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专题05 圆锥曲线之焦点三角形
一、
椭圆的焦点三角形：
椭圆上任意一点
与两焦点
、
构成的三角形:
。
秒杀技巧与性质一：
1.周长为定值：
。
2.
当点
靠近短轴端点时
增大，当点
靠近长轴端点时
减小；与短轴端点重合时
最大。(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。)
秒杀技巧与性质二：
1
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3.三角形面积：
，
即
与短轴端点重合时面积最大。
秒杀技巧与性质三：
4.焦点直角三角形:底角为
，有四个(四个全等，
点为通径端点。)；顶角为
，即以
为直
径的圆与椭圆交点为点
：
。
秒杀技巧与性质四：
5.双曲线:
.
ⅰ焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个；
.
ⅱ
为焦点三角形的顶角)=
。等面积思想在解题时非常重要。
二、双曲线
的焦点三角形：
双曲线上任意一点
与两焦点
、
构成的三角形:
。
已知双曲线方程为
如图，顶点
在第一象限，
对于双曲线焦点三角形，
2
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秒杀技巧与性质一：
如图，
、
是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记
，则
的面积
.
秒杀技巧与性质二：
1、如图，有
，
2、离心率
.
秒杀技巧与性质三：
双曲线中，焦点三角形的内心
的轨迹方程为
.
证明：设内切圆与
的切点分别为
，则由切线长定理可得
,因为
，
，所以
，所以点
的坐标为
，所以点
的横坐标为定值a.
题型【一】、以焦点三角形的周长为情景命题
例1、（2020·西藏南木林县第一中学高三月考）若椭圆
（其中a＞b＞0）的离心率为
，两
焦点分别为F1，F2，M 为椭圆上一点，且△F1F2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
例2、（2018·辽宁大连·统考二模）设椭圆
的左焦点为
，直线
与椭圆
交于
两点，则
周长的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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例3、（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线
：
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，直线
与
交于
，
两点，
，且
的面积为
，则
的离心率是（ ）
A．
B．
C．2
D．3
例4、（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知双曲线C：
的渐近线方程为
，
左、右焦点分别为
，
，过点
且斜率为
的直线l 交双曲线的右支于M，N 两点，若
的周长
为36，则双曲线C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
1、（2020·黑龙江）已知点
分别是椭圆
的左、右焦点,点
在此椭圆上,则
的
周长等于（ ）
A．20
B．16
C．18
D．14
2．（2019·广西南宁）定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆
的焦距为
，焦点三角形的周长为
，则椭圆
的方程是
5
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__________．
6
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3．（2023·山东青岛·统考三模）已知O 为坐标原点，双曲线C：
的左，右焦点分别
为
，
，过C 的右焦点
且倾斜角为
的直线交C 右支于A，B 两点，AB 中点为W，
，△
的周长等于12，则（ ）
A．a＝3
B．双曲线C 的渐近线方程为
C．
D．
4．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，直线
与椭圆相交于点
、
，则（ ）
A．椭圆
的离心率为
B．存在
，使
为直角三角形
C．存在
，使
的周长最大
D．当
时，四边形
面积最大
5．（2023·广东广州·统考模拟预测）（多选题）已知双曲线
的左、右焦点别为
，
，
过点
的直线l 与双曲线
的右支相交于
两点，则（ ）
A．若
的两条渐近线相互垂直，则
7
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B．若
的离心率为
，则
的实轴长为
C．若
，则
D．当
变化时，
周长的最小值为
6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
，C 的上顶点为A，两个焦点为
1F ，
2
F ，
离心率为
1
2 ．过
1F 且垂直于
2
AF 的直线与C 交于D，E 两点，|
| 6
DE
，则
ADE
V
的周长是
．
8
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题型【二】、以焦点三角形的面积为情景命题
例5、（2020·安徽省定远中学）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，
为
椭圆上一点，且
，若
的面积为9，则
__________．
例6、（2020·云南陆良）已知
、
为双曲线C：
的左、右焦点，点P 在C 上，∠
P
=
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
例7、（2019·安徽蚌埠·蚌埠二中校考二模）已知抛物线
的准线过双曲线
的左焦
点且与双曲线交于
､
两点，
为坐标原点，且
的面积为
，则双曲线的离心率为
A．
B．4
C．3
D．2
例8、（2019·四川宜宾·统考三模）已知双曲线
的左右焦点分别为
，以它的一个焦点为圆
心，半径为
的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于
两点，则四边形
的面积为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
9
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1、（2020·山西大同）已知
、
为双曲线
的左、右焦点，点P 在C 上，
，
则
的面积为
2．（2020·上海普陀·高三三模）设
为双曲线
（
）的上一点，
，（
为左、右焦点），则
的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·全国·统考高考真题）设
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在
上且
，则
的面积为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
4．（2023·全国·模拟预测）（多选题）已知椭圆
的离心率为
，
为椭圆的左、右顶点，
为椭圆的左、右焦点，
是椭圆上异于
的任意一点，过
作直线
的垂线，垂足为
，直线
交
于点
，交椭圆于
两点，△
的面积最大值为12，则（ ）
A．
B．若
，则
的最大值为
C．
在圆上运动
10
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D．
5．（2023·上海嘉定·统考一模）焦点在
轴上的椭圆
与抛物线
，椭圆的右焦点与抛物线
的焦点均为
，
为椭圆上一动点，椭圆与抛物线的准线交于
、
两点，则
的最大值为
.
6．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在
的左支上，过点
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
，则当
取最小值16 时，
面积的最大值为 .
11
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题型【三】、以焦点弦为情景命题
例9、（2021·浙江·统考二模）已知
，
是双曲线
的左､右焦点，过
的直线交双
曲线的右支于
，
两点，且
，
，则下列结论正确的有 .
①双曲线
的离心率
；
②双曲线
的一条渐近线斜率是
；
③线段
；
④
的面积是
.
例10、（2020·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）椭圆
，过原点O 斜率为
的直线与椭
圆交于C，D，若
，则椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
例11、（2019·湖南永州·校联考二模）已知椭圆
的左焦点为
，过点
作斜率为
的直线交
椭圆
于
两点，则
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
12
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例12、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知椭圆
，
的上顶点
为A，两个焦点分别为
，离心率为
，过
且斜率为
的直线与
交于
两点，四边形
的面积为
，则四边形
的周长是 ．
13
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1．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F，过F 且斜率为4
b
a 的直线交
双曲线于点
1
1
,
A x y
，交双曲线的渐近线于点
2
2
,
B x
y
且
1
2
0
x
x
．若|
| 3|
|
FB
FA
，则双曲线的离心率
是 ．
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知
是椭圆
的左焦点，
过
作斜率为
的直线交椭圆
于
，
两点，若线段MN 的长等于椭圆
短轴长的
，则椭圆
的离
心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·河南·校联考模拟预测）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，
，一条渐
近线方程为
，过双曲线C 的右焦点
作倾斜角为
的直线交双曲线的右支于A，B 两点，若
的周长为36，则双曲线C 的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·广东汕头·金山中学校考一模）（多选题）已知椭圆
的长轴长为4，离心
14
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率为
分别为椭圆
的左、右焦点，过点
的直线与椭圆
相交于A，B 两点，则下列说法正确的
是（ ）
A．椭圆
的标准方程为
B．椭圆
上存在点
，使得
C．
是椭圆
上一点，若
，则
D．若
的内切圆半径分别为
，当
时，直线的斜率
题型【四】、以焦点弦与其它知识为情景命题
例13．（2020·吉林松原·高三其他（文））已知点
是双曲线
上一点，
，
分别为双曲
线的左右焦点，若
､
的外接圆半径为4，且
为锐角，则
（ ）
A．15
B．16
C．18
D．20
例14、（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）弓琴，是弓琴弹拨弦鸣乐器（如下左图）.历史悠
久，形制原始，它脱胎于古代的猎弓，也可以称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十
日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.古代传说将“琴”的创始归于伏
羲，也正由于他是以渔猎为生的部落氏族首领.在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞
土逐肉”. 常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于台湾原住民中的布农、邹等民族聚居地区.弓琴的琴身下部分可近
似的看作是半椭球的琴腔， 其正视图即为一椭圆面，它有多条弦， 拨动琴弦，发音柔弱，音色比较动听，
现有某专业乐器研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳.如下右图，是一弓琴琴腔下部
分的正视图.若按对称建立如图所示坐标系，
恰为左焦点，
均匀对称分布在上半
个椭圆弧上(
在
上的投影把线段
八等分)，
为琴弦，记
，数列
15
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前n 项和为
，椭圆方程为
，且
，则
的最小值为
16
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例15、（2023·湖北武汉·统考三模）已知
，
分别为双曲线
的左，右焦点，直线l 过点
，
且与双曲线右支交于A，B 两点，O 为坐标原点，
，
的内切圆的圆心分别为
，
，则
面积的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
例16、（2022·北京丰台·统考二模）已知双曲线C：
（
，
）的左、右顶点分别为
，
，左、右焦点分别为
，
．以线段
为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点M，且点M 在第
一象限，
与另一条渐近线平行．若
，则
的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ．点A 在C 上，
点B 在y 轴上，
1
1
2
2
2
,
3
F A
F B F A
F B
，则C 的离心率为 ．
17
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2．（2019·全国·高考真题）已知双曲线C：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线
与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若
1F A
AB
，
1
2
0
F B F B
，则C 的离心率为 ．
18
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3．（2019·全国·高考真题）已知椭圆C 的焦点为
，过F2的直线与C 交于A，B 两点.若
，
，则C 的方程为
A．
B．
C．
D．
4．（2021·山东淄博·统考二模）设椭圆
的左右焦点为
､
､
，
是椭圆
上的动点，则下列
结论正确的是（ ）
A．离心率
B．
的最大值为3
C．△
面积的最大值为
D．
的最小值为2
例17、（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线
2
:
2
0
C x
py p
的焦点为F ，且F 与圆
2
2
:
(
4)
1
M
x
y
上点的距离的最小值为4 ．
（1）求p ；
（2）若点
P 在M 上，
,
PA PB
是
C
的两条切线，
,
A B
是切点，求PAB
面积的最大值．
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例18、（2023·天津·统考高考真题）设椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左右顶点分别为
1
2
,
A A ，右焦点为F ，已
知
1
2
3,
1
A F
A F
．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点P 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线
2
A P
交
y
轴于点
Q
，若三角形
1A PQ
的面积是三角形
2
A FP
面积的二倍，求直线
2
A P
的方程．
例19、（2024·广东广州·华南师大附中校考一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
2
2 ，斜率
为2 的直线l 与x 轴交于点M，l 与C 交于A，B 两点，D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时，
ABD
△
面积为
16
9 ．
(1)求C 的方程；
(2)当M 异于O 点时，记直线BD 与y 轴交于点N，求OMN
周长的最小值．
20
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例20、（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为F ，右顶点
为
A ，上顶点为
B ，点O 为坐标原点，线段OA的中点恰好为F ，点F 到直线AB 的距离为
21
7
．
(1)求C 的方程；
(2)设点E 在直线
4
x
上，过F 作EF 的垂线交椭圆C 于
,
M N
两点．记
MOE
△
与
NOE
△
面积分别为
1
2
,
S S
，
求
1
2
S
S 的值．
例21（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0)
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F ，点
(2,1)
M
在C 上，
1
2
1
MF
MF
，A ，B 为直线
4
x
上关于x 轴对称的两个动点，直线AM ，BM 与C 的另一个交
点分别为
P ，
Q
.
(1)求C 的标准方程；
(2)O 为坐标原点，求
OPQ
△
面积的最大值.
21
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例22、（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，过右焦点
2
F ，且与长
轴垂直的弦长为
2 ，且离心率为
2
2 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若的上顶点为，过左焦点的直线交椭圆于，两点（与椭圆顶点不重合），直线，分别交直线于，两点，
求的面积的最小值.
22
