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专题03 平面向量
备战2026 年高考数学命题背景探究（全国通用）
目录
真题命题背景11 以向量平行为命题背景.......................................................................................1
真题命题背景12 以向量垂直为命题背景.......................................................................................2
真题命题背景13 以平面向量基本定理为命题背景.......................................................................3
真题命题背景14 以平面向量线性运算解决几何问题为命题背景...............................................4
真题命题背景15 以平面向量数量积为命题背景...........................................................................6
真题命题背景16 以投影向量为命题背景.......................................................................................8
真题命题背景17 以平面向量模长为命题背景...............................................................................9
真题命题背景18 以平面向量夹角为命题背景.............................................................................10
基础过关练...................................................................................................................12
提升巩固练...................................................................................................................17
培优压轴练...................................................................................................................24
真题命题背景11 以向量平行为命题背景
向量的平行关系
，
，
真题练1．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量
，若
，则
．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于
的方程，解方程即可求得实数
的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：
，
解方程可得：
.
故答案为：
.
1
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真题命题背景12 以向量垂直为命题背景
向量的垂直关系
真题练1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量
．若
，则
．
【答案】
/
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：
，解得
.
故答案为：
.
真题练2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求
的值.
【详解】因为
，所以
，
所以
即
，故
，
故选：D.
真题练3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出
，
，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
2
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真题命题背景13 以平面向量基本定理为命题背景
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一
对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
应用平面向量基本定理应注意的问题
(1) 只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
(2) 利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减运算或数乘运算.
真题练1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D 在边AB 上，
，所以
，即
，
所以
．
故选：B．
真题练2．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】B
【分析】方法一：以
为基底向量表示
，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求
，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以
为基底向量，可知
，
3
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则
，
所以
；
方法二：如图，以
为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，可得
，
所以
；
方法三：由题意可得：
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
.
故选：B.
真题命题背景14 以平面向量线性运算解决几何问题为命题
背景
向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
4
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加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a 与b 的相反向量
－b 的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ 与向量a 的
积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0 时，
λa 与a 的方向相同；当
λ<0 时，λa 与a 的方向
相反；当λ＝0 时，λa＝
0
λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a
＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应
抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．
2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并
同类项的运算，在计算时可以进行类比．
真题练1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的
结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，
其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速
大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2 所示（线
段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
5
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A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
【答案】A
【分析】结合题目条件和图
写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，
得出真风风速的大小，即可由图得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：
，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为
，船行风速对应的向量为
，
∴
，船行风速：
，
∴
，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
真题命题背景15 以平面向量数量积为命题背景
向量的数量积
真题练1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
6
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【详解】解：∵
，
又∵
9
∴
，
∴
故选：C.
真题练2．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量
，
的夹角的余弦值为
，且
，
，则
．
【答案】
【分析】设
与
的夹角为
，依题意可得
，再根据数量积的定义求出
，最后根据数量积的运
算律计算可得．
【详解】解：设
与
的夹角为
，因为
与
的夹角的余弦值为
，即
，
又
，
，所以
，
所以
．
故答案为：
．
真题练3．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，
，
，
．
【答案】
【分析】由已知可得
，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得
，
因此，
.
故答案为：
.
7
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真题命题背景16 以投影向量为命题背景
向量的投影
①定义：如图，设a，b是两个非零向量，⃗AB = a，⃗CD = b，作如下的变换：过⃗AB的起点A和终点B，
分别作⃗CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到⃗A1B1，则称上述变换为向量a向向量b投影，⃗
A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.
真题练1．（2020·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知P 是边长为2 的正六边形ABCDEF 内的一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到
在
方向上的投影的取值范围是
，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到
在
方向上的投影的取值范围是
，
结合向量数量积的定义式，
可知
等于
的模与
在
方向上的投影的乘积，
所以
的取值范围是
，
故选：A.
8
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真题命题背景17 以平面向量模长为命题背景
向量的模
，则
的模
真题练1．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】先求得
，然后求得
.
【详解】因为
，所以
.
故选：D
真题练2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得
，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，因为
，则
，
则
，解得
.
则
，则
.
故答案为：
.
真题练3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，
满足
，
，则
．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令
，结合数量积的运算
律运算求解.
【详解】法一：因为
，即
，
则
，整理得
，
又因为
，即
，
则
，所以
.
9
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法二：设
，则
，
由题意可得：
，则
，
整理得：
，即
.
故答案为：
.
真题练4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】由
得
，结合
，得
，由此即可得解.
【详解】因为
，所以
，即
，
又因为
，
所以
，
从而
.
故选：B.
真题命题背景18 以平面向量夹角为命题背景
向量的夹角
真题练1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得
，从而利用平面向量余
10
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弦的运算公式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
，
所以
.
故选：B.
真题练2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为
,所以
,
即
,即
,所以
.
如图,设
,
由题知,
是等腰直角三角形,
AB 边上的高
,
所以
,
,
11
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.
故选:D.
真题练3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：
,
,即
,解得
,
故选：C
一、单选题
1．（2025·广西·模拟预测）已知向量
，则下列选项中与
同向的单位向量是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】A
【分析】根据单位向量的定义，先求出
，计算
即得结果.
【详解】因
，则
，
故与
同向的单位向量为
.
故选：A.
2．（2025·湖南湘潭·一模）平面向量
，
， 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形
12
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的边长均为1，则
（ ）
A．-5
B．5
C．1
D．-1
【答案】C
【分析】可将各平面向量用坐标形式表示，进而求解
【详解】以网格中左下角一点为原点建立平面直角坐标系，则各向量可用坐标表示
易得
，
，
.
因此，
故选：C
3．（2025·甘肃甘南·三模）
中，若
，
，
，则向量
可用
，
表示为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算直接求解即可.
【详解】在
中，
，
则
.
又因为
，所以
.
故选：A
4．（2025·福建三明·模拟预测）已知
，
，若
，则
（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出
和
，再由向量共线的坐标表示列方程求解.
【详解】由
，
，得
，
，
若
，则
，解得
.
故选：B.
5．（2025·安徽·模拟预测）已知非零向量
满足
，向量
在向量
上的投影向量为
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由投影向量的计算公式可得
，再由
及
化简可得结果.
【详解】向量
在向量
上的投影向量为
，得
.
由
得
，
又
，则
，
因为
是非零向量，故
，解得
.
故选：C.
6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知向量
，
且
，则向量
与
夹角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知，利用平面向量夹角公式求解.
【详解】
，
，
，
，
14
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∴
，则
.
故选：B
7．（2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为
，一艘船从河岸边的某地出发，向河
对岸航行．已知船在静水的速度大小为
，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方
式航行到对岸时，所需时间为6 分钟，则水流速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先计算出船的实际速度，用向量表示水流速度，实际船速与船的静水速度的关系，利用向量的数
量积的有关运算法则可求水流速度.
【详解】如图：
船的实际过河速度为：
.即
.
又
，即
.
所以
，
所以
，
所以
.
即水流速度为：
.
故选：B
8．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量
，若
，则
的值为（ ）
A．10
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标关系求出
，再结合向量的坐标运算和模长公式求解.
【详解】由
，可得
，解得
，
15
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，
，则
.
故选：D.
二、多选题
9．（2025·全国·模拟预测）设向量
，
满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
与
的夹角为
D．
与
的夹角为钝角
【答案】AC
【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，垂直的坐标表示，向量夹角的坐标公式即可判断．
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，
，
所以
，
与
不垂直，故B 错误；
对于C，
，
，
，
，
，所以
与
夹角为
，故C 正确；
对于D，
，
与
的夹角不为钝角，故D 错误；
故选：AC．
10．（2025·河北保定·三模）已知平面向量
．
与
的夹角为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上的投影向量为
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断.
【详解】对于A，因为
，即不存在实数
使
，所以
与
不共线，故A 不正确；
对于B，
，所以
，故B 正确；
对于C，因为
，
，所以
故C 正确；
16
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对于D，
在
上的投影向量为
.故D 不正确.
故选：BC.
一、单选题
1．（2025·河北唐山·模拟预测）非零向量
满足
与
垂直，则
与
的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量垂直数量积为零可求得
与
的关系式，即可求得夹角.
【详解】易知
，即
；
又
，所以
，即
；
因此
，
又
，所以所求夹角为
.
故选：C
2．（2025·陕西西安·模拟预测）若非零向量
，
相互垂直，且
，则满足
的
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据非零向量
，
相互垂直及模长关系设出向量
，
，代入
，通过向量点
积及模长运算得出关于
的方程，解方程求出
的值．
【详解】因为向量
，
相互垂直，且
，不妨设
，
，
17
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则
，
解得
.
故选：B．
3．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知
为坐标原点，直线
与圆
相交于
，
两点，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】根据直线的定点可知，直线必过圆心，由向量分解运算可得结果.
【详解】圆
即
，圆心为
，半径
，
又直线
恒过定点
，所以直线恒过圆心，
又直线与圆交于
，
两点，所以
,
所以
，
.
故选：D.
4．（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形
的边长满足
，以
为圆心的圆与
相切
于
，则
（ ）
A．
B．
C．8
D．
【答案】A
【分析】由
，根据等面积可得
，由
及向量数量积几何意义求解即可.
【详解】由已知条件可知，
，因此
．
故
．
故选：A
18
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5．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为
的等边
，动点
在以
为直径的半圆上.若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧
的方程为：
，设
，根据向量的坐
标运算法则算出
关于
的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可．
【详解】由题意，以
所在直线为
轴，
的垂直平分线为
轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得
，
，
，
半圆弧
的方程为：
，
设
，则
，
，
，
由
得：
，
解得：
，
所以
，
19
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因为
在
上，所以
，
又
，
则可设
，
，
，
将
，
代入
整理得：
由
得
，
所以
，
，
故
的取值范围是
.
故选：D.
6．（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从A 港口到B 港口的航行任务，B 港口在A 港口的正北方向．
已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最
短．则该船完成此段航行的实际速度为（ ）
A．2m/s
B．
m/s
C．4m/s
D．
m/s
【答案】B
【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模长即可求解.
【详解】设船在静水中的速度为
，水流速度为
，船实际航行速度为
，则
，
则
，设
，
由船需要准确到达正北方向的B 点，得
，
则
，解得
，
而
，于是
，
，
所以该船完成此段航行的实际速度为
m/s.
故选：B.
20
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7．（2025·辽宁大连·一模）设单位向量
，已知
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，求出
，再利用不等式
即可求解.
【详解】设
，
因
为单位向量，
，
则
，
则
，等号成立时
方向相反，
故
的最小值为
.
故选：C
8．（2025·浙江·二模）已知向量
，
，则
，
（
，
），则下列
表述正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对
，使得
B．存在唯一的实数对
，使得
C．存在唯一的实数对
，使得
D．存在唯一的实数对
，使得
【答案】C
【分析】由题意
，
，由向量平行的充要条件判断A；由
向量垂直的充要条件判断B；由向量相等的充要条件判断C，由向量模的计算公式判断D.
【详解】因为向量
，
，则
，
，
对于A，
当且仅当
，即
，
即
，由此可知存在无数组实数对
，使得
，故A 错误；
对于B，
当且仅当
，
即
，即
，
当
时，该方程不成立，此时不存在实数对
，使得
，
当
时，此时
，由此可知存在实数对
，使得
，
当
且
时，此时存在无数对实数对
，使得
，故B 错误；
21
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对于C，
当且仅当
，解得
，故C 正确；
对于D，
，
即
，进而可得
故当
或者
时，此时有无数组实数对
，使得
，故D 错误.
故选：C.
二、多选题
9．（2025·河北衡水·模拟预测）在边长为3 的等边三角形
中，
，则下列结论正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】以
为基底，表示
，并通过数量积运算进行判断.
【详解】对于A：
，A 错误；
对于B：
，所以
，B 正确；
对于C：因为
，
所以
，
所以
，C 正确；
对于D：
，D 正确.
故选：BCD.
10．（2025·江西新余·模拟预测）已知矩形
中，
，
，
，
，其中
22
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，
，
，则（ ）
A．
是定值
B．若
，则
C．
D．
【答案】BCD
【分析】举例可说明
不是定值，当
时，由
可确定
的值，再利用向量的线性运算可求
，设线段
的中点
，则
，再利用基本不等式可确定C，由
即可确定D.
【详解】当
时，
与
重合，
，当
时，，
与
重合，
，故A 错误；
当
时，
，而
，故
，
则
，故
正确；
取线段
的中点
，因为
，故点
在以
为圆心、
为半径的圆上,与
分别交于
，且在矩形
内（含边上位置），
，
，
当点
在
处时，
取得最大值
，
23
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，故
正确；
，故
正确.
故选：
.
一、单选题
1．（2025·广东茂名·一模）向量
与
在单位向量
上的投影向量均为
，且
，当
与
的夹角
最大时，
（ ）
A．8
B．5
C．
D．
【答案】D
【分析】建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示出
、
，利用余弦定理确定
，利用
面
积得到
，由此推断
最大时，
最大，
取最小值，利用坐标运算得到：
，
由二次函数性质求最值即可.
【详解】
设为
轴正半轴上的单位向量，
令
，
，
，
如图所示，设
与
的夹角为
，若
，
在
中，由余弦定理有：则
，
24
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而
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
有根据正弦定理有：
，即
，
整理有：
，所以
，
当
与
的夹角最大时，
最大，
取最小值，
因为
，
当且仅当
时，取等号，所以当
与
的夹角最大时，
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：
本题关键在于建立适当的平面直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示，结合二次函数性质求值.
2．（2025·河南·一模）已知
，且
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，并利用位置关系求得
，设
，结合平面向量线
性运算以及余弦定理可求得当
三点共线时取得最小值
.
【详解】如图所示：
由题意得
.
设
，
25
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则
.
作点
关于直线
的对称点
，连接
.
由题可知
，
则
，
在
中，由余弦定理可得
；
所以
，
当且仅当
三点共线时取等号.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将表达式中的
进行转化，记
，再结合平面向量线性运
算以及余弦定理可求得结论.
3．（2025·湖南邵阳·二模）已知向量
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，
，向量加法的三角形法则得到
，从而将
转化为
，将
转化为椭圆上的点到
的中点的距离问题求解即可.
【详解】取
，
为线段
的中点，记
，则
．
．
又
，
点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，
长半轴的长为4，短半轴的长为
，
．
26
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故选：A.
4．（2025·安徽·模拟预测）向量
与
在
上的投影向量均为
，
，当
最大时，
则
（ ）
A．
B．6
C．12
D．16
【答案】C
【分析】根据题意设
，
，
与
的夹角为
，利用三角形面积公式，
结合向量数量积求法，得到
，根据
的取值范围即可求解.
【详解】设
，
，所以
，
因为
，所以
，所以可设
，
，
与
的夹角为
，
若
，
，
则知
，
，
即
，
，
，
则当
最大时，
最大，即
最小，即此时
，
当且仅当
时成立.
故选：C
二、多选题
5．（2025·湖北黄冈·二模）设平面向量
的夹角为
，若
，
且
，则
（ ）
A．当
时，
三点共线
B．当
时，
平分
C．当
时，
的最大值为2
D．当
时，
的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于A，利用平面向量基本定理即得；对于B，先证
，得
三点共线，过点
作
27
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，利用中位线定理和三角形相似推得
，即可证得；对于C，D，通过建系，设
，将
分别用
的三角函数表示，利用三角恒等变换将目标函数化成正弦型函数，结合正
弦函数的单调性即可求得其范围或最值.
【详解】对于A，当
时，
，
由平面向量基本定理，可得
三点共线，故A 正确；
对于B，如图，当
时，由
，可得
，
即
，故
三点共线，且
，过点
作
，交
于点
，
因
，
，则
，而
，故
，
则
，由
可得
，则
，故
平分
，即B 正确；
对于C，如图，以
为坐标原点，
所在直线为
轴,建立平面直角坐标系，
则
，即
，因
，不妨设
，
由
可得
，故得
，
解得
，故
，
其中
，故
的最大值为
，故C 错误；
28
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对于D，根据C 项建系，已得
，
则
，
因
，故得
，即
的取值范围为
，故D 正确.
故选：ABD.
6．（2025·四川巴中·模拟预测）在
中，角
均不为直角，角
的对边分别为
，
是一
动点，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．若
，则
过
的垂心
C．若
，则
过
的重心
D．若
，则
过
的外心
【答案】AB
【分析】利用余弦定理结合向量数量积的定义计算可判断A；利用向量数量积的运算律计算得
，
可说明
，即可判断B；假设
过
的重心，可设
，根据平面向量基本定理
计算化简可得
，此式不一定成立，由此可判断C；将原式变形为
，可得
过
的内心，即可判断D.
【详解】对于A，根据余弦定理，
，
则
，故A 正确；
对于B，
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，
即
，则
过
的垂心，故B 正确；
对于C，假设
过
的重心，则
与
边上的中线共线，可设
，
，
则
，由正弦定理可得
，即
，此式不一定成立，
所以
不一定过
的重心，故C 错误；
对于D，
，
其中
表示角
的平分线所在向量，所以
过
的内心，故D 错误.
故选：AB.
三、填空题
7．（2025·北京·模拟预测）已知平面向量
满足
且
，
则
的最大值为 .
【答案】
【分析】先根据已知条件求出向量
与
的夹角，再通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，然后根据
得到点
的轨迹方程，最后根据向量数量积的坐标运算求出
的最大值.涉及的知识点
有向量的数量积公式、向量夹角公式、向量数量积的坐标运算以及圆的方程.
【详解】设向量
与
的夹角为
，
.根据向量数量积公式，
已知
，
，
，可得：
解得
，所以
.
不妨设
，
，
.
，
.
因为
，所以
.
展开可得
，配方得
.
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这表明点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆.
.设
，即
.
根据点到直线的距离公式，圆心
到直线
的距离
.
因为点
在圆上，所以圆心到直线的距离
（为圆的半径），即
.
则
，即
.
解不等式可得
.
所以
的最大值为
，即
的最大值为
.
故答案为：
.
8．（2025·山东青岛·二模）平面向量满足
，
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据向量不共线时，借助平行四边形，可得
，进而利用余弦定理以及基本不等式即
可求解最值.
【详解】如图：当
、
不共线时，取
，
，则
，
，
故
，故
，
在
中，
,
故
，
故
，
由于
，故
，故
，当且仅当
时取等号，
则
，由于
，故
的最大值为
，
由于
的夹角为
，即为
,
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由于
与
互补，故
的最小值为
，
当
、
共线时，不妨设
，则
，可得
，
当
时，此时
的夹角为
，即为
,
时，此时
的夹角为
，即为
,
综上可知：
的夹角的最小值为
故答案为：
9．（2025·湖南长沙·三模）已知向量
，则当
取得最大值时，
．
【答案】5
【分析】先运用向量坐标运算得到
的坐标，再分别设
，
与
轴的夹角为
，
，然后将
用
，
表示出来，再用基本不等式求函数取得最大值时的
.
【详解】由
，得
，代入
和
，
，所以
，
设
为
与 x 轴正方向的夹角，则
，
设
为
与 x 轴正方向的夹角，则
，
夹角
，其正切值为
，
所以
，令
，
当
时，
，
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当且仅当
，即
时，
取到最大值
，
又当
时，
，
综上：当
时，
取到最大值，即
取到最大值.
故答案为：5.
10．（2025·河北廊坊·模拟预测）如图，在
中，
，点
在以
为直径的半
圆（
外）内及边界上运动，若
，记
的最大值与最小值分别为
，则
.
【答案】
/
【分析】设
、
分别为
、
的中点，则
，由三点共线可得
，此时点
与点
重合，
最小，做直线与
平行，且与半圆相切，由三点共线知点
在
直线上时，
最大，设直线与
的延长线相交于点
， 设
，求出
，可得答案.
【详解】设
为
的中点，连接
，
设
为
的中点，即点
为以
为直径的半圆的圆心，
则
，
当点
在
上时，由三点共线可得
，此时点
与点
重合，
最小，即
，
做直线与
平行，且与半圆相切，连接点
与切点
，此时
最大，
即由三点共线知点
在直线上时，
最大，
设直线与
的延长线相交于点
，
连接
，则
，延长
与相交于点
，
因为
，所以
为半圆的一条切线，所以
，
由
得
，
可得
为等边三角形，
，所以
，
由
得
，又
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，
，
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，则
，
由
得
，
，
可得
，
，
所以
，
因为
三点共线，所以
，可得
，
所以
的最大值为
，
则
.
故答案为：
.
34
