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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 14 第十六章 整式的乘法 知识点一 幂的运算性质（整式乘除基础，𝒂≠𝟎，𝒎、𝒏、𝒑 均为___________） 所有公式前提：底数不为_______，区分指数运算规则，严禁混用 1. 同底数幂相乘 公式：𝐚𝐦⋅𝐚𝐧= _______ 法则：底数不变，指数相加 举例：𝑎2 ⋅𝑎3 = 𝑎5；(−𝑥)4 ⋅(−𝑥)2 = (−𝑥)6 = 𝑥6 2. 幂的乘方 公式：(𝐚𝐦)𝐧= _______ 法则：底数不变，指数相乘 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 14 举例：(𝑥3)2 = 𝑥6；[(𝑎−𝑏)2]3 = (𝑎−𝑏)6 3. 积的乘方 公式：(𝐚𝐛)𝐧= ______________，拓展：(𝑎𝑏𝑐)𝑛= _____________________ 法则：积中每个因式分别乘方，再把幂相乘 举例：(−3𝑥𝑦)2 = 9𝑥2𝑦2 4. 同底数幂相除 公式：𝐚𝐦÷ 𝐚𝐧= ______________ (𝐦> 𝐧) 法则：底数不变，指数相减 5. 零指数幂 𝐚𝟎= 𝟏 (𝐚≠𝟎)；非零数的0 次幂等于1，00 无意义 6. 负整数指数幂（拓展） 𝐚−𝐩= ______________ (𝐚≠𝟎) 易错提醒： 相乘指数加、乘方指数乘；负数乘方，指数偶数结果为正，指数奇数结果为负。 知识点二 整式乘法三大类型 类型1：单项式 × 单项式 运算步骤： 1. 系数相乘作积的系数； 2. 同底数幂依照幂的乘法法则运算； 3. 独有字母连同指数直接保留在积中。 类型2：单项式 × 多项式 • 依据： 乘法分配律 • 公式： 𝐦(𝐚+ 𝐛+ 𝐜) = _____________________ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 14 • 法则： 用单项式去乘多项式里每一项，再把所有积相加 • 注意： 多项式每一项都要乘到，切勿漏项，留意符号 类型3：多项式 × 多项式 • 公式： (𝐚+ 𝐛)(𝐦+ 𝐧) = ___________________________________ • 法则： 先用第一个多项式的每一项，乘第二个多项式的每一项，展开后合并同类项 • 易错： 展开时容易漏乘某一项，正负号极易出错 知识点三 两大核心乘法公式（必考简便运算公式） 1. 平方差公式 • 标准形式： (𝐚+ 𝐛)(𝐚−𝐛) = _____________________ • 文字表述： 两数之和乘两数之差，等于这两个数的平方差 • 适用条件： 两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数 • 变形： 𝑎2 −𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎−𝑏)（逆向用于因式分解） 2. 完全平方公式 ① 和的完全平方：(𝐚+ 𝐛)𝟐= ____________________________ ② 差的完全平方：(𝐚−𝐛)𝟐= ____________________________ • 口诀： 首平方，尾平方，乘积二倍放中央，符号跟随中间项 • 常用拓展变形： 𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)2 −2𝑎𝑏 𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎−𝑏)2 + 2𝑎𝑏 (𝑎+ 𝑏)2 −(𝑎−𝑏)2 = 4𝑎𝑏 • 易错点： 经常遗漏 2𝑎𝑏 中间项 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 14 知识点四 整式的除法 1. 单项式 ÷ 单项式 法则： 1. 系数相除； 2. 同底数幂分别相除，指数相减； 3. 只在被除式里含有的字母，连同指数直接作为商的因式。 例题： 12𝑥5𝑦3 ÷ 3𝑥2𝑦= 4𝑥3𝑦2 2. 多项式 ÷ 单项式 • 公式： (𝐦𝐚+ 𝐦𝐛+ 𝐦𝐜) ÷ 𝐦= _____________________ • 法则： 多项式每一项分别除以单项式，再把所得商相加 • 易错： 每一项都要除以单项式，常数项不可遗漏 易错点1 整式的混合运算 易错提醒 易错点总结 1. 运算顺序混乱：颠倒乘方、乘除、加减先后顺序，优先算了加减，后算乘方乘除；有括号忘记先算 括号内部。 2. 符号频繁出错：负号、负数乘方、单项式去括号时，括号前是负因数，括号内各项变号不彻底。 3. 幂的运算法则混用：同底数幂加减误套指数相加法则；幂的乘方、积的乘方公式记混。 4. 计算末尾遗漏合并同类项，式子没有化到最简形式，步骤残缺扣分。 5. 零指数幂忽略限制条件：随意计算 0 0 ，底数为0 时套用 0 1 a = 。 注意事项总结 1. 严格遵循运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号里。 2. 去括号口诀：正号去括号不变号，负号去括号每一项都要变号；负数乘方分清奇偶次符号。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 14 3. 牢记幂运算适用范围：只有同底数幂相乘、相除才能加减指数；幂的加减不能合并指数。 4. 运算结束必须检查：合并所有同类项，结果化为最简整式。 5. 0 1 a = 成立前提：a≠0，底数为0 时零次幂无意义。 【对点训练】1．化简并求值( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 6 2 x y x y x y xy x + + + − − − ，其中 2 x = −， 1 y = ． 易错点2 多项式乘法中的规律性问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会从前几组算式提炼通用代数式规律，只会单纯计算数值，找不到通项公式。 2. 展开多个多项式相乘时漏项、重复相乘，项数统计错误。 3. 正负交替数列符号规律判断失误，奇数项、偶数项符号写反。 4. 求出规律后，代入指定项数计算时，指数、次数对应错位。 5. 无法利用平方差连续相乘简化一串多项式乘积，硬算过程繁琐极易算错。 注意事项总结 1. 找规律三步走：计算前3 组结果→拆分数字结构→用含 n 的式子写出通用规律。 2. 多项式相乘牢记不重不漏，项数=两个多项式项数之积，做完核对项数。 3. 正负交替规律：常用( 1)n − 或 1 ( 1)n+ − 控制符号，区分奇偶项。 4. 连续相乘式子优先拼凑平方差公式简化运算，避免逐次硬算。 5. 最后代入数值时，核对序号与代数式完全对应，不要偏移次数。 【对点训练】2．观察下列等式： ( )( ) 2 2 a b a b a b − + = − ； ( )( ) 2 2 3 3 a b a ab b a b − + + = − ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 14 ( )( ) 3 2 2 3 4 4 a a b ab a b b b a + + + = − − ； (1)请根据以上等式的规律猜想并填空： ( )( ) 1 2 2 1 n n n n a b a a b ab b − − − − − + + + + = ________（其中n 为正整数，且 2 n ）； (2)利用（1）的结论计算： 9 8 7 3 2 2 2 2 2 2 2 1 + + + + + + + ． 易错点3 通过对乘法公式变形求值 易错提醒 易错点总结 1. 完全平方公式基础变形记不牢，已知a b + , ab ，无法求 2 2 a b + , 2 ( ) a b − 。 2. 做题只会正向套用公式，逆向变形运用生疏，不会拆分、拼凑完全平方式。 3. 整体代入求值时，括号添加错误，符号出错。 4. 忽略 2 2 ( ) ( ) a b b a − = − ，纠结两数大小，没必要分类讨论却反复计算。 5. 多个式子联立求值时，等量代换混乱，计算数值偏差。 注意事项总结 1. 熟记三大核心恒等变形（必考）： 2 2 2 ( ) 2 a b a b ab + = + − 2 2 2 ( ) 2 a b a b ab + = − + 2 2 ( ) ( ) 4 a b a b ab + − − = 2. 求值题优先整体代入，不单独求出字母具体数值，简化计算量。 3. 平方数恒为非负数， 2 ( ) a b − 与 2 ( ) b a − 永远相等，无需区分大小。 4. 做题先观察所求式子结构，主动凑出完全平方、平方差形式再计算。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 14 【对点训练】3．数学探究小组在学习完全平方公式时，发现可以利用恒等变形改变式子的结构，比如： 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 a b a ab b a b a b ab + = + + + = + − ． 类比推导： (1) 2 ( ) a b − = ____________ 2 2 a b + = ____________． 初步尝试： (2)已知 5 a b − = ， 2 ab = ，求 2 2 a b + 的值． 迁移应用： (3)已知( )( ) 7 6 5 x x − − = −，求 2 2 (7 ) ( 6) x x − + − 的值． 易错点4 乘法公式在几何图形中的应用 易错提醒 易错点总结 1. 无法根据正方形、长方形面积等式，对应写出乘法公式，数形结合脱节。 2. 图形拼接、割补后，边长标注错误，面积等量关系式列写错误。 3. 阴影面积计算：大面积减小面积时分不清图形边界，列式出错。 4. 完全平方几何背景中，漏掉小正方形、小长方形区域，等量关系不完整。 5. 利用图形验证公式时，左右两边代数式无法统一化简。 注意事项总结 1. 核心思路：同一个图形面积，用两种不同代数式表示，建立等式。 2. 大正方形边长、分割后的小矩形边长逐一标注清楚，再写面积表达式。 3. 阴影面积通用方法：整体图形面积 − 空白部分总面积。 4. 大正方形分割四块（两个长方形+两个小正方形），严格对应完全平方公式结构。 5. 写完等式后左右两边化简，验证公式相等。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 14 【对点训练】4．“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习《整式 乘法》时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． (1)观察图①，用边长分别为a ，b 的两个正方形和边长为a ，b 的两个长方形拼成的一个图形，利用图形可 以推导出的乘法公式是 ； (2)在（1）中公式里，若 2 2 97 a b + = ， 36 ab = （ 0 a ， 0 b ），求a b + 的值． 【类比探究】 (3)若x 满足( )( ) 5 1 3 x x − − = ，求( ) ( ) 2 2 5 1 x x − + − 的值．小度的想法是设 5 a x = −， 1 b x = −，那么求出 2 2 a b + 的值即可．请你按小度的思路完成解答． 【拓展应用】 (4)如图②，某学校有一块梯形空地ABCD，AC BD ⊥ 于点E ，AE DE = ，BE CE = ，该校计划在AED 和 BEC 区域内种花，在 CDE △ 和ABE 的区域内种草，经测量种花区域的面积和为 2 102 m ， 18 m AC = ，求 种草区域的面积和． 易错点5 以整式的混合运算为背景的新定义问题 易错提醒 易错点总结 1. 看不懂题目自定义新运算符号，擅自套用加减乘除原有运算法则，曲解题意。 2. 代入数字、字母对应位置错乱，把前后数字顺序颠倒计算。 3. 多层嵌套新运算，不会分步计算，直接整体化简导致逻辑错误。 4. 结合乘法公式化简时，去括号、合并同类项符号出错。 5. 最后求解参数取值时，忘记回看题干附加限制条件。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 14 注意事项总结 1. 严格依照题目给出的运算规则计算，不凭借固有经验自创公式。 2. 找准新定义中前后两个数对应的位置，依次代入，顺序不可调换。 3. 多层运算遵循：先算内层新运算，再算外层，分步书写步骤。 4. 化简过程规范运用幂运算、乘法公式，每一步核对符号。 5. 算出结果或参数后，带回题干条件检验，舍去不符合要求的答案。 【对点训练】5．现定义一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d 规定( ) ( ) , , a b c d ad bc = − ．例如： ( ) ( ) 1,3 2,4 1 4 2 3 2 = − = −．请解答下列问题： (1)填空：( ) ( ) 3,5 6,2 − = ______； (2)若( ) ( ) 1, 2 4, 1 x nx x + + + 的代数式中不含x 的一次项时，求n 的值； (3)如图，在六边形ABCDEF 中，对角线BE和CF 相交于点G，当四边形ABGF 和四边形CDEG都为正方形 时，设正方形ABGF 和正方形CDEG的边长分别为a，b，若 9 BE = ，( ) ( ) 2 1, 1 1, 1 40 a b a + + − − = ，求出阴 影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 一、单选题 1．对于任意有理数a ，b ，现用“☆”定义一种运算： 2 2 a b a b = − ☆ ，根据这个定义，代数式( ) x y y + ☆可以 化简为（ ） A． 2 2 x xy + B． 2 xy y − C． 2 xy y + D． 2 x 2．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构 造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它揭示了二项式乘方展开式的系数规律， 观察下列各式，请猜想( ) 8 a b + 展开式中所有项的系数和是（ ） A．128 B．256 C．512 D．1024 3．将图1 中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A．( ) 2 2 2 2 a b a ab b + = + + B．( ) 2 2 2 2 a b a ab b − = − + C．( )( ) 2 2 a b a b a b − + = − D．( )( ) 2 2 a b a b a b + + = + 4．如图，将图1 中两个边长分别为a ，b 的正方形按如图2 所示放置在长方形ABCD内（正方形两邻边与 长方形两邻边重合）．若 10 a b + = ，长方形ABCD与重叠部分面积之差为12，则下列各个量为定值的是（ ） A．长方形ABCD的面积 B．长方形ABCD的周长 C．ab 的值 D．重叠部分周长 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 5．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照 从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”： 2 2 1 3 1 a = − ， 2 2 2 5 3 a = − ， 2 2 3 7 5 a = − ，，有如下结 论： ① 12 96 a = ； ② 1 2 8 a a a + ++ 是8 的倍数； ③m，n 为正整数，且m n ，若( )( ) 2 7 7 2 m m n mn + − + − 是“和谐数”，则 7 m n − = ， 其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．现定义某种运算“ # ”：对于任意两个数a 和b，有 2 2 # a b a ab b = − + ，如 2 2 3#4 3 3 4 4 13 = −+ = ，请按定 义计算( ) ( ) # x y x y + − = ________． 7．若实数x 满足( )( ) 2026 2024 5 x x − − = ，则代数式( ) 2 2025 x − 的值为__________． 8．观察下列各式： ( )( ) 2 1 1 1 x x x − + = −； ( )( ) 2 3 1 1 1 x x x x − + + = −； ( )( ) 3 2 4 1 1 1 x x x x x − + + + = −； …… 根据规律计算： 2025 2024 2023 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 + + + + + + + + = ____________． 9．仔细观察，探究规律：( )( ) 2 1 1 1 x x x − + = −，( )( ) 2 3 1 1 1 x x x x − + + = −，( )( ) 3 2 4 1 1 1 x x x x x − + + + = −， ( )( ) 4 3 2 5 1 1 1 x x x x x x − + + + + = −，则算式 0 1 2 3 4 2024 2025 2026 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + + + 值的个位数字是 ________． 三、解答题 10．先化简再求值：( ) ( )( ) 2 [ 2 2 2 ] 2 a b a b a b b + − + − ，其中 a = − 1 2 ， 3 b = 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / 11．定义：若一个整式能表示成 2 2 A B + （A，B 为整式）的形式，则称这个整式为“平方和式”．例如， ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 2 1 4 1 2 x x x x x − + = − + + = − + ，且 1 x−，2 均为整式，所以 2 2 5 x x − + 是“平方和式”． (1)在3 2 x + ， 2 4 x + ， 2 2 x x + 中，是“平方和式”的是 ： (2)根据定义，说明 2 2 2 4 5 a b a b + + − + 是“平方和式”； (3)如果M ，N 是“平方和式”，那么它们的乘积是否也是“平方和式”？如果是，请说明理由；如果不是，请 举出反例． 12．数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1 可以得到： ( )( ) 2 2 2 3 2 a b a b a ab b + + = + + ． (1)由图2 可以得到：______； (2)利用图2 所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c 满足 11 a b c + + = ， 38 ab bc ac + + = ，则 2 2 2 a b c + + 的值为______； ②若实数x，y，z 满足8 4 2 16 x y z = ， 2 2 2 9 4 44 x y z + + = ，求6 3 2 xy xz yz − − 的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / 13．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N 能否表示为 2 2 x y − （,x y均为自然数）”的问题．指导 教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n 为正整数）： N 奇数 4 的倍数 表示结果 2 2 1 1 0 = − 2 2 3 2 1 = − 2 2 5 3 2 = − 2 2 7 4 3 = − 2 2 9 5 4 = − … 2 2 4 2 0 = − 2 2 8 3 1 = − 2 2 12 4 2 = − 2 2 16 5 3 = − 2 2 20 6 4 = − … 一般结论 ( ) 2 2 2 1 1 n n n − − = − 4n =_______________ 按如表规律，完成下列问题： (1)11=（_____________）2−（_____________）2 ；4n =_____________； (2)兴趣小组还猜测：像2 ，6 ，10，14，…这些形如4 2 n −（n 为正整数）的正整数N 不能表示为 2 2 x y − （,x y 均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设 2 2 4 2 n x y − = − ，其中,x y均为自然数．分下列三种情形分析： ①若,x y均为偶数，设 2 , 2 x k y m = = ，其中,k m均为自然数， 则 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 x y k m k m − = − = − 为4 的倍数． 而4 2 n − 不是4 的倍数，矛盾． 故,x y不可能均为偶数． ②若,x y均为奇数，设 2 1, 2 1 x k y m = + = + ，其中,k m均为自然数．…… ③若,x y一个是奇数一个是偶数，则x y − 和x y + 均为奇数．所以 ( )( ) 2 2 x y x y x y − = − + 为 奇数，而4 2 n − 是偶数，矛盾，故,x y不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知， 猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / 14．对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算： 2 2 , , a b a d bc c d = + + ． (1) 1, 2 3,4 −− =______； (2)如图，四边形ABCD是正方形，边长 4 AB = ，P 在正方形内部，过点P 分别作AB 、AD的垂线与AB 、BC 、 CD、DA相交于点E、F、G、H，连接EC 、HC ，AE AH m = = ，CF CG n = = ，且 ,4 22 , m m n n = ．求图中 阴影部分的面积是多少？ 15．观察下列各式： 第1 个等式：( )( ) 2 1 1 1 x x x − + = −； 第2 个等式：( )( ) 2 3 1 1 1 x x x x − + + = −； 第3 个等式：( )( ) 3 2 4 1 1 1 x x x x x − + + + = −； …… (1)根据规律写出第n 个等式：______； (2)根据规律计算： 2026 2025 2024 2023 4 3 2 10 10 10 10 10 10 10 10 1 − + − ++ − + − + ．
