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专题05 五类圆锥曲线题型-2024 年高考数学大题秒
杀技巧及专项训练（原卷版）
【题型1 圆锥曲线中的轨迹方程问题】
【题型2 圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题】
【题型3 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】
【题型4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】
【题型5 圆锥曲线中的极点与极线】
题型1 圆锥曲线中的轨迹方程问题
曲线方程的定义
一般地，如果曲线
与方程
之间有以下两个关系：
①曲线
上的点的坐标都是方程
的解；
②以方程
的解为坐标的点都是曲线
上的点．
此时，把方程
叫做曲线
的方程，曲线
叫做方程
的曲线．
求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为
；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标
y
x、表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
1
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求轨迹方程的方法：
定义法：
如果动点
的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定
义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
直接法：
如果动点
的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点
满足的等量
关系易于建立，则可以先表示出点
所满足的几何上的等量关系，再用点
的坐标
表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
代入法（相关点法）：
如果动点
的运动是由另外某一点
的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标
满足某已知曲线方程），则可以设出
，用
表示出相关点
的坐标，然后把
的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点
的轨迹方程。
点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得
，
，
，
等关系式，由于弦
的中点
的坐标满足
，
且直线
的斜率为
，由此可求得弦
中点的轨迹方程.
已知双曲线
与直线：
有唯一的公共点
，过点
且与垂直的直线
分别交
轴，
轴于
，
两点，点
坐标为
，当
点坐标为
时，
点坐标为
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当点
运动时，求
点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
2
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已知
1,0 ,
1,0
A
B
，直线
,
AM BM 相交于M ，且直线
,
AM BM 的斜率之积为2.
(1)求动点M 的轨迹方程；
(2)设,
P Q 是点M 轨迹上不同的两点且都在y 轴的右侧，直线
,
AP BQ 在y 轴上的截距之比
为1: 2，求证：直线PQ 经过一个定点，并求出该定点坐标.
在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1
2
1
2
3,0
3,0 ,
4
F
F
MF
MF
､
，点M 的轨迹为C .
(1)求C 的方程；
(2)设点P 在直线
(
2)
x
s s
上，A B
､为C 的左右顶点，直线PA 交C 于点E （异于
,
A B ），
直线PB 交C 于点F （异于
,
A B ），EF 交AB 于G ，过G 作x 轴的垂线分别交PA ､PB 于
R T
､，问是否存在常数，使得RG
TG
.
3
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1．M 是一个动点，
与直线
垂直，垂足
位于第一象限，
与直线
垂直，垂足
位于第四象限，且
．
(1)求动点M 的轨迹方程E；
(2)设
，
，过点
的直线l 与曲线E 交于A，B 两点（点A 在x 轴上方），
P 为直线
，
的交点，当点P 的纵坐标为
时，求直线l 的方程．
2．在平面直角坐标系
中，已知双曲线
经过点
，点
与点
关于
原点对称，
为
上一动点，且
异于
两点.
(1)求
的离心率；
(2)若△
的重心为
，点
，求
的最小值；
(3)若△
的垂心为
，求动点
的轨迹方程.
3．已知长为
的线段
的中点为原点
，圆
经过
两点且与直线
相切，
圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)过点
且互相垂直的直线
分别与曲线
交于点
和点
，且
，
四边形
的面积为
，求实数
的值.
2 2
PQ
O
T
,
P Q
2
0
y
T
C
C
1,
D
b
1
2
,
l l
C
,
E H
,
M N
ED
DH
MENH
15 6
b
4
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4．已知椭圆
的离心率为
，长轴长为4，
是其左、右顶点，
是其右焦点．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设
是椭圆
上一点，
的角平分线与直线
交于点
．
①求点
的轨迹方程；
②若
面积为
，求
．
5．已知点
和直线
，点
到
的距离
.
(1)求点
的轨迹方程；
(2)不经过圆点
的直线与点
的轨迹交于
，
两点. 设直线
，
的斜率分别为
，
，记
，是否存在值使得
的面积为定值，若存在，求出的值；若不存在，
说明理由.
6．已知动圆过定点
，且截
轴所得的弦长为4.
(1)求动圆圆心
的轨迹方程；
(2)若点
，过点
的直线交
的轨迹于
两点，求
的最小值.
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
1
2
,
A B
F
C
0
0
0
,
0
P x
y
y
C
PFB
AP
T
T
TPF
△
9
4
0x
1,0
F
:
2
m x
P
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4
2
d
PF
P
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l
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A
B
OA
OB
1k
2k
1
2
k k
t
t
OAB
t
2,0
A
y
C
1,0
F
5, 4
P
C
,
M N
FM
FN
5
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7．在
中，已知
，
，设
分别是
的重心、垂心、外心，
且存在
使
.
(1)求点
的轨迹
的方程；
(2)求
的外心
的纵坐标
的取值范围；
(3)设直线
与
的另一个交点为
，记
与
的面积分别为
，是否存在
实数
使
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
8．已知
，
，
为平面上的一个动点.设直线
的斜率分别为
，
，
且满足
.记
的轨迹为曲线
.
(1)求
的轨迹方程；
(2)直线
，
分别交动直线
于点
，过点
作
的垂线交
轴于点
.
是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
题型2 圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题
：
已知点
是椭圆
上的一个定点，
是椭圆上的两个动
点。
ABC
1,0
B
1,0
C
,
,
G H W
ABC
R
GH
BC
A
ABC
W
m
AW
M
AWG
△
MGH
1
2
,
S S
1
2
7
22
S
S
2,0
A
2,0
B
P
,
AP BP
1k
2k
1
2
3
4
k k
P
Γ
Γ
PA
PB
x
t
,
C D
C
PB
x
H HC HD
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,
(
0
0 y
x
P
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0
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2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
B
A,
6
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若直线
，则直线
过定点且定点为
；当
时，
为定值
；
证明: 重新建系将椭圆
上的
成为新的坐标原点按
得椭圆
又点
在椭圆
上，所以
，代入上式可得
①
椭圆
上的定点
和动点
分别对应椭圆
上的定点
和动点
，设直线
的方程为
，代入①得
。当
时，两边除以
得．
，因为点
的坐标满足这个方程，所以
是这个关于
的方程的两个根．
若
，由平移斜率不变可知
，故
，当
时，所以
，由此得
。所以
的斜率为定值
，
为定值
；
即
，由此知点
在直线
上，从而直线
过定点
．
PA
PB
k
k
AB
0
2
0
2
0
0
2
2
y
a
x
b
y
x
，
0
AB
k
2
0
2
0
a
y
b
x
C
)
,
(
0
0 y
x
P
0
0
0
0
0
0
0
0
0,0
,
,
,
y
y
y
x
x
x
y
y
y
x
x
x
y
x
y
x
y
x
2
2
0
0
1
2
2
:
1
x
x
y
y
C
a
b
0
0, y
x
P
1
2
2
2
2
b
y
a
x
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
2
2
0
0
2
2
2
2
2
2
0
x
y
y
x
x
y
a
b
a
b
C
0
0, y
x
P
B
A,
1
C
O
1
1, B
A
1
1B
A
1
y
n
x
m
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2
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0
2
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2
2
2
2
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x
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y
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x
y
mx
ny
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a
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0
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2
x
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2
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2
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2
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m
x
x
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x
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1, B
A
1
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k
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k
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k
OB
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0
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0
1
1
a
y
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m
k
B
A
AB
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2
0
a
y
b
x
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k
2
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2
0
a
y
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x
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2
2
2
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0
0
0
0
0
2
2
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2
2
2
1
y
b x
b x n
a y m
a
a
y n
m
y
n
a
0
2
0
2
0
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2
2
y
a
x
b
y
，
1
:
1
1
y
n
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B
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0
2
0
2
0
0
2
2
y
a
x
b
y
x
，
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：
已知点
是平面内一个定点，椭圆
：
上有两动点
若直线
，则直线
过定点．
证明：重新建系将椭圆
上的
成为新的坐标原点按
椭圆
：
，展开得：
．
平面内的定点
和椭圆
上的动点
分别对应椭圆
上的定点
和动点
、
，
设
直
线
的
方
程
为
，
代
入
展
开
式
得
（构造齐次
式
）
，
当
时
，
两
边
同
时
除
以
整
理
得
，
因为点
的坐标满足这个方程，所以
和
是关于
的方程的两根．若
，
由
平
移
斜
率
不
变
可
知
所
以
整理可得到
和
的关系，从
而可知直线
过定点，由平移规律可得直线
过定点．
0
0 , y
x
P
C
0
1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
B
A,
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k
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C
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,
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,
,
,
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y
y
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x
x
y
y
y
x
x
x
y
x
y
x
y
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C
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2
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2
2
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y
a
x
x
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x
y
b
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x
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y
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x
0
0 , y
x
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y
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y
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0
x
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0
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x
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1
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k
1
1
OB
OA
k
k
2
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0
2
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2
0
2
0
2
0
2
0
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2
2
2
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2
1
1
n
b
ny
a
x
n
mn
b
m
y
mny
a
n
x
mnx
k
k
OB
OA
m
n
1
1B
A
AB
8
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已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
， 点
是椭圆的
一个顶点，
是等腰直角三角形．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设点
是椭圆
上一动点，求线段
的中点
的轨迹方程；
（3）过点
分别作直线
，
交椭圆于
，
两点，设两直线的斜率分别为
，
，且
，探究：直线
是否过定点，并说明理由.
已知椭圆
的左、右焦点分别是
，
，点
在椭圆上，且
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点
且不过点
的直线交椭圆于
，
两点，求证：直线
与
的斜
率之和为定值．
如图，椭圆
经过点
，且离心率为
．
:
C
2
2
2
2
1(
0)
x
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2
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A
B
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2
2
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2
:
1(
0)
x
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b
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b
0, 1
A
2
2
9
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（1）求椭圆E 的方程；
（2）若经过点
，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P，Q（均异于点A），
证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．
1．已知椭圆
经过点
，下顶点
为抛物线
的焦点．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若点
均在椭圆
上，且满足直线
与
的斜率之积为
，
（ⅰ）求证：直线
过定点；
（ⅱ）当
时，求直线
的方程．
2．已知椭圆
：
（
）中，点
，
分别是
的左、上顶点，
，且
的焦距为
．
(1)求
的方程和离心率；
(2)过点
且斜率不为零的直线交椭圆于
，两点，设直线
，
，
的斜率分别
1,1
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
3
1, 2
B
A
2
4
x
y
C
1
1
2
2
1
2
,
,
,
P x y
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y
y
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1
2
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1
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A
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5
AC
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2 3
E
1,0
R
S
RS
CR
CS
10
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为
，
，
，若
，求
的值．
3．已知椭圆E：
经过点
，右焦点为
，A，B 分别为椭圆
E 的上顶点和下顶点.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)已知过
且斜率存在的直线l 与椭圆E 交于C、D 两点，直线BD 与直线AC 的斜率分
别为k1和k2，求
的值.
4．在平面直角坐标系
中，重新定义两点
之间的“距离”为
，我们把到两定点
的“距离”之和为常数
的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设
，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为
的左顶点为
，
过
作直线交
于
两点，
的外心为
，求证：直线
与
的斜率之积为定
值．
k
1k
2k
1
2
3
k
k
k
2
2
2
2
1
0
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(2,
2)
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c
c
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c
1,
2
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MN
11
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5．焦点在
轴上的椭圆
的左顶点为
，
，
，
为椭圆
上不同三点，且当
时，直线
和直线
的斜率之积为
．
(1)求
的值；
(2)若
的面积为1，求
和
的值；
(3)在（2）的条件下，设
的中点为
，求
的最大值．
6．已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点，左顶点为A，则上顶点
为
，且
的方程为
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若
是直线
上一点，过点
的两条不同直线分别交
于点
，
和点
，
，且
，求证：直线
的斜率与直线
的斜率之和为定值.
7．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为
，右顶点为
，
的面积为
，
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
且斜率大于的直线交椭圆
于
，
两点，线段
的中点为
，若
，求直线
与直线的斜率之积的最小值.
x
2
2
2
1
4
x
y
b
M
1
1
,
A x y
2
2
,
B x
y
3
3
,
C x
y
OB
OC
MB
MC
1
4
b
OAB
2
2
1
2
x
x
2
2
1
2
y
y
AB
D
OD
AB
1F
2
F
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
1
B
1
AB
3
2
2 3
0
x
y
C
P
3
x
P
C
D
E
M
N
PD
PM
PN
PE
DE
MN
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
1F
2
F
A
B
1
ABF
2 2
2
1
2
π
2
F AF
C
1F
0
l
C
M
N
MN
Q
5 2
0,
2
P
PQ
l
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8．已知P 为圆
上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q，M 为PQ 的中点.
M 的轨迹曲线E.
(1)求曲线E 的轨迹方程；
(2)曲线E 交x 轴正半轴于点A，交y 轴正半轴于点B.直线与曲线E 交于C，D 两点，若直
线
直线AB，设直线AC，BD 的斜率分别为
.证明：
为定值．
题型3 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题
弦长公式
（最常用公式，使用频率最高）
三角形面积问题
2
2
4
x
y
l
/ /
l
1
2
,
k k
1
2
k
k
2
2
1
2
1
2
|
|
)
(
)
AB
x
x
y
y
（
2
2
1
2
2
1
2
|
|
)
1
AB
x
x
k
x
x
( 1+k ) (
2
2
1
2
1
2
)
4
]
x
x
x x
( 1+k ) [ （
2
1
2
1
2
2
1
1
(
)
4
y
y
y y
k
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直线
方程：
焦点三角形的面积
直线
过焦点
的面积为
F2
F1
O
y
x
B
A
AB
y
kx
m
0
0
2
1
kx
y
m
d
PH
k
0
0
0
0
2
2
1
1 1
2
2
'
2
'
1
ABP
kx
y
m
kx
y
m
S
AB d
k
A
A
k
AB
2
1
,
F
ABF
1
1
2
1
2
1
2
1
2
'
ABF
c
S
F F
y
y
c y
y
A
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
(
)
1
1
|
|
S
=
|
| d
2
2
AOB
a b a A
b B
C
C
AB
A
B
a A
b B
A
B
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注意：
为联立消去
后关于
的一元二次方程的二次项系数
平行四边形的面积
直线
为
，直线
为
注意：
为直线与椭圆联立后消去
后的一元二次方程的系数.
范围问题
应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）
（注意分
三种情况讨论）
（2）
当且仅当
时，等号成立
（3）
当且仅当
时等号成立.
C
D
H
O
y
x
B
A
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)C
ab
a A
b B
C
a A
b B
'
A
x
y
AB
1
y
kx
m
CD
2
y
kx
m
1
2
2
1
m
m
d
CH
k
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
'
'
1
1
(
)
4
1
(
)
4
1
'
'
'
B
C
AB
k
x
x
k
x
x
x x
k
k
A
A
A
1
2
1
2
2
2
1
'
'
1
ABCD
m
m
m
m
S
AB d
k
A
A
k
'
A
y
2
2
2
64
64
t
S
t
t
t
0,
0,
0
t
t
t
2
2
4
2
2
2
12
12
12
3
3
3
1
9
6
1
2
3
6
9
6
k
AB
t
k
k
k
2
2
1
9k
k
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
25
9
25
9
34
25
9
34
2 25
9
64
9
25
9
25
y
x
y
x
PQ
x
y
x
y
2
2
0
0
2
2
0
0
25
9
25
9
9
25
y
x
x
y
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（4）
当且仅当
时，等号成立
(5)
当且仅当
时等号成立.
双曲线，最早由门奈赫莫斯发现， 后来阿波罗尼兹进行了总结和完善.在他的著作中，双
曲线也被称作“超曲线”. 已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
，
的实半轴长为2，左右顶点
､
分别为
1
2
A
A
，
，经过点
4 0
B
，的直线l 与C 的右支分别交于M
N
，
两点，其中点M 在x 轴
上方.
(1)若l
x
轴时，
2 6
MN
，设直线
1
2
MA
NA
，
的斜率分别为
1
2
k
k
，
，求
2
1
2
k
k 的值；
(2)若
2
1
2
BA N
BA M
，求
1A MN
的面积.
设抛物线方程为
2
2
y
x
，过点P 的直线
,
PA PB 分别与抛物线相切于
,
A B 两点，且点A 在x
轴下方，点B 在x 轴上方.
(1)当点P 的坐标为
1, 2
时，求AB ；
2
2
2
2
2
1
3
1
1
1
1
8
12
(
8)
2
2
2
2
2
2
2
2
3
m
m
m
S
m
m
m
2
2
8
m
m
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
(2
1)
2
2 2 1
4 2
4 2
2 2
1
2
1
2
1
2
1
k
m
m
m
k
m
k
m
m
S
k
k
k
k
k
2
2
1
2
1
2
k
m
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(2)点C 在抛物线上，且在x 轴下方，直线BC 交x 轴于点N ，直线AB 交x 轴于点M ，且
3
2
AM
BM
.若ABC
的重心在x 轴上，求
ABC
BMN
S
S
的最大值.（注：S 表示三角形的面积）
已知椭圆C：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
过点A（2，
2 ），且C 的离心率为
2
2 .
(1)求C 的方程；
(2)设直线l 交C 于不同于点A 的M，N 两点，直线AM，AN 的倾斜角分别为，，若
cos
1
cos
，求AMN
面积的最大值.
1．设点
、
分别是椭圆
的左、右焦点，
为椭圆
上任意一
点，且
的最小值为
．
1
,0
F
c
2
,0
F
c
2
2
2
:
1
x
C
y
a
P
C
1
2
PF PF
2
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(1)求椭圆
的方程；
(2)求椭圆
的外切矩形
的面积的最大值．
2．在椭圆
上任取一点
，过点
作
轴的垂线段
，
为垂足，点
在线
段
上，且满足
.
(1)当点
在椭圆
上运动时，求点
的轨迹
的方程；
(2)若曲线
与
，
轴的正半轴分别交于点
，
，点
是
上第三象限内一点，线段
与
轴交于点
，线段
与
轴交于点
，求四边形
的面积.
3．在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭
圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算
术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆
的蒙日圆的面积为
，该
椭圆的上顶点和下顶点分别为
，且
，设过点
的直线与椭圆
交于
两点（不与
两点重合）且直线
.
(1)证明：
，
的交点
在直线
上;
(2)求直线
围成的三角形面积的最小值.
4．已知椭圆
的方程
，右焦点为
，且离心率为
(1)求椭圆
的方程；
C
C
ABCD
S
2
2
:
1
4
2
x
y
C
P
P
x
PD
D
M
PD
2
DP
DM
P
C
M
E
E
x
y
A
B
N
E
AN
y
H
BN
x
G
ABGH
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
13π
1
2
,
P P
1
2
2
PP
0, 2
1
Q
1l
E
,
A B
1
2
,
P P
2 :
2
6
0
l
x
y
1
AP
2
BP
P
2
y
1
1
2
,
,
AP BP l
C
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
1,0
F
1
2
C
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(2)设
是椭圆
的左、右顶点，过
的直线交
于
两点（其中
点在
轴上
方），求
与
的面积之比的取值范围.
5．已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，离心率为
．点
在
直线
上运动，且直线
的斜率与直线
的斜率之商为2．
(1)求
的方程；
(2)若点A、B 在椭圆
上，
为坐标原点，且
，求
面积的最小值．
6．已知椭圆
的下、上顶点分别为
，左、右顶点分别为
，
四边形
的面积为
，若椭圆
上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
且斜率不为0 的直线与
交于
（异于
两点，设直线
与直线
交于点
，探究三角形
的面积是否为定值，请说明理由.
7．已知椭圆
经过
，
两点．
(1)求
的方程；
(2)若圆
的两条相互垂直的切线
均不与坐标轴垂直，且直线
分别与
相交
于点A，C 和B，D，求四边形
面积的最小值．
A
B
，
C
F
l
C
D
E
，
D
x
DBF
AEF
△
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
1F
2
F
2
2
M
3(
0)
x
y
1
MF
2
MF
C
C
O
OA
OB
AOB
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
1
2
,
B B
1
2
,
A A
1
1
2
2
A B A B
6 5
C
C
1,0
l
C
,
P Q
1
2
,
A A
2
A P
1AQ
M
1
2
B B M
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
E
a
b
a
b
6
2,
2
P
3
1, 2
Q
E
2
2
1
x
y
1
2
,
l l
1
2
,
l l
E
ABCD
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8．已知椭圆
的方程为
，由其个顶点确定的三角形的面积为
，点
在
上，
为直线
上关于
轴对称的两个动点，直线
与
的另一个交
点分别为
.
(1)求
的标准方程；
(2)证明：直线
经过定点；
(3)
为坐标原点，求
面积的最大值.
题型4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
定点问题
1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量
，
视作
常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参
数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于
，
的方程组，这个方程组的解所确定
的点就是直线或曲线所过的定点．
2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究
变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情
况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
定值问题
1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜
C
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
3
4
2,1
P
C
,
A B
4
x
x
,
AP BP
C
,
M N
C
MN
O
MON
△
x
y
x
y
20
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率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始
终是一个确定的值．常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示，然后进行化简，看能否得到一个常数.
2. 定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进
而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运
算
定直线问题
定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为
求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等．
已知抛物线C：y2=2px（p>0），M 是其准线与x 轴的交点，过点M 的直线l 与抛物线C 交
于A，B 两点，当点A 的坐标为（4，y0）时，有|
| |
|
MB
BA
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设点A 关于x 轴的对称点为点P，证明：直线BP 过定点，并求出该定点坐标．
已知斜率为
3 的直线l 与抛物线
2
:
4
C y
x
相交于,
P Q 两点．
21
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(1)求线段PQ 中点纵坐标的值；
(2)已知点( 3,0)
T
，直线
,
TP TQ 分别与抛物线相交于
,
M N 两点（异于,
P Q ）．求证：直线
MN 恒过定点，并求出该定点的坐标．
已知双曲线
2
2
:
1
4
x
C
y
，点A 是双曲线C 的左顶点，点P 坐标为
4,0 .
(1)过点P 作C 的两条渐近线的平行线分别交双曲线C 于R ，S 两点.求直线RS 的方程；
(2)过点P 作直线l 与椭圆
2
2
1
4
x
y
交于点D ，E ，直线AD ，AE 与双曲线C 的另一个交
点分别是点M ，N .试问：直线MN 是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，
请说明理由.
1．已知椭圆
的左右焦点分别为
､
过点
，且
的长
轴长为8.
(1)求
的方程.
(2)设
的右顶点为点
，过点
的直线与
交于
两点（异于
），直线
与
轴分别交于点
，试问线段
的中点是否为定点？若是，求出该定点的
坐标；若不是，请说明理由.
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
1
2
,
,
F F C
2,3
B
C
C
C
A
4,6
D
l
C
,
P Q
B
,
AP AQ
y
,
M N
MN
22
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2．已知椭圆
的上下顶点分别为
，左右顶点分别为
，四
边形
的面积为
，若椭圆
上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.(1)
求椭圆
的方程；
(2)过点
且斜率不为0 的直线与
交于
（异于
）两点，设直线
与直线
交于点
，证明：点
在定直线上.
3．如图，已知椭圆
的短轴长为
，焦点与双曲线
的焦点重合.点
，斜
率为
的直线与椭圆
交于
两点.
(1)求常数的取值范围，并求椭圆
的方程.
(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639 年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论
稿》中正式阐述的.对于椭圆
，极点
（不是原点）对应的极线为
，且若极点
在
轴上，则过点
作椭圆的割线交
于点
，则对于
上任意一点
，均有
（当斜率均存在时）.已知点
是直线上的一点，且
点
的横坐标为2.连接
交
轴于点
.连接
分别交椭圆
于
两点.
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
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,
B B
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,
A A
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A B A B
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C
C
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C
,
P Q
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A A
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M
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E
,
PA PB
,
M N
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①设直线
、
分别交
轴于点
、点
，证明：点
为
、
的中点；
②证明直线：
恒过定点，并求出定点的坐标.
4．已知椭圆
的左､右焦点分别为
，
过点
，且
.
(1)求
的方程.
(2)设
的右顶点为点
，过点
的直线与
交于
两点（异于
），直线
与
轴分别交于点
，试问线段
的中点是否为定点？若是，求出该定点的
坐标；若不是，请说明理由.
5．已知椭圆
的离心率为
，且经过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设过点
且不与坐标轴垂直的直线与椭圆
交于
两点，过
分别作
轴的
垂线，垂足为点
，求证：直线
与
的交点在某条定直线上，并求该定直线的方
程.
AB
MN
y
D
T
E
D
T
MN
2
2
2
2
:
1
0
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C
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a
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,
A B
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,
M N
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6．已知椭圆
的左顶点
和下顶点B，焦距为
，直线l 交
椭圆L 于C，D（不同于椭圆的顶点）两点，直线AD 交y 轴于M，直线BC 交x 轴于N，且
直线MN 交l 于P.
(1)求椭圆L 的标准方程；
(2)若直线AD，BC 的斜率相等，证明：点P 在一条定直线上运动.
7．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点
的距离与到直线
的距离之比为
．
(1)求动点M 轨迹W 的方程；
(2)过点F 的两条直线分别交W 于A，B 两点和C，D 两点，线段AB，CD 的中点分别为
P，Q．设直线AB，CD 的斜率分别为
，
，且
，试判断直线PQ 是否过定点．
若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
8．已知动圆
经过定点
，且与圆
：
内切.
(1)求动圆圆心
的轨迹
的方程；
(2)设轨迹
与
轴从左到右的交点为
，
，点
为轨迹
上异于
，
的动点，设
交
直线
于点
，连接
交轨迹
于点
，直线
，
的斜率分别为
，
.
①求证：
为定值；
②证明：直线
经过
轴上的定点，并求出该定点的坐标.
2
2
2
2
:
1(
0)
x
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a
b
a
b
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A ,
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F
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题型5 圆锥曲线中的极点与极线
圆锥曲线的极点与极线
已知椭圆
（a＞b＞0），则称点
和直线
为椭圆的一对极
点和极线．极点和极线是成对出现的．
我们先从几何的角度来研究圆锥曲线的极点与极线．
从几何角度看极点与极线
如图，设
是不在圆锥曲线上的一点，过
点引两条割线依次交圆锥曲线于四点
，
，
，
，连接
，
交于
，连接
，
交于
，则直线
为点
对应的极线．
若
为圆锥曲线上的点，则过
点的切线即为极线．
由图同理可知，
为点
对应的极线，
为点
所对应的极线．因而将
称为
自极三点形．
设直线
交圆锥曲线于点
，
两点，则
，
恰为圆锥曲线的两条切线．
定理：（1）当
在圆锥曲线
上时，则点
的极线是曲线
在
点处的切线；
（2）当
在
外时，过点
作
的两条切线，设其切点分别为
，
，则点
的极线是直
线
（即切点弦所在的直线）；
（3）当
在
内时，过点
任作一割线交
于
，
，设
在
，
处的切线交于点
，
则点
的极线是动点
的轨迹．
:
C
2
2
2
2
1
x
y
a
b
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0
(
,
)
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y
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0
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P
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A
B
A
B
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已知抛物线
的焦点为
，且
与圆
上的点的距离的
最小值4．
(1)求
；
(2)若点
在圆
上，
是
的两条切线，
是切点，求
面积的最大值．
已知F 为抛物线
的焦点，直线
与C 交于A，B 两点且
.
（1）求C 的方程.
（2）若直线
与C 交于M，N 两点，且
与
相交于点T，证明：点
T 在定直线上.
若双曲线
与椭圆
共顶点，且它们的离心率之积为
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为
，
，直线l 与椭圆C 交于P、Q 两点，设直线
2
:
2
0
C y
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F
F
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2
:
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P
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C
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2
(
0)
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|
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a
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与
的斜率分别为
，
，且
．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点
的坐标；若不是，请说明理由．
1．设
分别是椭圆
的左右顶点，点
､
为椭圆的上顶点.
（1）若
，求椭圆
的方程；
（2）设
，
是椭圆的右焦点，点
是椭圆第二象限部分上一点，若线段
的中
点
在
轴上，求
的面积.
（3）设
，点
是直线
上的动点，点
和
是椭圆上异于左右顶点的两点，且
，
分别在直线
和
上，求证：直线
恒过一定点.
2．已知
，
分别是双曲线
的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点
，且与双曲线
交于
，
两点.
（1）若
，求直线的方程；
2
A Q
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1
2
1
0
5
k
k
1
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,
A
A
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1)
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（2）若直线
与
相交于点
，求证：点
在定直线上.
3．已知椭圆
与
轴的交点
（点A 位于点
的上方），
为
左焦点，原点
到直线
的距离为
.
（1）求椭圆
的离心率；
（2）设
，直线
与椭圆
交于不同的两点
，求证：直线
与直线
的交点
在定直线上.
4．已知椭圆
的离心率
，长轴的左、右端点分别为
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线
与椭圆
交于
两点，直线
与
交于点，试问：当
变化
时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，
请说明理由.
5．已知椭圆C：
经过点
，其长半轴长为2.
(1)求椭圆C 的方程：
(2)设经过点
的直线与椭圆C 相交于D，E 两点，点E 关于x 轴的对称点为F，直
线DF 与x 轴相交于点G，求
的面积的取值范围.
AC
BD
P
P
2
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0
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C
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6．已知椭圆
的焦距为
分别为椭圆
的左、右顶点，
为椭
圆
上的两点(异于
)，连结
，且
斜率是
斜率的倍.
（1）求椭圆
的方程；
（2）证明:直线
恒过定点.
7．椭圆
的左、右顶点分别为
，
，上顶点为
，点
，线
的倾斜角为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过
且斜率存在的动直线与椭圆
交于
、
两点，直线
与
交于
，求证：
在定直线上.
8．已知椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆上．
2
2
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:
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x
y
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C
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C
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1
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C
a
b
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b
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1,
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（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A，B，点M，N 是椭圆上异于A，B 的不同两点，
直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，求证：直线
过定点．
BN
0
k k
AM
3k
MN
31
