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第二章《函数》
第01讲 函数的概念及其表示
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集
合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，
x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段
函数．
(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，
值域等于各段函数的值域的并集．一．函数的概念
例1．（1）下列四个图像中（如图），属于函数图象的是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．(1)(2) B．(1)(3)(4) C．(2)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)
【答案】B
【分析】根据函数定义判断选择.
【详解】根据函数定义，函数图像与 至多一个交点，所以（2）不满足，即属于函数图象的是
(1)(3)(4)，选B.
【点睛】本题考查函数定义，考查基本判别能力.
（2）集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（ ）
A． B． ： C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义分别进行判断即可．
【详解】对于C选项的对应法则是f：x→y= x，可得f（4）= ∉B，不满足映射的定义，故C的对应法则
不能构成映射．
故C的对应f中不能构成A到B的映射．其他选项均符合映射的定义.
故选C．
【点睛】本题考查函数概念，给出集合A、B，要求我们找出从A中任取一个元素，在B中都有唯一一个与
之对应，属于基础题．
（3）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A． ，
B． ，C． ，
D． ，
【答案】AD
【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.
【详解】对于选项A， ， 两个函数的定义域均为 ，且 ，所
以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A正确；
对于选项B， ， 两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，
故B错误；
对于选项C， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义
域不同，不是同一个函数，故C错误；
对于选项D， ， 两个函数的定义域均为R，对应关系也相同，是同一个函
数，故D正确．
故选：AD.
【复习指导】：(1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与
之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
二．求函数的解析式
命题点1 已知函数类型求解析式
例2．（1）已知 是一次函数，且满足 ；
（2）已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式；
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设 ，则所以 解得： 所以 ；
（2）设
，解得：
（3）已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.
【答案】x2＋2x＋1
【详解】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，
∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋c，又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根．
∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1. 故f(x)＝x2＋2x＋1.
命题点2 已知 求解析式
例3．（1）已知f( ＋1)＝x＋2 ，求 的解析式．
【答案】f(x)＝x2－1(x≥1)；
【分析】可以采用换元法和凑配法，两种方法求解；
【详解】(方法1)(换元法)：设t＝ ＋1， ，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－
2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(方法2)(配凑法)：∵x＋2 ＝( )2＋2 ＋1－1＝( ＋1)2－1，
∴f( ＋1)＝( ＋1)2－1( ＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
（2）设函数f ＝x，则f(x)的表达式为( )
A.(x≠－1) B.(x≠－1)
C.(x≠－1) D.(x≠－1)【答案】C
【详解】令t＝，则x＝，
∴f(t)＝，
即f(x)＝(x≠－1)．
（3）已知 ，求 的解析式．
【答案】 ．
【详解】由题意得： 定义域为
设 ，则
．
（4）已知 ，求 的解析式．
【答案】 或
【分析】先对 进行因式分解为为 相关式子，然后借助换元法替换即可；
【详解】
，
令 ，由双勾函数的性质可得 或 ，
， 或
命题点3 方程组法求解析式例4．（1）知函数 满足条件 对任意不为零的实数 恒成立,求 .
【答案】
【分析】将 代入等式得到一个新表达式，然后联立原式根据方程组思维求解 即可
【详解】将 代入等式 得出 ，
联立 ，变形得： ，解得
（2）已知定义域为R的函数 满足 ，则 ___________.
【答案】
【解析】由题意利用方程思想求得函数的解析式即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
同除以2得 ，
两式相加可得 ，即 .
故答案为： .
【点睛】求函数解析式常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f(x)与 或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，
通过解方程组求出f(x)．（3）已知函数 的定义域为 ，且 ，则 _______
【答案】
【解析】根据 ，考虑到所给式子中含有 和 ，用 代替 代入
，解关于 与 的方程组，即可求得 ．
【详解】考虑到所给式子中含有 和 ，故可考虑利用换元法进行求解．
在 ，用 代替 ，
得 ，将 代入 中，可求得 ．
故答案为： .
【点睛】此题是个基础题．本题主要考查通过给定条件求函数解析式的问题．联立方程求函数解析式是求
解析式的一种重要方法．
（4）已知函数 ， ，且 满足 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知条件得出关于 和 的方程组，进而可求得 的值.
【详解】由于函数 满足 ，则 ，解得 .
故选：A.
【点睛】本题考查函数值的计算，建立关于 和 的方程组是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
【复习指导】：函数解析式的求法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F (x)，可将F (x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f (x)
的解析式．
(4)消去法（方程组法）：已知f (x)与f 或f (－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组
成方程组，通过解方程组求出f (x)．
三．分段函数
命题点1 求分段函数的函数值
例5．（1）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.
【详解】 ，
，
，
故选A.
【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.
（2）设函数 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 时，
所以 ；
又 时， ，
所以 故选A.
本题考查分段函数的意义,函数值的运算.
（3）设函数 , （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【详解】 . 故选C.
命题点2 分段函数与方程、不等式问题
例6．（1）设函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由题意得 ，当 时，即 ，则
，解得 （舍去）；当 时，即 ，则 ，解得
，故选D．考点：分段函数的应用．
（2）设函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别在 和 的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果.
【详解】当 时， ， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的取值范围为 .
故选：A.
（3）设函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
【答案】A
【分析】利用解析式先算出 ，然后分 和 两种情况讨论，算出对应的范围，即可得到答案
【详解】解：由函数的解析式可得 ，
当 时，不等式即 ，即 ，解得 ，此时 ；
当 时，不等式即 ，解得 ，此时 ；综上可得， 的取值范围是 或 ，
故选： .
（4）设函数 则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合函数性质分析可得 或 ，求解即可
【详解】由题意， 在 单调递增，且
故 或
解得：
故选：D
【复习指导】：(1)分段函数的求值问题的解题思路：
①求函数值：当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入
检验．
(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路：依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起
来．
四．函数的定义域
例7．（1）函数 的定义域为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的函数式，列出不等式组求解作答.
【详解】函数 有意义，则有 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：C
（2）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等
式组，求解即可.
【详解】解：由已知得 ，解得 且 ，
所以函数 的定义域为 ，
故选：B.
（3）已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解.
【详解】因为函数 的定义域是 ，
所以 ，所以
所以函数 的定义域为 ，
要使 有意义，则需要 ，解得 ，
所以 的定义域是 .
故选：D.
（4）已知函数f(x)的定义域是[1，5]，求函数f(x2＋1)的定义域.
（5）已知函数f(2x2－1)的定义域是[1，5]，求f(x)的定义域.
【答案】（4）[－2，2]；（5）[1，49].
【分析】（4）由f(x)的定义域是[1，5]得函数f(x2＋1)有1≤x2＋1≤5，解出即为定义域；
（5）函数f(2x2－1)的定义域是[1，5]，有x在[1，5]求出2x2－1的范围即为f(x)的定义域.
【详解】(4)由f(x)定义域为[1，5]，知f(x2＋1)中需1≤x2＋1≤5，解得－2≤x≤2.
∴f(x2＋1)的定义域为[－2，2].
(5)由f(2x2－1)定义域为[1，5]，得1≤x2≤25，1≤2x2－1≤49，故f(x)定义域为[1，49].
点睛：求解定义域问题即为求解函数中自变量 的取值集合，对于复合函数依然如此，对于函数
和 而言，求解定义域依旧是各自函数中 的取值集合，特别注意两函数中 和 的范围一样，
即可以根据一个函数的定义域求解括号中整体的范围，再去求解另一个函数的定义域即可.
【复习指导】： (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于
零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于 1的正数
以及三角函数的定义域等．
(2)求函数定义域应注意的问题
①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
③求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要
注意端点值或边界值．
(3)求抽象函数的定义域的策略
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
五．函数的值域
例8．求下列函数的值域
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8）
（9） ；
（10） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） 且 ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） ；（10） .
【分析】（1）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；
（2）直接利用二次函数性质求分母取值范围，再求y的取值范围即得结果；
（3）先求定义域，再利用函数单调性求函数取值范围即可；
（4）变形得 ，即可得解；
（5）利用二次函数的单调性逐步求值域即可；
（6）令 ，则 ，将函数变形为 ，利用二次函数的性质计算可得；
（7）求出函数定义域， 平方后利用二次函数的性质求值域即可；
（8）直接利用二次函数的单调性逐步求值域即可；
（9）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；
（10）先进行换元 ，再利用对勾函数单调性求解值域即可.
【详解】解：（1）分式函数 ，
定义域为 ，故 ，所有 ，
故值域为 ；
（2）函数 中，分母 ，
则 ，故值域为 ；
（3）函数 中，令 得 ，
易见函数 和 都是减函数，
故函数 在 时是递减的，故 时 ，
故值域为 ；
（4） ，故值域为 且 ；
（5） ，
而 ， ，
， ，
即 ，故值域为 ；
（6）函数 ，定义域为 ，令 ，
所以 ，所以 ，对称轴方程为 ，
所以 时，函数 ，故值域为 ；
（7）由题意得 ，解得 ，
则 ，
故 ， ， ，
由y的非负性知， ，故函数的值域为 ；
（8）函数 ，定义域为 ， ，故
，即值域为 ；
（9）函数 ，定义域为 ，
故 ，所有 ，故值域为 ；
（10）函数 ，令 ，则由 知， ， ，
根据对勾函数 在 递减，在 递增,
可知 时， ，故值域为 .
【点睛】方法点睛：
求函数值域常见方法：
（1）单调性法：判断函数单调性，利用单调性求值域（包括常见一次函数、二次函数、分式函数、对勾
函数等）；
（2）换元法：将复杂函数通过换元法转化到常见函数上，结合图象和单调性求解值域；
（3）判别式法：分式函数分子分母的最高次幂为二次时，可整理成关于函数值y的二次方程，方程有解，
判别式大于等于零，即解得y的取值范围，得到值域.
【复习指导】：求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法；(7)导数法．
六．定义域与值域的应用
例9．（1）已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围．
【详解】令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a，要使函数y＝的值域为[0，＋∞)，
则说明[0，＋∞)⊆{y|y＝g(x)}，即函数对应的一元二次方程的判别式Δ≥0，
即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0，解得a≥4＋2或a≤4－2，
∴a的取值范围是{a|a≥4＋2或a≤4－2}．
（2）若函数f(x)＝ln(ax－1)在(2，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【详解】要使函数f(x)＝ln(ax－1)有意义，则ax－1>0，
即ax－1>0在(2，＋∞)上恒成立，
∴解得a≥.
（3）已知函数f(x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b](b>1)，则实数b＝________.
【答案】3
【详解】f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，b]且b>1，
则f(1)＝1，f(b)＝(b－1)2＋1，∵f(x)在[1，b]上为增函数，
∴函数f(x)的值域为.
由已知得(b－1)2＋1＝b，解得b＝3或b＝1(舍).
（4）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：由题意知 在 上恒成立，因二次项的系数是参数，所以分 和 两
种情况，再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号，列出式子求解，最后求并集即可．
详解：∵函数 的定义域为 ，
∴ 在 上恒成立，
①当 时，有 在 上恒成立，故符合条件；
②当 时，由 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 ．
故选B.
点睛：本题的考点是对数函数的定义域，考查了含有参数的不等式恒成立问题，由于含有参数需要进行分
类讨论，易漏二次项系数为零这种情况，当二次项系数不为零时利用二次函数的性质列出等价条件求解．
（5）函数 的定义域为 ,则 的取值范围为______.
【答案】 .
【分析】函数的定义域为实数集即 的解集为R，即 无解，令判别式小于0即可.
【详解】由函数 的定义域为 ，
得 无解，
，解得： .故答案为： .
【点睛】本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，解题时要认真审题，理清条件
和要求解的量之间的关系，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生化简计算的能力，是
基础题.
【复习指导】：已知函数的定义域、值域求参数问题，可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图
象、性质、转化为含参数的方程(组)、不等式(组)，然后求解．
1．对于集合 ， ，由下列图形给出的对应 中，不能构成从 到 的函数
有（ ）个
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据函数的定义，可知 不能有剩余且每个 只能对应唯一的一个 ，由此可判断出结果.
【详解】第一个图形中， 有剩余元素，所以不能构成从 到 的函数
第二个图形中，存在 对应两个不同的 ，所以不能构成从 到 的函数
第三个图形中，在 时，对应两个不同的 ，所以不能构成从 到 的函数
第四个图形中，每个 都有唯一确定的 与之对应，所以可以构成从 到 的函数
综上所述，共有 个图形不能构成从 到 的函数
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数的基本定义，关键是明确函数是一种特殊的映射，每个 都有唯一确定的 与之对
应，属于基础题.
2．下列变量 与 的关系式中，不能构成 是 的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】对A，由 得 是函数关系；
对B，由 ，得 是函数关系；
对C，由 ，得 ，此时 值不唯一，不是函数关系；
对D，由 ，得 是函数关系，
故选：C
3．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，
④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【详解】对应关系若能构成从 到 的函数，须满足：对 中的任意一个数，通过对应关系在 中都有
唯一的数与之对应，①中，当 时， ，故①不能构成函数；②中，当 时，
，故②不能构成函数；③中，当 时， ，故③不能构成函数；④中，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，故④能构成函数.
故选D.
4．设函数 对 的一切实数均有 ，则 等于（ ）
A．2016 B．-2016 C．-2017 D．2017
【答案】B
【分析】将 换成 再构造一个等式，然后消去 ，得到 的解析式，最后可求得 ．
【详解】 ①
②
① ② 得，
故选： ．
【点睛】本题考查求解析式的一种特殊方法：方程组法．如已知 ，求 ，则由已知
得 ，把 和 作为未知数，列出方程组可解出 ．如已知
也可以用这种方法求解析式．
5．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝ －4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
【答案】B
【分析】用 代替原方程中的 ，构造方程，解方程组的方法求解.
【详解】用 代替原方程中的 得：
f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，
∴
消去 得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，
.
故选：B
6．设 ，则
A． B． C． D．
【答案】C【详解】试题分析： ， ．故C正确．
考点：复合函数求值．
7．已知 ，若 ，则 （ ）
A．5 B． C．2 D．2或
【答案】B
【分析】根据题意将两部分范围确定，分别代入函数，即可解出 的值，再代入求解即可.
【详解】解：根据题意 ，
当 时函数 在 上单调递增，当 时函数 在 上单调递增，
若 ，
，
则必有 ，即 ，
则 ，
即 ，则 ，
解得 或 （舍去），
，
故选：B.
8．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．
【详解】解： ，
当 时， ，所以 或 ；
当 时， ，所以 ，
所以不等式 的解集是 ， ， ，
故选：A．
9．设函数f(x)= 若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由于 的范围不确定，故应分 和 两种情况求解.
【详解】当 时， ，
由 得 ，
所以 ，可得： ，
当 时， ，
由 得 ，
所以 ，即 ，即 ，
综上可知： 或 .故选：C
【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式的关键是对 的范围讨论，分情况解，属于中档题.
10．已知函数 则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据 在R上单调递增可求解.
【详解】易得函数 在R上单调递增，
则由 可得 ，解得 ，
故不等式的解集为 .
故选：A．
11．已知函数 ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当 时有 成立；当 时有 成立，故 的取
值范围可求.
【详解】当 时 为增函数，故 时有 成立
所以 ；
当 时 ，故 时有 成立，所以
综上所述：故选：D
12．已知函数 若f(x)>3，则x 的取值范围是( )
0 0
A．(8，＋∞) B．(－∞，0)∪(8，＋∞)
C．(0,8) D．(－∞，0)∪(0,8)
【答案】A
【详解】依题意，得 或
即 或
所以x∈∅，或x>8，故选A.
0 0
13．已知函数 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由 可得出 ，然后再分 、 两种情况解不等式 ，
即可得解.
【详解】若 ，则 ，解得 ，此时， ；
若 ，则 ，可得 ，解得 .
综上， .若 ，由 可得 ，可得 ，解得 ，此时 ；
若 ，由 可得 ，可得 ，解得 ，此时，
.
综上，满足 的 的取值范围为 .
故选：D.
【点睛】思路点睛：涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量的取值不确定时，
往往要分类讨论求解；当自变量的取值确定但分段函数中含有参数时，只需根据自变量的情况直接代入相
应解析式求解.
14．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ，所以 的定义域为 .又因为 ，即 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：C.
15．已知 的定义域为[0，3]，则 的定义域是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】由 的定义域为 得 ，进而 ，求得 即可.
【详解】∵ 的定义域为 ，∴ ，∴ ，
在 中 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ．
故选：B
16．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用配方法求出函数的最小值，结合二次函数的单调性、函数的定义域和值域进行求解即可.
【详解】 ，
当 时， ；当 或 时， .
因此当 时，函数 在区间 上的最小值为 ，
最大值为 ，所以，实数 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】本题考查了已知二次函数的定义域和值域求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.
17．函数 的值域为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：利用二次函数的性质即可得出答案.
解析： ，
对称轴为 ，抛物线开口向上，
，
当 时， ，
距离对称轴远，
当 时， ，
.
故选：D.
点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类
型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论
18．函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4]
【答案】D
【分析】因为函数 的图象开口朝上，由 ，结合二次函数的
图象和性质可得 的取值范围.
【详解】函数 的图象是开口朝上，
且以直线 为对称轴的抛物线，
故 ，
函数 的定义域为 ,值域为 ，
所以 ，即 的取值范围是 ,故选D.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数的定义域与值域，意在考查灵活应用所学知识解
答问题的能力.
19．函数的 值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，则 ，再根据二次函数的性质求出 的最大值，进而可得 的范围，再计
算 的范围即可求解.
【详解】令 ，则 且
又因为 ，
所以 ，所以 ，
即函数的 值域为 ，
故选：B.
20．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，可得 ，求出函数的对称轴，由二次函数的性质可得函数的值域.
【详解】解：令 ，可得 ，
可得函数的对称轴为： ，故函数在 上单调递增，
当 时， ，故函数的值域为 ，故选：B.
【点睛】本题主要考查函数的值域，解题的关键是利用换元法进行换元，根据指数函数的值域与二次函数
的性质进行求解.
21．已知函数 ，（ ），则它的值域为（ ）
A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0）
【答案】D
【分析】化简函数 ，结合 ，求得 的取值范围，即可求解.
【详解】由题意，函数
设 ，则 ，可得
故 的值域为 .
故选：D.
22．已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题得 ，即求.
【详解】∵ ，又函数 的值域为R，
则 ，解得 ．
故选：C．23．已知函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由于 ，进而得 ，即函数 的值域是
【详解】解：因为 ,
所以
所以函数 的值域是
故选：B
24．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求对数型函数 的定义域化简集合 ，再化简集合 ，利用交集的概念，即可求出
结果.
【详解】解:因为 ，
，
所以 .
故选：D25．已知函数 则函数 的值域为（ ）
A．R B． C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出 和 时的值域，再求各段值域的并集，即可得到答案.
【详解】当 时， ，
由基本不等式可得： （当且仅当 ，即 时等号成立）
所以 ，即函数 的取值范围为 ；
当 时， ，因为当 时， 取得最大值1，
所以函数 的取值范围为 .
综上，函数 的值域为 。
故选：B.
26．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解出集合 、 ，然后利用集合的交集运算可求出 .
【详解】解不等式 ，得 或 ，所以， .
当 时， ；当 时， ， .
因此， ，故选C.
【点睛】本题考查集合的交集运算，要明确集合的对象类型以及集合的含义，解出集合是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.
27．函数 值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质进行求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
故选：D
28．已知函数 ， ，若对任意 ，总存在 ，使得
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据二次函数的性质求出 在 上的值域为 ，利用一次函数的单调性求出
在 上的值域为 ，由题意可得 ，再根据集合的包含关系即可求解.
【详解】 ， ，
， ，
在 上的值域为 ，
又 在 上单调递增，
在 上的值域为 ，由题意可得 ， ，解得 .
故选：D
【点睛】该题考查了二次函数的性质、由函数的单调性求值域、集合的包含关系求参数的取值范围，属于
基础题目.
29．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
【答案】AC
30．（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（ ）
A． 与 表示同一函数
B．函数 的图象与直线 的交点最多有1个
C． 与 是同一函数
D．若 ，则
【答案】BC
【分析】根据同一函数的判定方法，可判定AC；根据函数的概念，可判定B；根据函数的解析式，求得
，进而求得 的值，可判定D.
【详解】对于A，函数 的定义域为 ，函数 定义域为 ，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B，若函数 在 处有定义，则 的图象与直线 的交点有1个；
若函数 在 处没有定义，则 的图象与直线 没有交点，故B正确；
对于C，函数 与 的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故
C正确；
对于D，由 ，可得 ，所以 ，故D错误；
故选：BC
31．若函数 满足条件 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【分析】由题可求函数的解析式，再利用均值不等式即得.
【详解】∵函数 满足条件 ，
所以可得 ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 即 ， 时取等号.
故答案为：
32．已知函数 ，若 ，则 ______．【答案】 ， 或
【分析】根据分段函数分别求满足 的 的值即可.
【详解】解：函数 ，
故当 时， ，即 ，解得 或 ；
当 时， ，解得 .
综上， ， 或 .
故答案为： ， 或 .
33．已知 ，函数 ，若 ，则 __________．
【答案】
【分析】根据定义域选择合适的表达式代入求值
【详解】 ，解得
故答案为：
34．函数 的定义域为______________．
【答案】
【分析】换元 ，得出 ，求出 的范围，由此可得出 的取值范围，即可得出函数
的定义域.
【详解】换元 ，得出 ，解得 （舍去）或 ，即 ，解得 .
因此，函数 的定义域为 ，故答案为 .【点睛】本题考查函数定义域的求解，解题的关键利用换元法将指数不等式转化为二次不等式进行求解，
考查运算求解能力，属于中等题.
35．设函数 则满足 的x的取值范围是____________.
【答案】
【详解】由题意得： 当 时， 恒成立，即 ；当 时，
恒成立，即 ；当 时， ，即 .综上，x的取值范围
是 .
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析
式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对
应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.
36．设函数f(x)＝ 若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【分析】对 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f(a)≥－2，再对a的符号进行
分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.
【详解】当 时，f(f(a))≤2即为 ， ，
解得 ，所以 ；
当 时，f(f(a))≤2即为 ，因为 恒成立，所以 满足题意.
所以f(a)≥－2，则 或 ，解得 .
故答案为：【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题.
37．已知函数 ，则不等式 的解集为__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.
【详解】当 时， ，解得 ，于是得： ，
当 时， ，解得 ，于是得 ，
所以 的解集为 ．
故答案为：
38．函数 的定义域为_____________.
【答案】
【详解】根据二次根式与对数函数有意义的条件可得 ，解之可得， ，
时，不等式解集为 ，故 的定义域为 ，故答
案为 .
39．函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【分析】函数 的定义域为 ，等价于 恒成立，然后分 和 两种
情况讨论求解即可得答案
【详解】函数 的定义域为 ，等价于 恒成立，
当 时，显然成立；
当 时，由 ，得 ．综上，实数 的取值范围为 ．
故答案为：
40．函数 的定义域 ，则实数 的值为________
【答案】3
【解析】根据具体函数的定义域建立不等式组，由已知可得答案.
【详解】由题意，函数 有意义，
满足 ，即 ，
又由函数 的定义域为 ， ，
解得 ．
故答案为：3.
【点睛】本题考查由具体函数的定义域求参数的值，属于基础题.
41．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据对数函数的真数大于0，得出 ax＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒
成立时a的取值范围．
【详解】解：函数f（x）＝lg（ ax）的定义域为R，
∴ ax＞0恒成立，
∴ ax恒成立，
设y ，x R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；
∈
令y＝﹣ax，x R；它表示过原点的直线；
∈由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y 的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，
解得﹣1≤a≤1；
∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．
故答案为[﹣1，1]．
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．
42．函数 的值域是______________（用区间表示）
【答案】
【分析】根据二次函数、一次函数的性质，分别求解 时和 时，函数的值域，综合即可得
答案.
【详解】当 时， ，为开口向上，对称轴为 的抛物线，
所以 ，
当 时， ，为单调递减函数，
所以 ，
综上： ，即 的值域为 .
故答案为：
43．函数 的值域是___________.
【答案】
【分析】因为 设 ，即求 在 上的值域.【详解】因为 ，设 ,
,
在 上单调递增,
所以
故答案为： .
【点睛】本题考查指数函数的性质，二次函数的值域，考查换元法,属于中档题.
44．已知函数 ，则 ________；若当 时， ，则
的最大值是_________.
【答案】
【分析】先算内层 ，再求 ；画出 大致图象，确定 变化范围，可求 的最大
值.
【详解】 ，则 ；
由分段函数画出大致图象，如图：
若当 时， ，则可令 解得 ，则 ，令 ，解得或 （舍去，）则 ， ，则 ，则 的最大值是
故答案为： ；
45．（1）若二次函数 满足 ， ，求 .
（2）若对任意实数 ，均有 ，求 .
（3）已知 ，求 的解析式；
（4）已知 ，求 的解析式.
【答案】（1） ；（2） ；（3） ， ；（4）
， .
【分析】（1）根据题意设 ，进而待定系数法求解即可；
（2）利用方程组法求解即可；
（3）利用 求解即可；
（4）利用方程组法求解即可；
【详解】解：（1）因为二次函数 满足 ；所以设 ，
则： ；
因为 ，所以 ；∴ ；∴ ；∴ ， ；
∴ .
（2）∵ （1）
∴ （2）
由 得 ，
∴ .
（3）因为 ，所以 ，
所以 ，
（4）因为 ，①
所以 ，②
消去 解得 ，
46．求函数解析式：
（1）若 ，求
（2）若 ，求
（3）若 ，求
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）应用整体代入法，即可求 解析式；
（2）应用换元法：令 则 ，代入函数解析式即可求 ；（3）由题设有 ，结合已知条件，利用消元法求 即可.
【详解】（1）由题设， ，
∴ .
（2）令 ，则 ，
∴ ，即 .
（3）由题设， ，
∴ ，
∴ ，则 .
47．求下列函数的解析式.
(1)已知二次函数 满足 ，求 的解析式；
(2)已知函数 满足 ， ，求 的解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，代入 ，让两边系数相等即可；
（2）把 用 替代，两个式子联立，消去 ，即得解.
【详解】（1）设 ，
，
，∴ ，
故 ，
解得 ，
，
（2）在 ①中
把 用 替代，得 ②，
由①②联立消去 得 ，
.
48．求下列函数的值域：
（1） ；
（2） ；
（3）
（4） ；
（5） ；
（6） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）
【分析】（1）根据二次函数的值域求出被开方数的范围，即可求出函数的值域；
（2）根据二次函数的单调性，即可求出值域；（3）分离常数，利用反比例函数的值域，即可求解；
（4）分离常数，利用二次函数的值域以及不等式的性质，即可求出函数值域；
（5）分类讨论去绝对值，转化为求一次函数的值域；
（6）利用二次函数的值域，结合不等式的性质，即可求出结论.
【详解】（1） ，
，函数 值域为 ；
（2） ，当 时单调递减，
当 时单调递增， ，
所以函数 的值域是 ；
（3） ，
所以函数 的值域是 ；
（4）
，所以函数 值域是 ；
（5） ，当 时， ，
当 时， ，当 ，
所以函数 的值域是 ；
（6） 定义域为 且 ，
，
或 ，
或 ，所以函数 的值域是 .
【点睛】本题考查初等函数的值域，涉及到一次函数、二次函数、反比例函数的值域，注意不等式性质以
及分离常数在求解中的应用，属于中档题.
49．求下列函数值域：
（1）y＝2x2－2x＋3；
（2）y＝ ；
（3）y＝2x－ ；
（4）y＝2－ .
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【分析】（1）由题意结合二次函数的性质即可得解；
（2）由题意转化条件为 ，再结合反比例函数的性质即可得解；
（3）令 ，转化条件为 ，结合二次函数的性质即可得解；
（4）由题意结合二次函数、二次根式的性质可得 ，即可得解.
【详解】（1）由题意 ，
所以函数 的值域为 ；
（2）由题意 ，
由 可得函数 的值域为 ；
（3）令 ，则 ，所以 ，
所以当 时，函数取最小值 ，
所以函数 的值域为 ；
（4）由题意 ，所以 ，
所以 ， ，
所以函数 的值域为 .
【点睛】本题考查了具体函数值域的求解，考查了换元法的应用及运算求解能力，属于基础题.
50．求下列函数的值域：
(1)y＝ ； (2)y＝ ；
(3)y＝x＋4 ；(4)y＝ (x＞1)．
【答案】(1) {y|y≠3}；(2) (0,5]；(3) (－∞，5]；(4) [4，＋∞).
【分析】（1）分离函数得y＝3＋ ≠3，从而得值域；
（2）由 ，通过计算分母的范围即可得值域；
（3）令 ＝t≥0，即可通过计算二次函数y＝－t2＋4t＋1在t≥0的值域即可得解；
（4）令x－1＝t＞0，可通过计算y＝t＋ ＋2得值域.
【详解】(1)y＝ ＝3＋ ≠3，
值域为{y|y≠3}．
(2) ，
∵2(x－1)2＋1≥1，∴y∈(0,5]．
(3)令 ＝t≥0，∴y＝－t2＋4t＋1，∵t≥0，∴y∈(－∞，5]．
(4)令x－1＝t＞0，x2＝t2＋2t＋1，
∴y＝t＋ ＋2≥4，当且仅当t＝1时取等号．
∴y∈[4，＋∞).
【点睛】本题主要考查了函数值域的计算，一般常用的方法有：配方法，分离常数法，换元法，属于基础
题.
