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专题05 一元函数的导数及其应用
（十四大题型四大易错题）
【题型1 导数的定义及应用】
1．函数f (x)的定义域为R ,f (2)=3，若∀x∈R ,f
′ (x)>1
，则f (x)> x +1的解集为
（ ）
A．(−2,2)
B．(2,+∞)
C．(−∞,2)
D．(−∞,+∞)
2．已知(1+ x)
6=a0+a1 x +a2 x
2+⋯+a6 x
6，则∑
i=1
6
❑iai=（ ）
A．48
B．192
C．128
D．72
【题型2 导数的运算/公式法则的灵活应用】
3．求下列函数的导数．
(1)f (x)=−2 x
3+ 4 x
2
(2)f ( x)= x e
x
(3)f ( x)= x +1
x−1
(4)y =cos(2 x−π
4 )
(5)y = ln (4 x−1)
【题型3 “在"曲线上一点的切线】
4．已知函数f (x)是偶函数，当x>0时，f (x)= x
3+2 x，则曲线y = f (x)在x =−1处的切线
方程为（ ）
A．y =−5 x−2
B．y =−5 x−8
C．y =5 x +2
D．y =5 x +8
1
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5．已知函数f (x)=ax +a+cos x (a∈R) ，则曲线y = f (x)上一点(0,−2)处的切线方程为
（ ）
A．2 x + y +2=0
B．x + y +2=0
C．3 x + y +2=0
D．3 x + y −2=0
6．曲线f ( x)=3 x
2−e
x在(0,f (0))处的切线方程为（ ）
A．x + y +1=0
B．x−y +1=0
C．x−y −1=0
D．x + y −1=0
7．函数f (x)=|x
3|+1在x =−1处的切线方程为（ ）
A．y = 4 x +6
B．y =−2 x +6
C．y =−3 x−3
D．y =−3 x−1
8．函数f (x)= 2 x−3
x +1
的图象在点(1,f (1))处的切线方程为 .
9．已知f ( x)= x ln( x +3)，则f ( x)在(−2,0)处的切线方程是 ．
【题型4 “过"曲线上一点的切线】
10．过原点可以作曲线y = f (x)= x
2−|x|+1的两条切线，则这两条切线方程为（ ）
A．y = x和y =−x
B．y =−3 x和y =3 x
C．y = x和y =−3 x
D．y =−x和y =3 x
11．过点P(1,−3)作曲线y =2 x
3−3 x的切线，请写出切线的方程 .
12．过点(−1,0)作曲线y = x
3−x的切线，则切线的方程为 .
13．已知函数f (x)= 1
3 x
3+ f
′ (1) x
2+1，其导函数为f
′ (x)，则曲线f (x)过点P(3,1)的切线方
程为
．
【题型5 两条曲线的公切线问题】
14．斜率为1 的直线l与曲线y =ln(x +a)和圆x
2+ y
2= 1
2
都相切，则实数a的值为（ ）
A．0 或2
B．−2或2
C．−1或0
D．0 或1
15．曲线y =2√x与y =2+ln x的公切线方程为 .
2
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16．试写出曲线y =2e
x与曲线y =2ln (x +2)的一条公切线方程 .
【题型6 已知切线条数求参数】
17．若过点(0,2)可作曲线y = x
3+3 x
2+ax +a−2的三条切线，则a的取值范围是（ ）
A．(−3,−1)
B．(−2,2)
C．(4,5)
D．(4,6)
【题型7 利用导数研究函数的单调性】
18．已知函数f ( x)=cos x−2 x
2
π
2 +2，则不等式f ( x)> 3
2的解集为（ ）
A．(−∞,−π
3 )∪(
π
3
,+∞)
B．(−π
3
,π
3 )
C．(−∞,−π
2 )∪(
π
2
,+∞)
D．(−π
2 ,π
2 )
19．已知函数f ( x)= ln( x−2)+ ln(4−x)，则f (x)的单调递增区间为（ ）
A．(2,3)
B．(3,4)
C．(−∞,3)
D．(3,+∞)
20．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)= x (1−ln x)，则当x<0时，
f (x)的单调递增区间为（ ）
A．(−∞,−e)
B．(−e,0)
C．(−∞,0)
D．(−1,0)
21．已知f (x)=3−x
2−2cos x，设a=2
−0.5，b= √3
3
，c = log 1
3
2，则f (a)，f (b)，f (c)的
大小关系为（ ）
A．f (c)>f (a)>f (b)
B．f (b)>f (a)>f (c)
C．f (b)>f (c)>f (a)
D．f (c)>f (b)>f (a)
【题型8 利用导数研究函数的单调性（含参问题讨论单调性）】
22．若函数f (x)=e
x
2−ax在区间(1,3)上单调递增，则a的可能取值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
23．若函数f ( x)= x
2
2 −ln x在区间(m,m+ 1
3 )上不单调，则实数m 的取值范围为（ ）
3
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A．0<m< 2
3
B．2
3 <m<1
C．2
3 ≤m≤1
D．m>1
24．若函数f (x)= x
2−ax + ln x在区间(1,e)上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[3,+ ∞)
B．(−∞,3]
C．[3,e
2+1]
D．[3,e
2−1]
25．若函数f ( x)=(ax +1)e
x在[1,2]上为增函数，则a 的取值范围是（ ）
A．[−1
2 ,+ ∞)
B．[−1
3 ,+∞)
C．[−1
4 ,+ ∞)
D．[0,+∞)
26．若函数h(x)=ln x−1
2 a x
2−2 x在[1,4]上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,−1]
B．(−∞,−1)
C．(−∞,−7
16]
D．(−∞,−7
16)
27．已知函数f ( x)=e
x−a ln x在区间(1,2)单调递增，则a的最大值为（ ）
A．1
B．e
C．e
2
D．2e
2
28．已知函数f (x)=ae
x−1
2 x
2在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为（ ）
A．e
B．1
C．e
−2
D．e
−1
【题型9 用导数求函数的极值/最值（不含参）】
29．函数f (x)=(x−2)e
x−e
2 x−2的极小值为（ ）
A．e
2−2
B．−2e
2−2
C．2−2e
2
D．−2−e
2
30．当x =2时，函数f (x)= x
3+b x
2−12 x取得极值，则f (x)在区间[−4,4]上的最大值为
（ ）
4
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A．8
B．12
C．16
D．32
31．函数f (x)=sin x−(x +2)cos x−1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为（ ）
A．−2π−3,π+1
B．−2π−3,−3
C．−3,π+1 D．
−3,2
32．已知角α为锐角，则
1
2sin
2α
+
1
cos
2α
−tan α的最小值为（ ）
A．2
B．13
3 −√3
C．1
D．10
3 −√3
3
【题型10 用导数求函数的极值/最值（含参）】
33．已知正数a,b满足e
2a
8 +2b≤a+ 1
2 lnb+1，则e
a+b=（ ）
A．9
4
B．3
2
C．1
D．3
4
34．已知函数f (x)= xe
x+a在区间[0,1]上的最小值为1，则实数a 的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
35．若e
x+e
2 x ≥a(x
2−x ln x)(a>0)，则a 的取值范围为（ ）
A．(0,e
2]
B．(0,e
2
2 ]
C．[
1
e ,e
2]
D．[
1
e ,e
2
2 ]
【题型11 根据函数的极值（点）求参数】
36．已知函数f ( x)=m x
2−xln x存在极小值点x0
，且f ( x0)<−e
3，则实数m的取值范围
为（ ）
A．(0, 1
e
2 )
B．(0, 2
e
2 )
C．(0, 1
e
3 )
D．(0, 2
e
3 )
37．已知0 是函数f (x)= x
3+a x
2+1的极大值点，则a的取值范围为（ ）
5
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A．(−∞,0)
B．(0,+∞)
C．(−∞,−2
3)
D．(−2
3 ,+∞)
38．若函数f (x)=e
x−ax
在区间(0,2)上有极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(0, 1
2)
B．(1,e
2
2)
C．(1,e
2)
D．(0, 2
e)
39．已知函数f (x)=ln x
e❑
x 的极值点为x0，则e
1
x0 ln x0=（ ）
A．e❑
2
B．2
C．1
e
D．1
40．已知函数f (x)=√3sinωx cosωx −1
2 sin(2ωx −π
2 )（ω∈R，且ω>0），x∈R，
若函数f (x)在区间(0,2π)上恰有3 个极大值点，则ω的取值范围为（ ）
A．[
13
6 , 19
6 )
B．(
13
6 , 19
6 ]
．
C．[
13
12 , 19
12)
D．(
13
12 , 19
12]
【题型12 根据函数的最值求参数】
41．若函数f (x)=¿的最小值是−2，则实数m的取值范围是（ ）
A．m<0
B．m≤0
C．m>0
D．m≥0
42．函数f (x)= x
2+(a−1) x−3 ln x在(1,2)内有最小值，则实数a 的取值范围为（ ）
A．(−3
2 ,2)
B．[−3
2 ,2]
C．(−4
3 ,2)
D．(−4
3 ,1]
43．已知函数y = 1
3 x
3−x
2−3 x +a，a∈R，在区间(t −3,t +5)上有最大值，则实数t 的
取值范围是（ ）
A．−6<t <0
B．−6<t ≤0
C．−6<t <2
D．−6<t ≤2
6
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44．已知f (x)=2 x
3−6 x
2+m（m为常数）在[−2,2]上有最大值3，则函数f (x)在[−2,2]上
的最小值为（ ）
A．−3
B．−5
C．−37
D．−39
【题型13 利用导数求解不等式恒成立与有解问题】
45．已知函数f ( x)= m
2 x
2−x−ln x (m∈R).
(1)当m=2时，求函数f ( x)的单调区间；
(2)若∀x>0，不等式f ( x)> x
2恒成立，求实数m的取值范围.
46．已知函数f ( x)=ax−ln(1−x)(a∈R)．
(1)求曲线y = f ( x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)若f ( x)≥0恒成立，求a的值
47．已知函数f (x)=loga x
x
a
(a>0且a≠1).
(1)当a=2时，判断f (x)的单调性；
(2)若f (x)≥−1恒成立，求a的值.
48．已知函数f (x)= 2ln x + x +a
x
(a∈R)
(1)若a=2，求f (x)的单调区间.
(2)若对∀x∈(0,+∞)，f (x)≤xe
x恒成立，求实数a的取值范围
7
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49．已知函数f (x)=ln(x +1)−mx , g(x)=cosmx −1，其中m∈R.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)+ g(x)≤0恒成立，求m.
【题型14 利用导数研究函数的零点（方程的根）】
50．已知函数f (x)= ln (x +2)
(1)求曲线y = f (x)在x =−1处的切线方程；
(2)求证：e
x≥x +1；
(3)函数h(x)= f (x)−a(x +2)有且只有两个零点，求a 的取值范围．
51．已知函数f (x)= x
3−ax +2,a∈R.
(1)若x =−2是函数f (x)的极值点，求a的值，并求其单调区间；
(2)若函数f (x)在[
1
3 ,3]
上仅有2 个零点，求a的取值范围．
52．已知函数f (x)=e
ax−x.
(1)若a=2，求f (x)在(1,f (1))处的切线方程；
(2)讨论f (x)的零点个数.
8
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53．已知函数f (x)=a(x +1)e
−x+ x
2．
(1)讨论f (x)的零点个数；
(2)若f (x)存在两个极值点，记x0为f (x)的极大值点，x1为f (x)的零点，证明：x0−2 x1>2．
54．函数f ( x)=ae
x−x−1(a∈R)．
(1)当a=1时，证明：f ( x)≥0；
(2)讨论函数f ( x)的零点个数．
【易错点1 利用导数研究函数的单调性】
1．已知正实数m，n 满足
，则
＝（ ）
A．1
B．
C．4
D．1 或
2．已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数．若f（1）＝e，且f'（x）+ex
＜f（x）在R 上恒成立，则不等式f（x）＜（2﹣x）ex的解集为（ ）
A．（﹣∞，2）
B．（2，+∞）
C．（﹣∞，1）
D．（1，+∞）
3．设
，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
4．设a＝
，b＝ln1.4，c＝e0.4﹣1.32，则下列关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．c＞b＞a
D．b＞a＞c
9
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5．已知定义在R 上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f
（﹣x）＝f（2+x），f（2）＝1，则不等式f（x）＜ex的解集为（ ）
A．（﹣2，+∞）
B．（0，+∞）
C．（1，+∞）
D．（2，+∞）
6．若函数f（x）＝lnx﹣
ax2﹣2x 存在单调减区间，则实数a 的取值范围是
．
7．函数f（x）＝2x﹣2alnx．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）求f（x）在[1，3]上最小值．
8．已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a 的取值范围．
9．已知函数
．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）的极值．
【易错点2 利用导数研究函数的极值】
10．设函数
的两个极值点分别为x1，x2，若
10
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恒成立，则实数a 的取值范围是
．
11．已知函数
有两个极值点，则实数m 的取值范围是
．
12．已知函数f（x）＝x3+3bx2+3x 有极值点
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及b 的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＝0，求b 的值．
【易错点3 利用导数研究函数的最值】
13．若关于x 的不等式（4k﹣1﹣lnx）x＜lnx﹣x+3 对于任意x∈（1，+∞）恒成立，则整数
k 的最大值为（ ）
A．1
B．0
C．﹣1
D．﹣2
14．已知函数
．
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x∈（0，+∞），f（x）⩾0 恒成立，求实数a 的取值范围．
15．已知函数f（x）＝x2（x﹣a），a∈R，且f'（﹣1）＝3．
（1）求a 的值及曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最值．
16．已知函数f（x）＝alnx+xex﹣e，其中a∈R．
（Ⅰ）当a＝0 时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0 时，判断f（x）的零点个数，并加以证明；
11
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（Ⅲ）当a＜0 时，证明：存在实数m，使f（x）≥m 恒成立．
17．已知函数f（x）＝m（x+1）ex（m＞0），g（x）＝2lnx+x+1．
（1）求曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
（2）若函数y＝f（x）的图像与y＝g（x）的图像最多有一个公共点，求实数m 的取值
范围．
【易错点4 利用导数研究曲线上某点切线方程】
18．设曲线f（x）＝xsinx 在点（π，f（π））处的切线为l，则l 与两坐标轴围成的三角形
的面积为
．
19．已知函数f（x）是定义在R 上的偶函数，且f（2x+2）为奇函数，记f'（x）为f（x）的
导函数，若f′（﹣2）＝1，则y＝f（x）在点（﹣6，f（﹣6））处的切线方程为
．
20．曲线f（x）＝lnx+3﹣2x 在点（1，f（1））处的切线方程为
．
21．设P 是曲线y＝﹣x3+x+
上任意一点，则曲线在点P 处的切线的倾斜角α 的取值范围
是
．
12
