50.处理奇偶项数列的四大类型
类型1.相邻项和（积）为等差（等比）数列
类型2.邻项等差（等比）
类型3.摆动数列
类型4.含三角式的数列
★类型1.相邻项和（积）为等差（等比）数列
1.在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即
，它可以得到两个
B
An
a
a
n
n
1
子数列分别是公差为
的等差数列.
k
若
,则当
时,
,两式相减得
1
,
0
n
n
a
a
An
B A
2
n…
1
(
1)
n
n
a
a
A n
B
,即数列
与数列
均是公差为
的等差数列.
1
1
n
n
a
a
A
2
1
n
a
2n
a
A
2.在等比数列中，有一类比较特殊的递推类型，即
，它可以得到两个子数
n
n
n
q
p
a
a
1
列分别是公差为
的等比数列.
q
若
,则
,两式相除得
,即数列
与
1
,
0,
0
n
n
n
a a
pq
p
q
1
1
2
n
n
n
a
a
pq
2
n
n
a
q
a
2
1
n
a
数列
均是公比为
的等比数列.
2n
a
q
3.通项公式：
（1）若
，则
1
,
0
n
n
a
a
An
B A
N
k
k
n
A
a
n
A
k
n
A
a
n
A
an
,
2
,
2
1
2
,
2
2
2
1
（2）
，则
1
,
0,
0
n
n
n
a a
pq
p
q
N
k
k
n
q
a
k
n
q
a
a
n
n
n
,
2
,
1
2
,
1
2
2
2
1
1
4.前n 项和
方法1.由3 解得通项后并项求和（具体见案例）
方法2.对于隔项等差的前n 项和，可直接由相邻两项的关系解得，即由
1
,
n
n
a
a
An
B
若
为偶数：
n
)
(
)
(
)
(
1
4
3
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
S
若
为奇数：
n
)
(
)
(
)
(
1
5
4
3
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
S
例 1 已知数列
满足
, 求数列
的通项公式.
na
1
1
2,
n
n
a
a
a
4
3
n
na
解析: 由题意可得
，
，两式相减可得
.
1
4
3
n
n
a
a
n
1
2
4
7
n
n
a
a
n
2
4
n
n
a
a
所以,数列
的奇数项和偶数项分别构成公差为4 的等差数列, 且
.当
为奇数时,
na
2
5
a
n
;当
为偶数时,
.
1
2
1
4
2
2
n
n
a
n
n
5
1
4
2
1
2
n
n
a
n
因此,
.
1
2
1 ( 1)
2
n
na
n
例2．已知数列
的前n 项和为
，且
，
，则使得
na
n
S
1
4
a
*
1
4
2
N
n
n
a
a
n
n
成立的n 的最小值为（ ）
2023
n
S
A．32
B．33
C．44
D．45
解析：
①，当
时，
②，两式相减得
1
4
2
n
n
a
a
n
2
n
1
4
1
2
n
n
a
a
n
，
1
1
4
n
n
a
a
当
为奇数时，
为等差数列，首项为4，公差为4，所以
，
n
na
1
4
4
2
2
2
n
n
a
n
中，令
得
，故
.
1
4
2
n
n
a
a
n
1
n
1
2
6
a
a
2
6
4
2
a
故当
为偶数时，
为等差数列，首项为2，公差为4，所以
，
n
na
2
4
1
2
2
2
n
n
a
n
所以当
为奇数时，
n
，
2
1
3
2
4
1
1
1
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
n
n
当
为偶数时，
n
2
1
3
1
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
n
n
，
当
为奇数时，令
，解得
，当
为偶数时，令
，解得
n
2
2
2023
n
n
45
n
n
2
2023
n
n
，
46
n
所以
成立的n 的最小值为
.故选：D
2023
n
S
45
例3．若数列
的前
项和为
，且满足
，
，则
（ ）
na
n
n
S
1
1
a
1
3 2n
n
n
a
a
7
S
A．61
B．253
C．1021
D．4092
解析：由题意，
， 在数列
中，前
项和为
，
，
，
N
n
na
n
n
S
1
1
a
1
3 2n
n
n
a
a
∴
，即
，∴数列
是首项为
1
1
2 2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
2n
na
，公比为
的等比数列，∴
即
，
1
2
1
a
1
1
2
1
1
n
n
n
a
2
1
N
n
n
n
n
a
∴
，
7
1
2
7
2
7
7
1
2
7
2
1 2
2
1
2
1
2
1
1 4 1 3
253
1 2
S
a
a
a
故选：B.
注：当递推关系
时, 求其通项公式可以利用分解变量构造等比数列, 将已
1
1
1
n
n
n
a
a
a q
知的递推关系
分离变量, 得到
(
为常
1
1
1
n
n
n
a
a
a q
1
1
n
n
n
n
a
k aq
a
k aq
k
数), 再利用等比数列
的通项公式求解.
1
n
na
k aq
★类型2.奇偶分段数列
类型1.
，由于数列通项均已知，求和时只需分奇偶求和即
N
k
k
n
n
g
k
n
n
f
an
,1
2
),
(
2
),
(
1
可.
类型2.
，由于数列通项在奇数时为递推关系，所以需要
N
k
k
n
a
g
k
n
n
f
a
n
n
,1
2
),
(
2
),
(
1
先利用递推关系求得奇数时每项的特征，在求和时往往需将奇数项的计算转化为已知通项
的偶数项进行.
类型3.
N
k
k
n
a
g
k
n
a
f
a
n
n
n
,1
2
),
(
2
),
(
1
这一类问题需要先求出各段的通项，再分段求和，由于涉及奇偶讨论，所以去构造隔项之
间的递推关系从而求得具体通项形式.
例4．设数列
满足：
是
的等比中项.
na
*
1
2
2
,
2 ,
N
,
1,
2
1.
n
n
n
a n
k
a
k
a
a
n
k
1
3
,
a a
（1）求
的值；
1a
（2）求数列
的前20 项的和.
na
解析：（1）由已知
，
，
2
1
1
a
a
3
2
1
2
2
2
a
a
a
又
是
的比例中项，所以
，即
，显然
且
，故
2a
1
3
,
a a
2
2
1
3
a
a a
2
1
1
1
(
1)
(2
2)
a
a
a
1
0
a
1
1
a
解得
；
1
1
a
（2）
是奇数时，
，
，
，而
n
1
1
2
2
2(
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
）
3
n
2
2
2(
2)
n
n
a
a
，
1
2
3
a
所以数列
是等比数列，
1
3
2
1
2,
2,
,
2,
n
a
a
a
10
1
2
3
4
19
20
1
1
3
3
19
19
(
1)
(
1)
(
1)
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
．
1
3
19
2[(
2)
(
2)
(
2)]
30
a
a
a
10
3 (1 2 )
2
30
6108
1 2
例5．已知等差数列
中，
，
，数列
的前n 项和为
na
1
2
3
9
a
a
a
4
5
6
27
a
a
a
nb
n
S
，且
，
．
1
1
n
n
b
S
1
1
b
（1）求数列
，
的通项公式．
na
nb
（2）
，
为
的前n 项和，若
恒成立，
,
2
1,
,
2
n
n
n
a n
k
c
k
b n
k
N
nT
nc
2
2
2
10
n
n
T
n
n
b
求λ 的最大值．
解析：（1）因为
为等差数列，所以
，得
．
na
1
2
3
2
3
9
a
a
a
a
2
3
a
由
，得
．所以数列
的公差
，
4
5
6
5
3
27
a
a
a
a
5
9
a
na
5
2
2
5
2
a
a
d
所以
．对于
，
①，当
时，
2
(
2)
3
(
2) 2
2
1
na
a
n
d
n
n
nb
1
1
n
n
b
S
2
n
②，
1
1
n
n
b
S
①-②得
，
，即
，
1
1
n
n
n
n
n
b
b
S
S
b
2
n
1
2
(
2)
n
n
b
b n
由题意可得
，所以
，所以
对任意
成立，
2
1
1
1
1
2
b
S
b
2
1
2
b
b
1
2
n
n
b
b
*
N
n
所以
是首项为1、公比为2 的等比数列，所以
，
．
nb
1
2n
nb
*
N
n
（2）由（1）得
2
1
3
5
2
1
2
4
6
2
(
)
(
)
n
n
n
T
a
a
a
a
b
b
b
b
3
5
2
1
(1
5
9
4
3)
(2
2
2
2
)
n
n
．
2
(1
4
3)
2(1
4 )
2 4
2
2
2
1
4
3
n
n
n
n
n
n
恒成立，等价于
恒成立，化简得
2
2
2
10
n
n
T
n
n
b
1
2 4
2
10
2
3
n
n
1
2 4
28
3 2
n
n
恒成立，即
．设数列
的通项公式为
，
1
min
2 4
28
3 2
n
n
n
d
1
2 4
28
4
14
2
3 2
3
2
n
n
n
n
n
d
令
，得
，所以
，又
2
1
1
1
1
4
14
4 (2
14)
2
0
3
2
3 2
n
n
n
n
n
n
d
d
2
n
2
3
4
d
d
d
1
12
d
，
，所以
，
，所以
，所以λ 的最大值为10．
2
10
d
1
2
d
d
min
(
)
10
n
d
10
例6．已知数列
的前
项和为
，且
．
na
n
*
1
1
,
2
2,
n
n
n
n
S
a
a
a
n
n
N
1
5
1,
15
a
S
（1）求数列
的通项公式;
na
（2）若
，求数列
的前
项和
．
1
2 n
n
n
a
a
n
b
n
，为奇数
，为偶数
nb
2n
2n
T
解析：（1）由
，得
，所以数列
为等差数
1
1
2
(
2)
n
n
n
a
a
a n
1
1(
2)
n
n
n
n
a
a
a
a
n
≥
na
列．所以
，得
．所以公差
．所以
．
1
5
5
3
5
5
15
2
a
a
S
a
3
3
a
3
1
1
3 1
a
a
d
na
n
（2）当
为奇数时，
．当
为偶数时
．
n
n
n
b
a
n
n
1
1
2
2
n
a
n
nb
所以
3
2
1
2
1
3
2
1
2
4
2
1 3
2
1
2
2
2 n
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b
n
2
1
2
2
2
3
n
n
例7．设数列
的前n 项和为
，已知
．
na
n
S
*
1
2
N
n
n
S
a
n
（1）求
的通项公式；
na
（2）设
且
，求数列
的前n 项和为
．
,
2
1
,
2
n
n
a n
k
b
n n
k
*
N
k
nb
nT
解析：（1）当
时，
，当
时，
，所以
是首项
1
n
1
1
a
2
n
1
1
1
2
1
2
n
n
n
n
S
a
S
a
1
2
n
n
a
a
na
为1，公比为2 的等比数列，则
.
1
2n
na
（2）由题设知：
，
，当
为偶数时，
1
2
,
2
1
,
2
n
n
n
k
b
n n
k
*
N
k
n
；
1
3
1
2
4
(
)
(
)
n
n
nT
b
b
b
b
b
b
0
2
2
(2
2
2
)
(2
4
)
n
n
2
1
(
2)
3
4
n
n n
当
为奇数时，
n
1
3
2
4
1
(
)
(
)
n
n
nT
b
b
b
b
b
b
0
2
1
(2
2
2
)
(2
4
1)
n
n
；
1
2
2
1
1
3
4
n
n
综上，
，
.
1
2
2
2
1
,
2
3
4
2
1
1,
2
1
3
4
n
n
n
n n
n
k
T
n
n
k
*
N
k
★类型3.含有
型摆动数列
n)1
(
例8．已知数列
满足：
.则
的前60 项的和为（ ）
na
1
1
3
1
N
n
n
n
a
a
n
n
na
A．1240
B．1830
C．2520
D．2760
解析：由
，故
，
，
，
，….
1
1
3
1
n
n
n
a
a
n
2
1
2
a
a
3
2
5
a
a
4
3
8
a
a
5
4
11
a
a
故
，
，
，….
1
3
3
a
a
5
7
3
a
a
7
9
3
a
a
从第一项开始，依次取2 个相邻奇数项的和都等于3；
，
，
2
4
13
a
a
6
8
37
a
a
，….从第二项开始，依次取2 个相邻偶数项的和构成以13 为首项，以24 为公
8
10
61
a
a
差的等差数列.
故
.故选：D.
60
15 14
3 15 13 15
24
2760
2
S
例9．设等比数列
的前
项和为
，已知
，
.
na
n
n
S
1
1
n
n
a
S
*
N
n
（1）求数列
的通项公式；
na
（2）设
，求数列
的前
项和
.
1
n
n
n
b
a
n
nb
2n
2n
T
解析：（1）设等比数列
的公比为
，
①，
，
当
时，有
{
}
na
q
1
1
n
n
a
S
*
N
n
1
n
，当
时，
②，由①
②得
，即
2
1
1
1
a
S
a q
2
n
1
1
n
n
a
S
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
S
S
，
，
，
，
；
1
n
n
n
a
a
a
1
2
n
n
a
a
2
q
1
1
a
1
2n
na
-
\
=
（2）由（1）得
，则
，
，
1
2n
na
1
( 1) (
)
( 1) (2
)
n
n
n
n
n
b
a
n
n
2
1
2
2
2
n
n
b
n
，
2
2
2
1
(2
2
1)
n
n
b
n
，
1
2
2
1
4
1
n
n
n
b
b
．
1
2
1
2
3
4
2
1
2
4
1
(
)
(
)
...
(
)
(1
4
4
)
3
n
n
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b
n
n
例10.（2014 年湖南文科）已知数列
的前
项和
.
na
n
N
n
n
n
Sn
，
2
2
（1）求数列
的通项公式；
na
（2）设
，求数列
的前
项和.
n
n
a
n
a
b
n
1
2
nb
n
2
解析：（1）当
时，
；
1
n
1
1
1
a
S
当
时，
，故数列
的通向公式为：
2
n
2
2
1
(
1)
(
1)
2
2
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
n
na
.
na
n
（2）由（1）知，
，记数列
的前
项和为
，则
2
1
n
n
nb
n
{ }
nb
2n
2n
T
,进一步，若记
，
1
2
2
2
(2
2
...
2 )
( 1
2
3
4
...
2 )
n
n
T
n
1
2
2
2
2
...
2 n
A
，分别求和可得：
1
2
3
4
...
2
B
n
，
，
2
2
1
2(1 2 )
2
2
1 2
n
n
A
( 1
2)
( 3
4)
... [ (2
1)
2 ]
B
n
n
n
故数列
的前
项和为
.
{ }
nb
2n
2
1
2
2
2
n
n
T
A
B
n
注：此处
是一个分段形式：
，分组求和是处理分段形式
nb
N
k
k
n
n
k
n
n
b
n
n
n
,
2
,
2
1
2
,
2
的数列求和的一把利器！
★类型4.含三角的通项
例11.设数列
满足
,
, 则数列
na
1
2
1,
2
a
a
2
2
*
2
1 cos
sin
2
2
n
n
n
n
a
a
n
N
的前20 项的和
_________.
na
20
S
解析：由递推关系可知, 若
是正奇数, 则
是以
为首项, 2 为公差
n
2
2
1
1,
n
n
k
a
a
a
1a
的等差数列; 若
是正偶数, 则
,
是以
为首项, 2 为公比的等比数列.所
n
2
2
n
n
a
a
2k
a
2a
以,
,
, 可得
2
1
1
(
1) 2
2
1
k
a
a
k
k
1
2
22
2
k
k
k
a
a
.
20
1
3
S
a
a
19
2
4
20
(1 10) 10
2
a
a
a
a
10
2 1 2
2101
1 2
三．习题演练
1．已知数列
满足
是数列
的前
项和，则
na
1
1
1,
2
N
,
n
n
n
n
a
a
a
n
S
na
n
2023
S
（ ）
A．
B．
C．
D．
2023
2
1
1013
2
3
1013
3
2
1
2023
3
2
2
解析：由题设
，且
，所以
，即
，
2
1
2
2
a a
a
1
2
1
2n
n
n
a
a
1
2
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
2
2
n
n
a
a
当
且
时，
是首项为1，公比为2 的等比数列，则
；
2
1
n
k
*
N
k
na
1
2
1
2k
k
a
当
且
时，
是首项为2，公比为2 的等比数列，则
；
2
n
k
*
N
k
na
2
2k
k
a
.故选：B
2023
1
3
2023
2
4
2022
(
...
)
(
...
)
S
a
a
a
a
a
a
1012
1011
1013
1 2
2(1 2
)
2
3
1 2
1 2
2．已知
是数列
的前
项和，
，
，则
n
S
na
n
1
1
a
1
π
cos
π
sin
π
2
n
n
a
a
n
n
2022
S
（ ）
A．
B．
C．
D．
2
2
3
3
解析：由
可得
，
1
π
cos
π
sin
π
2
n
n
a
a
n
n
1
π
sin
π
cos
π
2
n
n
a
a
n
n
当
为奇数时，
；当
为偶数时，
.
n
1
1 1
2
n
n
a a
n
1
1 1
2
n
n
a a
故当
为奇数时，
，
，则
，
n
1
1 1
2
n
n
a a
1
2
2
n
n
a
a
2
1
n
n
a
a
当
为偶数时，
，
，则
.故对任意的
，
.
n
1
2
n
n
a a
1
2
2
n
n
a
a
2
1
n
n
a
a
n
N
2
1
n
n
a
a
所以，数列
中的奇数项成以
为公比的等比数列，偶数项也成以
公比的等比数列，
na
1
1
因为
，则
，所以，
1
1
a
2
1
2
2
a
a
.故选：D.
1011
1011
1011
1
2
1
2
2022
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
2
a
a
a
a
S
3．在数列
中，已知
且
，则其前
项和
的值为（ ）
na
1
1
a
1
2
n
n
a
a
n
29
29
S
A．
B．
C．
D．
56
365
421
666
解析：
29
1
2
3
4
27
28
29
S
a
a
a
a
a
a
a
1
2
3
4
5
26
27
28
29
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2 2
2 4
2 26
2 28
.故选：C
1
2 2
4
6
26
28
421
4. （2021 年新高考1 卷）已知数列
满足
，
na
1
1
a
1
1,
,
2,
.
n
n
n
a
n
a
a
n
为奇数
为偶数
（1）记
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
2
n
n
b
a
1b
2b
nb
（2）求
的前20 项和.
na
解析：（1）由题设可得
1
2
1
2
4
3
2
1
2,
1
2 1
5
b
a
a
b
a
a
a
又
，
，故
即
即
2
2
2
1
1
k
k
a
a
2
1
2
2
k
k
a
a
2
2
2
3
k
k
a
a
1
3
n
n
b
b
1
3
n
n
b
b
所以
为等差数列，故
.
nb
2
1
3
3
1
nb
n
n
（2）设
的前
项和为
，则
，因为
na
20
20
S
20
1
2
3
20
S
a
a
a
a
，所以
1
2
3
4
19
20
1,
1,
,
1
a
a
a
a
a
a
20
2
4
18
20
2
10
S
a
a
a
a
.
1
2
9
10
9 10
2
10
2
10 2
3
10
300
2
b
b
b
b
5.（2023 年新高考2 卷）2
为等差数列，
，记
，
分别为
na
6,
2
,
n
n
n
a
n
b
a n
为奇数
为偶数
n
S
nT
数列
，
的前n 项和，
，
．
na
nb
4
32
S
3
16
T
（1）求
的通项公式；
na
（2）证明：当
时，
．
5
n
n
n
T
S
解析：（1）设等差数列
的公差为
，而
，
na
d
6,
2
1,
N
2
,
2
n
n
n
a
n
k
b
k
a n
k
则
，
1
1
2
2
1
3
3
1
6,
2
2
2 ,
6
2
6
b
a
b
a
a
d b
a
a
d
于是
，解得
，
，
4
1
3
1
4
6
32
4
4
12
16
S
a
d
T
a
d
1
5,
2
a
d
1
(
1)
2
3
na
a
n
d
n
所以数列
的通项公式是
.
na
2
3
na
n
（2）方法1：由（1）知，
，
2
(5
2
3)
4
2
n
n
n
S
n
n
，
2
3,
2
1,
N
4
6,
2
n
n
n
k
b
k
n
n
k
当
为偶数时，
，
n
1
2(
1)
3
4
6
6
1
n
n
b
b
n
n
n
，
2
13
(6
1)
3
7
2
2
2
2
n
n
n
T
n
n
当
时，
，因此
，
5
n
2
2
3
7
1
(
)
(
4 )
(
1)
0
2
2
2
n
n
T
S
n
n
n
n
n n
n
n
T
S
当
为奇数时，
，
n
2
2
1
1
3
7
3
5
(
1)
(
1)
[4(
1)
6]
5
2
2
2
2
n
n
n
T
T
b
n
n
n
n
n
当
时，
，因此
，
5
n
2
2
3
5
1
(
5)
(
4 )
(
2)(
5)
0
2
2
2
n
n
T
S
n
n
n
n
n
n
n
n
T
S
所以当
时，
.
5
n
n
n
T
S
方法2：由（1）知，
，
，
2
(5
2
3)
4
2
n
n
n
S
n
n
2
3,
2
1,
N
4
6,
2
n
n
n
k
b
k
n
n
k
当
为偶数时，
n
2
1
3
1
2
4
1
2(
1)
3
14
4
6
3
7
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b
n
n
当
时，
，因此
，
5
n
2
2
3
7
1
(
)
(
4 )
(
1)
0
2
2
2
n
n
T
S
n
n
n
n
n n
n
n
T
S
当
为奇数时，若
，则
n
3
n
1
3
2
4
1
1
2
3
1
14
4(
1)
6
1
(
)
(
)
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b
，显然
满足上式，因此当
为奇数时，
，
2
3
5
5
2
2
n
n
1
1
1
T
b
n
2
3
5
5
2
2
nT
n
n
当
时，
，因此
，
5
n
2
2
3
5
1
(
5)
(
4 )
(
2)(
5)
0
2
2
2
n
n
T
S
n
n
n
n
n
n
n
n
T
S
所以当
时，
.
5
n
n
n
T
S
