【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
专题检测一(分值:150 分)
学生用书
P145
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2023·全国乙,理4)已知f(x)= x e
x
e
ax -1
是偶函数,则a=( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
答案D
解析(方法一)由题意,知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即
- x e
- x
e
-ax -1
= x e
x
e
ax -1
,整理得eax=e2x,所以a=2.
(方法二)由题意,知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).因为函数f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即
-e
-1
e
-a-1
=
e
e
a-1
,所以a=2.
故选D.
2.函数y=(3x-3-x)cos x 在区间[- π
2 , π
2]的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
答案A
解析设f(x)=(3x-3-x)cos x,则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),所以函数为奇函数,排除B,D 选项.又f(1)=(3-3-
1)cos 1>0,故选A.
3.(2020·新高考Ⅱ,8)若定义在R 的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0 的x 的取值
范围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
答案D
解析因为定义在R 的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=0,f(0)=0,
所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)>0,当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)<0,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
所以由xf(x-1)≥0 可得{
x<0,
-2≤x -1≤0, 或{
x>0,
0≤x -1≤2,
或x=0,解得-1≤x≤0 或1≤x≤3,
所以满足xf(x-1)≥0 的x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.
4.生物丰富度指数d=S -1
ln N
是河流水质的一个评价指标,其中S,N 分别表示河流中的生物种类数与生
物个体总数.生物丰富度指数d 越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化,生物个
体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1 提高到3.15,则( )
A.3N2=2N1
B.2N2=3N1
C.N 2
2= N 1
3
D.N 2
3= N 1
2
答案D
解析由题意得S -1
ln N 1
=2.1, S -1
ln N 2
=3.15,
则2.1ln N1=3.15ln N2,即ln N 1
2.1=ln N 2
3.15,
结合选项可知选D.
5.当x=1 时,函数f(x)=aln x+b
x
取得最大值-2,则f'(2)=( )
A.-1
B.-1
2
C.1
2
D.1
答案B
解析因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以依题可知,f(1)=-2,f'(1)=0,而f'(x)=a
x - b
x
2,所以b=-2,a-b=0,
即a=-2,b=-2,所以f'(x)=-2
x + 2
x
2,因此函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,当x=1 时取最
大值,满足题意,则f'(2)=-1+1
2
=-1
2
.故选B.
6.(2023·全国甲,文11)已知函数f(x)=e
-( x -1)
2.记a=f(√2
2
),b=f(√3
2
),c=f(√6
2
),则( )
A.b>c>a
B.b>a>c
C.c>b>a
D.c>a>b
答案A
解析∵f(x)=e
-( x -1)
2,∴f(x)=(1
e )
( x -1)
2.
令t=(x-1)2(t≥0),∴y= 1
e
t.
∵0<1
e <1,∴y= 1
e
t在R 上为减函数.
∵t=h(x)=(x-1)2,h(x)是关于x 的二次函数,其图象的对称轴为直线x=1,且√2
2 < √3
2
<1,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
∴h √2
2
>h √3
2
.
∵√6
2
>1,
∴h √6
2
=h 2-√6
2
,√2
2
<2-√6
2 < √3
2
.
∴h √2
2
>h √6
2
>h √3
2
,得f √2
2
<f √6
2
<f √3
2
,即b>c>a.故选A.
7.(2024·新高考Ⅱ,8)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为( )
A.1
8
B.1
4
C.1
2
D.1
答案C
解析当x≤-a 时,x+a≤0,当x≥-a 时,x+a≥0,当-b<x≤1-b 时,ln(x+b)≤0,当x≥1-b 时,ln(x+b)≥0,要使f(x)≥0,必
须-a=1-b,即b=a+1,
所以a2+b2=(a+1)2+a2=2(a+ 1
2)
2
+ 1
2 ≥1
2
,当且仅当a=-1
2
,b=1
2
时,等号成立.故选C.
8.(2024·新高考Ⅰ,8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3 时,f(x)=x,则下列结论中一
定正确的是( )
A.f(10)>100
B.f(20)>1 000
C.f(10)<1 000
D.f(20)<10 000
答案B
解析∵当x<3 时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2.
∵f(x)的定义域为R,且f(x)>f(x-1)+f(x-2),
∴f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6
)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(1
1)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1 000.
∴f(20)>1 000.
结合各选项知,选项B 一定正确.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2023·新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则( )
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0 为f(x)的极小值点
答案ABC
解析对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A 正确;
对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B 正确;
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令
x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C 正确;
对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以
D 错误.故选ABC.
10.(2020·新高考Ⅰ,11)已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )
A.a2+b2≥1
2
B.2a-b>1
2
C.log2a+log2b≥-2
D.√a+√b≤√2
答案ABD
解析∵a+b=1,∴(a+b)2=1=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),∴a2+b2≥1
2
,故A 正确;
∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b,
∴a-b>-1,
∴2a-b>2-1=1
2
,故B 正确;
∵a+b=1≥2√ab,∴ab≤1
4
,log2a+log2b=log2ab≤log21
4
=-2,故C 错误;
∵a+b=1≥2√ab,∴2√ab≤1,(√a+√b)2=a+b+2√ab≤2,∴√a+√b≤√2,故D 正确,故选ABD.
11.(2024·新高考Ⅰ,10)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则( )
A.x=3 是函数f(x)的极小值点
B.当0<x<1 时,f(x)<f(x2)
C.当1<x<2 时,-4<f(2x-1)<0
D.当-1<x<0 时,f(2-x)>f(x)
答案AC
解析∵f(x)=(x-1)2(x-4),∴函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=3(x-1)(x-3).令f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,得x=1 或
x=3.当x<1 或x>3 时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当1<x<3 时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴x=3 是函数f(x)的极小
值点,∴A 正确.
当0<x<1 时,0<x2<x<1,又由上可知当0<x<1 时,f(x)单调递增,∴f(x2)<f(x),∴B 错误.
当1<x<2 时,f(2x-1)=(2x-1-1)2(2x-1-4)=4(x-1)2(2x-5)<0,f(2x-1)+4=4(x-2)2(2x-1)>0,即f(2x-1)>-4,∴C 正
确.
f(2-x)-f(x)=(2-x-1)2(2-x-4)-(x-1)2(x-4)=-2(x-1)3.当-1<x<0 时,f(2-x)-f(x)=-2(x-1)3的值有正有负,∴D 错误.
故选AC.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2024·广东广州三模)函数f(x)={
a
x, x ≤2,
a x
2-13 x +31, x>2,
其中a>0 且a≠1,若函数是单调函数,则a
的一个可能取值为 .
答案4(答案不唯一)
解析因为a>0 且a≠1,若函数是单调函数,结合二次函数性质可知f(x)在R 上单调递增,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
所以{
a>1,
13
2a ≤2,
a
2≤4 a+5,
解得13
4
≤a≤5.
故答案为4(答案不唯一).
13.函数f(x)=|2x-1|-2ln x 的最小值为
.
答案1
解析f(x)={
2 x -1-2ln x, x> 1
2 ,
1-2 x -2ln x,0< x ≤1
2 .
当x>1
2
时,f'(x)=2-2
x = 2( x -1)
x
,令f'(x)=0,则x=1,所以当x∈(
1
2 ,1]时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以函数f(x)在区间(
1
2 ,+∞)内的最小值为f(1)=1;
当0<x≤1
2
时,f'(x)=-2-2
x
<0,则函数f(x)在区间(0, 1
2]上单调递减,则函数f(x)在区间(0, 1
2]上的最小
值为f(
1
2)=2ln 2>1.
综上,f(x)min=f(1)=1.
14.(2024·河南二模)若两个函数图象f(x)=ln x+a 和g(x)=bex(a,b∈R)存在过点(2, 1
2)的公切线,设切
点坐标分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),则(x1+2x2)[f(x1)+2g(x2)]= .
答案9
解析f'(x)=1
x
,设切点坐标为(x1,ln x1+a),则切线斜率为1
x1
,切线方程为y-(ln x1+a)= 1
x1
(x-x1),将(2, 1
2)
代入得ln x1+a=3
2 - 2
x1
,即f(x1)=3
2 - 2
x1
.
g'(x)=bex,设切点坐标为(x2,be
x2),则切线斜率为be
x2,切线方程为y-be
x2=be
x2(x-x2),将(2, 1
2)代入得b
e
x2=
1
2(3- x2)
,
即g(x2)=
1
2(3- x2)
.
又1
x1
=be
x2=
1
2(3- x2)
,可得x1=2(3-x2),
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
即x1+2x2=6,f(x1)+2g(x2)=3
2 - 2
x1
+2be
x2= 3
2 - 2
x1
+ 2
x1
= 3
2
.
所以(x1+2x2)[f(x1)+2g(x2)]=9.
四、解答题:本题共5 小题,共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)(2024·上海,18)若f(x)=logax(a>0,a≠1).
(1)曲线y=f(x)过(4,2),求f(2x-2)<f(x)的解集;
(2)存在x 使得f(x+1),f(ax),f(x+2)成等差数列,求实数a 的取值范围.
解(1)因为y=f(x)的图象过点(4,2),故loga4=2,故a2=4,即a=2(负值舍去).
而f(x)=log2x 在(0,+∞)上单调递增,
又f(2x-2)<f(x),
所以0<2x-2<x,即1<x<2,
故f(2x-2)<f(x)的解集为{x|1<x<2}.
(2)因为存在x 使得f(x+1),f(ax),f(x+2)成等差数列,
所以2f(ax)=f(x+1)+f(x+2),
即2loga(ax)=loga(x+1)+loga(x+2)有解.
因为a>0,a≠1,故x>0,
故a2x2=(x+1)(x+2)在(0,+∞)上有解,
所以a2= x
2+3 x +2
x
2
=1+3
x + 2
x
2=2(1
x + 3
4
)2-1
8
在(0,+∞)上有解,令t=1
x
∈(0,+∞),而y=2(t + 3
4)
2
- 1
8
在
(0,+∞)上的值域为(1,+∞),故a2>1,即a>1.
16.(15 分)已知函数f(x)=3-2 x
x
2+a
.
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在x=-1 处取得极值,求f(x)的单调区间,以及其最大值与最小值.
解(1)当a=0 时,f(x)=3-2 x
x
2
,则f'(x)=2( x -3)
x
3
,所以f(1)=1,f'(1)=-4,此时,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的
切线方程为y-1=-4(x-1),即4x+y-5=0.
(2)因为f(x)=3-2 x
x
2+a
,则f'(x)=-2( x
2+a)-2 x(3-2 x )
( x
2+a)
2
= 2( x
2-3 x -a)
( x
2+a)
2
,由题意可得f'(-1)=
2(4 -a)
(a+1)
2 =0,解得a=4,
故f(x)=3-2 x
x
2+ 4
,f'(x)=2( x +1)( x - 4)
( x
2+ 4)
2
,列表如下:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,4)
4
(4,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以,函数f(x)的增区间为(-∞,-1),(4,+∞),减区间为(-1,4).
当x<3
2
时,f(x)>0;当x>3
2
时,f(x)<0.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
所以,f(x)max=f(-1)=1,f(x)min=f(4)=-1
4
.
17.(15 分)(2020·全国Ⅰ,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1 时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求实数a 的取值范围.
解(1)当a=1 时,f(x)=ex-x-2,
则f'(x)=ex-1.
当x<0 时,f'(x)<0;当x>0 时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)f'(x)=ex-a.
当a≤0 时,f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增,
故f(x)至多存在1 个零点,不合题意.
当a>0 时,由f'(x)=0 可得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增,故当x=ln a 时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-
a(1+ln a).
①若0<a≤1
e
,则f(ln a)≥0,f(x)在(-∞,+∞)至多存在1 个零点,不合题意.
②若a>1
e
,则f(ln a)<0.
由于f(-2)=e-2>0,
所以f(x)在(-∞,ln a)存在唯一零点.
由(1)知,当x>2 时,ex-x-2>0,
所以当x>4 且x>2ln(2a)时,
f(x)=e
x
2 ·e
x
2-a(x+2)>eln(2a)·(
x
2 +2)-a(x+2)=2a>0.
故f(x)在(ln a,+∞)存在唯一零点.
从而f(x)在(-∞,+∞)有两个零点.
综上,实数a 的取值范围是(
1
e ,+∞).
18.(17 分)(2022·北京,20)已知函数f(x)=exln(1+x).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;
(3)证明:对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).
(1)解由题得f'(x)=ex·ln(1+x)+ex· 1
1+ x =ex· ln(1+x)+ 1
1+ x
,
故f'(0)=e0· ln(1+0)+ 1
1+0
=1,f(0)=e0ln(1+0)=0,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
因此曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.
(2)解由(1)知g(x)=f'(x)=ex·[ln(1+x)+ 1
1+ x
],x∈[0,+∞),则g'(x)=ex·[ln(1+x)+ 2
1+ x -
1
(1+ x )
2
]=ex·[ln(1+x)+ 2 x +1
(1+ x )
2 ]=ex·[ln(1+x)+ 1
1+ x +
x
(1+ x )
2 ].
由于x∈[0,+∞),
故ln(1+x)≥0, 1
1+ x
>0,
x
(1+ x )
2 ≥0,
所以对任意x∈[0,+∞),g'(x)>0 恒成立,
故g(x)在[0,+∞)上单调递增.
(3)证明设函数F(x)=f(x+t)-f(x)(x>0),
F'(x)=f'(x+t)-f'(x)=g(x+t)-g(x).
因为t>0,所以x+t>x>0.
因为g(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以g(x+t)>g(x),
即g(x+t)-g(x)>0,
F'(x)>0,所以F(x)在(0,+∞)上单调递增.
又因为s>0,
所以F(s)>F(0),
即f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0).
又f(0)=0,所以f(s+t)>f(s)+f(t).
19.(17 分)已知函数f(x)=aex-sin x-a.(注:e=2.718 281…是自然对数的底数)
(1)当a=2 时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.
(2)当a>0 时,函数f(x)在区间(0, π
2)内有唯一的极值点x1.
①求实数a 的取值范围;
②求证:f(x)在区间(0,π)内有唯一的零点x0,且x0<2x1.
(1)解当a=2 时,f(x)=2ex-sin x-2,f'(x)=2ex-cos x,在点(0,f(0))处的切线的斜率为f'(0)=2-1=1,又f(0)=0,所
以切点为(0,0),所以切线方程为y=x.
(2)①解函数f(x)=aex-sin x-a,f'(x)=aex-cos x,
(ⅰ)当a≥1,x∈(0, π
2)时,aex>1,cos x∈(0,1),
∴f'(x)>0,则y=f(x)在(0, π
2)内单调递增,没有极值点,不合题意,舍去;
(ⅱ)当0<a<1 时,设φ(x)=aex-cos x,则φ'(x)=aex+sin x>0 在(0, π
2)内恒成立,
所以φ(x)在(0, π
2)内单调递增,即f'(x)在(0, π
2)内单调递增,又f'(0)=a-1<0,f'(
π
2)=ae
π
2>0,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
所以f'(x)在(0, π
2)内有唯一零点x1,
当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(x1, π
2)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
所以函数y=f(x)在区间(0, π
2)内有唯一极值点,符合题意.
综上,实数a 的取值范围是(0,1).
②证明由①知0<a<1,当x∈[
π
2 ,π)时,f'(x)=aex-cos x>0,
当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(x1,π)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
所以当x∈(0,x1)时,f(x)<f(0)=0,
则f(x1)<0.
又因为f(π)=aeπ-a=a(eπ-1)>0,
所以f(x)在(x1,π)上有唯一零点x0,
即f(x)在(0,π)内有唯一零点x0.
因为f(2x1)=ae
2 x1-sin 2x1-a,
由①知f'(x1)=0,所以ae
x1=cos x1,
则f(2x1)=ae
2 x1-sin 2x1-a=e
x1cos x1-2sin x1cos x1-cos x1
e
x1
=cos x1(e
x1-2sin x1- 1
e
x1),x1∈(0, π
2).
设h(x)=ex-2sin x-e-x,x∈(0, π
2),
则h'(x)=ex-2cos x+e-x.
因为ex+e-x>2,2cos x<2,所以h'(x)=ex+e-x-2cos x>0,h(x)在(0, π
2)内单调递增.
又h(0)=0,所以h(x)>0,
又当x1∈(0, π
2)时,cos x1>0,
所以f(2x1)=cos x1(e
x1-2sin x1- 1
e
x1)>0.
所以f(2x1)>f(x0)=0.
由前面讨论知x1<2x1<π,x1<x0<π,f(x)在(x1,π)内单调递增,所以x0<2x1.
