文档文本内容
重难点专训06 双变量问题的处理
题
解
方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题
变
型通法及
式提升............................................................................................................................2
题型一：构造函数法............................................................................................................................................2
题型二：比值法/差值法换元...............................................................................................................................3
题型三：消元法....................................................................................................................................................4
题
变
型四：
更主元法............................................................................................................................................5
题
双变量
处理
点问题
型五：
应用（
零
）............................................................................................................6
题
双变量
问题
型六：
应用（恒能成立
）............................................................................................................7
题
双变量
型七：
应用（证明不等式）................................................................................................................8
重难专题分层过关练............................................................................................................................9
巩固过关.................................................................................................................................................................9
创新提升...............................................................................................................................................................11
导数双变量问题的常用解法
导数领域中，不少问题会涉及两个变量（如
与
、
与
等）。由于直接处理双变量问题难度较大，
因此将双变量转化为单变量，就成为解决这类问题的核心突破口。
一、消元法
若两个变量恰好是某一元二次方程的根，便可借助根与系数的关系（韦达定理）完成消元。通过韦达
定理能求出相关表达式，此时可考虑用其中一个变量表示另一个变量，从而实现变量数量的简化。
二、构造函数法
针对等价形式的双变量不等式问题，可先设定一个中间量（例如令某一特定式子为t），再对不等式
进行适当变形，使变形后的等式两边不仅各自只含一个变量，还具备完全相同的表达式结构。此时将这个
相同的结构定义为一个新函数，问题通常就能转化为研究该新函数的单调性问题。
三、换元法
这是解决双变量问题最核心、也最常用的方法。具体操作是先将原式进行齐次化处理，把式子转化为
类似
或
的形式；完成齐次化后，令
或
作为单一变量，以此达到减少变量数量
的目的。
四、变换主元法
当题目中有多个变量时，可选择其中一个变量作为主元，将其他变量视为常数，将问题转化为关于主
元的函数问题进行求解。
在解决多变量问题时，需仔细分析题目条件，灵活选用合适方法，将复杂的多变量问题转化为熟悉的
单变量问题进行求解。
题型一：构造函数法
典例1-1．若对于任意的
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例1-2．已知函数
（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
变式1-1．已知函数
，
，
且
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）当
时，若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
变式1-2．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)设
，证明：对任意
，
，
．
题型二：比值法/差值法换元
典例2-1．已知函数
.
(1)求出
的极值点；
(2)证明：对任意两个正实数
，且
，若
，则
.
典例2-2．已知函数
，其中为自然对数的底数.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个零点
，证明：
.
变式2-1．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)设函数
在其定义域内有两个不同的极值点
，且
，若不等式
恒成立，其中
，求实数
的取值范围.
变式2-2．已知函数
，
．其中为自然对数的底数．
（1）若
，讨论
的单调性；
（2）已知
，函数
恰有两个不同的极值点
，
，证明：
．
题型三：消元法
典例3-1．已知函数
在定义域上有两个极值点
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3-2．已知函数
，在定义域上有两个极值点
．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)求证:
变式3-1．已知函数
，
．
(1)若直线
( 为自然对数的底数)与函数
，
的图象均相切，求实数
的值．
(2)设函数
．
（i）证明：函数
有两个极值点
，
；
（ii）对（i）中的两个极值点
，
，若
恒成立，求实数
的取值范围
变式3-2．设向量
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设函数
，若
存在两个极值点
，证明：
.
题型四：变更主元法
典例4-1．已知函数
，
．
（1）若
，
，求实数的值．
（2）若
，
，求正实数
的取值范围．
典例4-2．已知函数
，
．
(1)若直线
与
的图象相切，求实数k 的值；
(2)设
，比较
与
的大小，并说明理由．
变式4-1．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(3)证明：对任意的
，有
．
题型五：双变量
处理
点问题
应用（
零
）
典例5-1．已知函数
有两个极值点
且
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)证明:
.
典例5-2．已知
.
(1)若曲线
在
处的切线与
垂直，求实数
的值；
(2)若函数
存在两个不同的极值点
，求
的取值范围.
变式5-1．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个零点
，且
，证明：
.
变式5-2．已知函数
，
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若函数
有两个极值点
，求
的最小值.
题型六：双变量
问题
应用（恒能成立
）
典例6-1．
，且
，不等式
恒成立，则
的取值范围为 .
典例6-2．已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，对于任意
，
，都有
恒成立，求m 的取值范围.
变式6-1．已知
，
，若对任意
，都存在
，使得
，则实数
的取值范围为 ．
变式6-2．已知函数
(1)求
在区间
的最大值和最小值；
(2)讨论函数
的单调区间与极值；
(3)若
，对任意
，总存在
，使得不等式
成立，试求实数m 的取值范
围．
题型七：双变量应用（证明不等式）
典例7-1．已知函数
，
，设
.
(1)若
，求
的最大值；
(2)求
在
上的最小值；
(3)若
有两个不同的零点
，求证：
.
典例7-2．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)当
时，若关于
的方程
有两个实根
和
，求证：
．
变式7-1．已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)求函数
的极值；
(3)若关于
的方程
有两个根
和
，求证：
．
变式7-2．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，
为函数
的两个零点，求证：
．
巩固过关
1．已知
，其中
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，对任意
，存在
，使
，则
的最小值
为（ ）．
A．1
B．
C．
D．
3．已知函数
．
(1)求函数
在
上的最值及其零点个数；
(2)若对于任意的
，均有
，求
的取值范围．
4．已知函数
，
(1)若
在定义域内单调递增，求实数
的取值范围；
(2)当
时，若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的最小值；
(3)若
存在两个不同的极值点
，
，且
，求实数
的取值范围．
5．设函数
．
(1)
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个极值点
且
，证明：
．
6．已知函数
(1)若函数f（x）在
处取得极值，求m；
(2)在（1）的条件下，
，使得不等式
成立，求a 的取值范围.
7．已知函数
.且函数
有两个零点，
(1)求实数a 的取值范围；
(2)设
的两个零点
，
且
，求证：
.
8．已知函数
，其中
(1)若
，证明f（x）在
上存在唯一的零点.
(2)若
，设
为
在
上的零点，证明：
在
上有唯一的零点
，且
创新提升
1．已知实数
满足
，则满足条件的
最小正整数为（ ）．
A．1
B．3
C．5
D．7
2．已知函数
.
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)若
有2 个极值点
，求证：
.
3．已知函数
．
(1)求函数
的最大值；
(2)当
时，
有两个不同的零点
，
，不等式
恒成立，求实数
m 的取值范围．
4．已知函数
.
(1)若函数
在定义域上单调递增，求
的取值范围；
(2)若
；求证：
；
(3)设
，
是函数
的两个极值点，求证：
.
