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第 03 讲 指数与指数函数
目录
第一部分：题型篇....................................................2
题型一：重点考查指数和指数幂的运算...............................2
题型二：重点考查指数函数的定义...................................2
题型三：重点考查指数函数的图象过定点.............................3
题型四：重点考查指数函数的定义域.................................4
题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数）...................4
题型六：重点考查指数函数的单调性及其应用.........................5
题型七：重点考查指数函数的综合性问题.............................6
题型八：重点考查指数函数模型的应用...............................9
第二部分：方法篇...................................................10
方法一：可化为一元二次函数型....................................10
方法二：分类讨论................................................11
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题型一：重点考查指数和指数幂的运算
典型例题
例题1．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）若 ，则
____________．
例题2．（2023春·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）
__________．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 =__________
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的最大值为__________
2．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 ______
3．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）（1）已知正数a满足 ，求 的值．
题型二：重点考查指数函数的定义
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高一专题练习）若函数 为指数函数，则 的取值范围是________
例题3．（2023·高一课时练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 是指数函数，则（ ）
A． 或 B． C． D． 且
2．（2023春·河北·高三统考学业考试）若函数 是指数函数，则 等于（ ）
A． 或 B．
C． D．
3．（2023·全国·高一专题练习）若函数 （ ，且 ）是指数函数，则
________．
题型三：重点考查指数函数的图象过定点
典型例题
例题1．（2023秋·福建宁德·高一统考期末）函数 （ 且 ）过定点______.
例题2．（2023秋·吉林松原·高一松原市实验高级中学校考期末）函数 且 的
图象恒过定点 ，点 又在幂函数 的图象上，则 的值为______.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 所过的定点在一次函数
的图像上，则 的最小值为__________.
精练核心考点
1．（2023·高一单元测试）函数 且 的图象恒过定点______．
2．（2023秋·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）记函数 所过定点为P，若P位于幂函
数 的图象上，则 _________．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 图象过定点 ，点 在直线 上，则最小值为___________.
题型四：重点考查指数函数的定义域
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·高一课时练习）函数 的定义域为______．
精练核心考点
1．（2023·云南大理·高一校考期中）函数 的定义域是______．
2．（2023·上海·高一专题练习）函数 的定义域为_____________．
题型五：重点考查指数函数的值域（含指数型函数）
典型例题
例题1．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·上海静安·统考二模）已知函数 为偶函数，则函数 的值域为
___________.
例题3．（2023秋·广西北海·高一统考期末）已知函数 是指数函数.
(1)求实数 的值；
(2)已知 ， ，求 的值域.精练核心考点
1．（2023·高一课时练习）函数 的值域为____.
2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）已知函数 （ 且
）满足 .求函数的值域.
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知 .
(1)求证： 为奇函数；
(2)求函数 的值域.
题型六：重点考查指数函数的单调性及其应用
典型例题
例题1．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）若 且 ，函数 ，满足
对任意的实数 都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ 为常数）．若 在区间 上是增
函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为 的函数 则关于t的不等式的解集为________.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）求函数 的单调区间___________.
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 （ 为常数）为奇函数，则满足 的实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·山东济宁·高一统考期末）已知 且 ，若函数 是 上的单调函
数，则实数 的取值范围是______.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则使得 成立的 的取值
范围是__________.
4．（2023·上海·高一专题练习）函数 的单调减区间是_________.
题型七：重点考查指数函数的综合性问题
典型例题
例题1．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数 在定义域 上满足 ，若 在
上是减函数，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·江苏南通·二模）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，
是奇函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（2023·安徽合肥·统考一模）已知 ，函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）设函数 （ 且 ）.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，函数 ， ，求 的最小值.
例题5．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知函数 （ 且 ）．
(1)若 为偶函数，求 的值；
(2)当 时， ，且函数 在 上恒成立，求实数 的取值范
围．
精练核心考点
1．（2023·广西南宁·统考二模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．C． D．.
2．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）若 ， ，且满足 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·河北石家庄·高一石家庄一中校考期中）已知定义在 上的奇函数 ，（其中
为常数）.
(1)求实数 的值；
(2)求不等式 的解集.
4．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）已知定义在 上的奇函数 ，当
时， ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．5．（2023·全国·高三专题练习）已知 在区间 上的值域为 .
(1)求实数 的值；
(2)若不等式 当 上恒成立，求实数k的取值范围.
题型八：重点考查指数函数模型的应用
典型例题
例题1．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）如图，假定 、 两点以相同的
初速度（单位：单位/秒），分别同时从 、 出发，点 沿射线 做匀速运动， ；点 沿线段
（长度为 单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离 ，那么定义 为 的
纳皮尔对数，函数表达式为 （其中 为自然对数的底数， ），则 从靠近 的第一
个五等分点移动到靠近 的四等分点经过的时间约为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A． 秒 B． 秒
C． 秒 D． 秒
例题2．（2023·全国·高三专题练习）渔民出海打鱼，为了保证运回鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺的
多少来确定鱼的新鲜度，三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的，三甲胺积
聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），负被打上船后，要在最短的时间内将其分拣，冷
藏，已知某种鱼失去的新鲜度 与其出海后时间 (分）满足的函数关系式为 ，若出海后20分这
种鱼失去的新鲜度为20%；出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这
种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（ ）考数据：
A．23分钟 B．33分钟 C．50分钟 D．56分钟
例题3．（2023·全国·高一专题练习）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据
监测，服药后每毫升血液中的含药量 与时间 之间近似满足如图所示的图象，则 关于 的函数
解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 时，治疗疾病有效，则服药一次治疗
疾病有效的时间为______h．精练核心考点
1．（2023秋·云南玉溪·高一统考期末）某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留
含量不得超过原污染物总量的 .已知在过滤过程中的污染物的残留数量 （单位：毫克/升）与过滤时
间 （单位：小时）之间的函数关系为 （ 为常数， 为原污染物总量）.若前 个小时废气中的
污染物被过滤掉了 ，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤 小时，则正整数 的最小值为（ ）
（参考数据：取 ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，
空气的温度是 ， 后物体的温度 可由公式 求得，其中 是一个随着物体与空
气的接触状况而定的正的常数.若将62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，可测得1min以后物体的温度是
52℃，由此可求出 的值约为0.24.现将55℃的物体，放在15°C的空气中冷却，则开始冷却___________分
钟（精确0.01）后物体的温度是35℃.（参考数据： ）
3．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的函数 单调递增，且对 ，有 ，则
___________.
第二部分：方法篇
方法一：可化为一元二次函数型
典型例题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (其中 是常数)．若当 时，恒有成立，则实数 的取值范围为_______．
2．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）若对任意的 ，使得不等式
恒成立，则实数 的取值范围为__________．
3．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）函数 的定义域
为 .
（1）设 ，求t的取值范围；
（2）求函数 的值域.
方法二：分类讨论
典型例题
1．（2023·河北·高三学业考试）已知函数 的定义域和值域都是 ，则
_____________.
2．（2023·高一课时练习）如果函数y=a2x+2ax-1(a>0，且a≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a的值为
________.
3．（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知函数 ， ，与函
数 ， ，对任意 ，总存在 ，使得 成立，则实数
的取值范围是__________.
4．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知函数 ，
， ， ，使得 成立，则实数 的取值范围为_____________.
