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专题09 幂函数与二次函数
知
识
梳
理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题
型
归
类
题型一：幂函数的图象与性质
题型二：求二次函数的解析式
题型三：二次函数的图象问题
题型四：二次函数的单调性与最值问题
题型五：二次方程根的分布问题
题型六：二次函数中的恒成立问题
题型七：二次函数的综合问题
培
优
训
练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强
化
测
试
单选题：共8 题
多选题：共4 题
填空题：共4 题
解答题：共6 题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；
2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
【考点预测】
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y ＝
x α 叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
1
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(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax
2 ＋
bx
＋
c ( a ≠
0)
.
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为( m ，
n ) .
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0 时是偶函数，当b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
【常用结论】
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数y＝xα中，α 的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.
【方法技巧】
2
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1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间
(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.
3.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，
准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
4.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两
个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；
“一开口”是指抛物线的开口方向.
5.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条
件.
6.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点
和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
7.不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接
借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
二、【题型归类】
【题型一】幂函数的图象与性质
【典例1】若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情
况为( )
A．－1<m<0<n<1
B．－1<n<0<m<
C．－1<m<0<n<
D．－1<n<0<m<1
【典例2】幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y 轴对称，则实数m＝________.
【典例3】若幂函数f(x)＝(a
2−5a−5) x
−1
2 a在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( )
A．1 B．6 C．2 D．－1
3
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【题型二】求二次函数的解析式
【典例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次
函数的解析式．
【典例2】已知y＝f(x)是二次函数，且f＝f 对x∈R 恒成立，f＝49，方程f(x)＝0 的两实根之
差的绝对值等于7.求此二次函数的解析式．
【典例3】若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为
(－∞，4]，则函数解析式f(x)＝________.
【题型三】二次函数的图象问题
【典例1】在同一坐标系中，函数y＝ax2＋bx 与y＝ax＋b(ab≠0)的图象可能是( )
4
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【典例2】设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象可能是( )
【典例3】一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系中的图象大致是(
)
【题型四】二次函数的单调性与最值问题
【典例1】已知f(x)＝ax2－2x＋1.
(1)若f(x)在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围；
(2)若x∈[0,1]，求f(x)的最小值g(a)．
5
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【典例2】设函数f(x)＝x2－2x－1 在区间[t，t＋1]上有最小值g(t)，求g(t)的解析式．
【典例3】已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值．
(1)证明：当|a|≥2 时，M(a，b)≥2；
(2)当a，b 满足M(a，b)≤2 时，求|a|＋|b|的最大值．
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【题型五】二次方程根的分布问题
【典例1】(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a 有两个零点x1，x2，以下结论正确的是( )
A．a<1
B．若x1x2≠0，则＋＝
C．f(－1)＝f(3)
D．函数y＝f(|x|)有四个零点
【典例2】已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)满足f(1)＝0，且关于x 的方程f(x)＋x＋b
＝0 的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b 的取值范围．
7
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【典例3】已知关于x 的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的取值范围．
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【题型六】二次函数中的恒成立问题
【典例1】已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，若不等式f(x)>2x＋m 在区间
[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．
【典例2】函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8 恒成立，则a 的最大值为
________．
【典例3】已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4 的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a 的值为
________．
【题型七】二次函数的综合问题
【典例1】设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
【典例2】已知函数f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1.若对于任一实数x0，函数值f(x0)与g(x0)中
至少有一个为正数，则实数t 的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(0，2]
B．(－2，0)∪(0，2]
C．(－2，2]
D．(0，＋∞)
【典例3】已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：
①∀x∈R，f(x)<0 或g(x)<0；
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②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.
求实数m 的取值范围．
三、【培优训练】
【训练一】已知函数f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)是偶函数，则f(x)的值域是________．
【训练二】已知二次函数f(x)＝x2－2tx＋2t＋1，x∈[－1，2]．若f(x)≥－1 恒成立，求t 的取值
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范围．
【训练三】若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是
__________．
【训练四】．是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a 的定义域为[－1,1]时，值域
为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．
【训练五】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R 且a≠0)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.
【训练六】已知a，b 是常数且a≠0，f(x)＝ax2＋bx 且f(2)＝0，且使方程f(x)＝x 有等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m，n(m<n)，使得f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m,2n]?
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四、【强化测试】
【单选题】
1. 函数
的图象是( )
2. 若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f 等于( )
A．3 B．－3 C. D．－
3. 若幂函数
在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )
A．1 或3 B．1 C．3 D．2
4. 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A．[－3,0)
B．(－∞，－3]
C．[－2,0]
D．[－3,0]
5. 已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0
B．a<0,4a＋b＝0
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C．a>0,2a＋b＝0
D．a<0,2a＋b＝0
6. 若函数f(x)＝x2＋ax＋b 的图象与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)( )
A．在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增
B．在(－∞，3)上递增
C．在[1，3]上递增
D．单调性不能确定
7. 若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的
取值范围是( )
A．
B．[－6，－4]
C．[－3，－2]
D．[－4，－3]
8. 已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A．f(x1)＝f(x2)
B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)<f(x2)
D．与x 的值无关
【多选题】
9. 已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3 的值域为[0，＋∞)，则实数m 的取值范围为( )
A．0
B．[－3,0]
C．3
D．－3
10. 若二次函数y＝kx2－4x＋2 在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k 的取值可以是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
11. 由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象过
点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2 对称．根据现有信息，题中的二次
函数可能具有的性质是( )
A．在x 轴上截得的线段的长度是2
B．与y 轴交于点(0，3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3，0)
12. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t 都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，
f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( )
A．f(－1)
B．f(1)
C．f(2)
D．f(5)
【填空题】
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13. 已知幂函数y＝mxn(m，n∈R)的图象经过点(4，2)，则m－n＝________．
14. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b________0，
ac________0，a－b＋c________0.(填“＞”“＜”或“＝”)
15. 如果函数f(x)＝x2－ax－a 在区间[0，2]上的最大值为为1，那么实数a＝________．
16. 定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)＝，则
称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的
平均值函数，0 就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1 是[－1，1]上的平均值函数，则
实数m 的取值范围是________．
【解答题】
17. 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈.
(1)当a＝－1 时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a 的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．
18. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x 的解集为(1，3)．若方程f(x)＋
6a＝0 有两个相等的实根，求函数f(x)的解析式．
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19. 已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(－4－x)，f(0)＝3，若x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1－x2|＝
2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x>0，求g(x)＝的最大值．
20. 已知函数f(x)＝，其中a∈R.
(1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a 的值；
(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围.
21. 已知f(x)＝ax2－2x＋1.
(1)若f(x)在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围；
(2)若x∈[0,1]，求f(x)的最小值g(a)．
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22. 如图，O，P，Q 三地有直道相通，OP＝3 千米，PQ＝4 千米，OQ＝5 千米，现甲、乙两
警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米)．甲的
路线是OQ，速度为5 千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8 千米/小时，乙到达Q 地后在原
地等待．设t＝t1时乙到达P 地，t＝t2时乙到达Q 地．
(1)求t1与f(t1)的值；
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米，当t1≤t≤t2时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在
[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．
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