＝135°,AB⊥CD,所以⃗AB·⃗AC －⃗AB·⃗AD＝⃗AB·⃗DC＝0,A 正确;
B 中,因为每条边对应的中心角为45°,
所以∠AOB＝45°,∠COF＝135°,
所以⃗OA·⃗OB＋⃗OC·⃗OF＝|⃗OA|·|⃗OB|cos 45°＋|⃗OC|·|⃗OF|cos 135°＝√2
2 |⃗OA|2－√2
2 |⃗OA|2＝0,B 正确;
C 中,⃗EG和⃗HD方向相反,但长度不等,因此不是一对相反向量,C 错误;
D 中,因为⃗AB＝－⃗EF,⃗BC＝－⃗FG,
所以|⃗AB－⃗BC ＋⃗CD＋⃗EF －⃗FG|＝|⃗CD|＝a,D 正确.
二、多选题
8.已知向量a,b 不共线,向量a＋b 平分a 与b 的夹角,则下列结论一定正确的是( )
A.a·b＝0
B.(a＋b)⊥(a－b)
C.向量a,b 在a＋b 上的投影向量相等
D.|a＋b|＝|a－b|
答案 BC
解析 作向量⃗OA＝a,⃗
OB＝b,
在▱OACB 中,⃗OC＝a＋b,⃗BA＝a－b,
由向量a＋b 平分a 与b 的夹角,
得▱OACB 是菱形,即|a|＝|b|,
对于A,a 与b 不一定垂直,A 错误;
对于B,(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0,
即(a＋b)⊥(a－b),B 正确;
对于C,a 在a＋b 上的投影向量
a·(a＋b)
|a ＋b|
2 (a＋b)＝a
2＋a·b
|a ＋b|
2(a＋b),
b 在a＋b 上的投影向量b·(a＋b)
|a ＋b|
2 (a＋b)＝b
2＋a·b
|a ＋b|
2(a＋b)＝a
2＋a·b
|a ＋b|
2(a＋b),C 正确;
对于D,由选项A 知,a·b 不一定为0,
则|a＋b|与|a－b|不一定相等,D 错误.
9.已知△ABC 是边长为2 的等边三角形,D,E 分别是AC,AB 上的两点,且⃗AE＝⃗EB,⃗AD＝2⃗DC,BD
与CE 交于点O,则下列说法正确的是( )
A.⃗AB·⃗CE＝－1
B.⃗OE＋⃗OC＝0
C.|⃗OA ＋⃗OB＋⃗OC|＝√3
2
D.⃗ED在⃗BC方向上的投影向量的长度为7
6
答案 BCD
解析 因为⃗AE＝⃗EB,
△ABC 是等边三角形,
所以CE⊥AB,
所以⃗AB·⃗CE＝0,A 错误;
以E 为坐标原点,⃗EA,⃗EC的方向分别为x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,
所以E(0,0),A(1,0),B(－1,0),C(0,√3),
D(
1
3 , 2√3
3 ),
设O(0,y),y∈(0,√3),
则⃗BO＝(1,y),⃗DO＝(−1
3 , y −2√3
3 ),
又⃗BO∥⃗DO,所以y－2√3
3 ＝－1
3y,
解得y＝√3
2 ,
即O 是CE 的中点,⃗OE＋⃗OC＝0,所以B 正确;
|⃗OA ＋⃗OB＋⃗OC|＝|2⃗OE＋⃗OC|＝|⃗OE|＝√3
2 .所以C 正确;
因为⃗ED＝(
1
3 , 2√3
3 ),⃗BC＝(1,√3),⃗
ED在⃗BC 方向上的投影向量的长度为⃗ED·⃗BC
|⃗BC |
＝
1
3 ＋2
2
＝7
6
,所以D 正确.
三、填空题
10.(2025·温州模拟)平面向量a,b 满足a＝(2,1),a∥b,a·b＝－√10,则|b|＝ .
答案 √2
解析 设b＝λa＝λ(2,1)＝(2λ,λ).
则a·b＝5λ＝－√10,
解得λ＝－√10
5 ,
则b＝(−2√10
5
,−√10
5 ),
所以|b|＝√(−2√10
5 )
2
＋(−√10
5 )
2
＝√2.
11.(2025·成都诊断)在△ABC 中,AC＝4,AB＝2,若G 为△ABC 的重心,则⃗AG·⃗BC＝ .
答案 4
解析 设BC 的中点为D.
因为G 为△ABC 的重心,
所以⃗AG＝2
3⃗AD＝2
3 × 1
2(⃗AB＋⃗AC)
＝1
3(⃗AB＋⃗AC),⃗
BC ＝⃗AC －⃗AB,
所以⃗AG·⃗BC ＝1
3(⃗AB＋⃗AC)·(⃗AC －⃗AB)
＝1
3(|⃗AC|2－|⃗AB|2)＝1
3(42－22)＝4.
12.(2025·镇江调研)大约在公元222 年,赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”,亦
称“赵爽弦图”(如图1).某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2 所示的图形,它是由3 个全
等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形,若D 为BE 的中点,则△DEF
与△ABC 的面积比为 ;设⃗AD＝λ⃗AB＋μ⃗AC,则λ＋μ＝ .
答案 1
7 6
7
解析 如图,连接AE,由题意知△ABD≌△BCE≌△CAF,且D,E,F 分别为BE,CF,AD 的中点.
所以S△DEF＝S△AEF
＝1
2S△AFC,
S△ABC＝S△AFC＋S△ABD＋S△BCE＋S△DEF
＝7S△DEF,
得
S△DEF
S△ABC
＝1
7.⃗
AD＝1
2(⃗AB＋⃗AE)
＝1
2⃗AB＋1
2 × 1
2(⃗AC ＋⃗AF)
＝1
2⃗AB＋1
4⃗AC ＋1
4⃗AF
＝1
2⃗AB＋1
4⃗AC ＋1
8⃗AD,
所以⃗AD＝4
7⃗AB＋2
7⃗AC,
所以λ＋μ＝4
7 ＋2
7 ＝6
7.
四、解答题
13.已知向量a＝(cos x,sin x),b＝(－√6,√2),x∈[0,π].
(1)若a⊥b,求x 的值;
(2)记f(x)＝a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x 的值.
解 (1)由题意,得－√6cos x＋√2sin x＝0,
所以tan x＝√3,
又x∈[0,π],所以x＝π
3 .
(2)f(x)＝a·b＝－√6cos x＋√2sin x
＝2√2sin(x−π
3),
因为x∈[0,π],所以x－π
3 ∈[−π
3 , 2π
3 ],
所以sin(x−π
3)∈[−√3
2 ,1],
所以f(x)∈[－√6,2√2],
即f(x)的最大值为2√2,
此时x－π
3 ＝π
2 ,则x＝5 π
6 ;
f(x)的最小值为－√6,
此时x－π
3 ＝－π
3 ,则x＝0.
14.在四边形ABCD 中,AB＝4,AD＝2√2,对角线AC 与BD 交于点E,E 是BD 的中点,且⃗AE＝2⃗EC.
(1)若∠ABD＝π
4 ,求BC 的长;
(2)若AC＝3,求cos∠BAD.
解 (1)在△ABD 中,AB＝4,AD＝2√2,∠ABD＝π
4 ,
由正弦定理得
AB
sin ∠ADB ＝
AD
sin ∠ABD,
所以sin∠ADB＝4×sin π
4
2√2
＝1,
因为0<∠ADB<π,
所以∠ADB＝π
2 .
所以BD＝2√2,
所以DE＝BE＝√2,AE＝√10.
所以cos∠AED＝cos∠BEC＝√5
5 .
因为⃗AE＝2⃗EC,
所以EC＝√10
2 .
在△BEC 中,由余弦定理得
BC2＝BE2＋EC2－2BE·EC·cos∠BEC
＝2＋5
2－2×√2× √10
2 × √5
5 ＝5
2,
所以BC＝√10
2 .
(2)法一 因为AC＝3,⃗AE＝2⃗EC,
所以|⃗AE|＝2,
在△ABD 中,E 为BD 的中点,
所以⃗AB＋⃗AD＝2⃗AE,
平方得|⃗AB|2＋|⃗AD|2＋2⃗AB·⃗AD
＝4|⃗AE|2,
即16＋8＋2×4×2√2×cos∠BAD＝16,
解得cos∠BAD＝－√2
4 .
法二 因为AC＝3,⃗AE＝2⃗EC,
所以AE＝2.
设DE＝BE＝x,在△ABD 中,由余弦定理得
cos∠ADB＝(2√2)
2＋4 x
2−4
2
2×2√2×2 x
.
在△AED 中,由余弦定理得
cos∠ADB＝(2√2)
2＋x
2−2
2
2×2√2× x
,
所以4 x
2−8
8√2 x ＝x
2＋4
4√2 x ,
解得x＝2√2,所以BD＝4√2.
在△ABD 中,由余弦定理得
cos∠BAD＝A B
2＋A D
2−B D
2
2× AB× AD
＝16＋8−32
16√2
＝－√2
4
