文档文本内容
第9 题 双纽线综合问题（一题多解）
【辽宁省名校联盟2025 届高三12 月联合检测】如图，曲线C 称为“双纽线”，其对称中
心在坐标原点O，且C 上的点满足到点
，和
的距离之积为定值
，则
（ ）
A．若
，点
在曲线C 上
B．若
，曲线C 的方程为
C．若
，曲线C 上点的纵坐标的最大值为1
D．若点
在
上，则
直接根据定义验证可判定A 项；利用两点距离公式化简计算轨迹方程即可判
定B 项；结合B 的结论及判别式法并验证特殊情况可判定C 项；利用平方式的意义及轨迹
方程的变形可判定D 项.
易知原点
在曲线上，
．
对于A 项，当
时，设曲线
与
轴正半轴相交于点
，
则
，解得
，故A 项正确；
对于B 项，设曲线
上任意一点坐标为
，则
，
得
，则
，所以
，
即
，故B 项错误；
对于C 项，由
，得
，
则
，所以
，即
，
得
，由方程有解得
，
所以
，即
，当
时，
，故C 项正确；
对于D 项，角度一、由
，得
，
所以点
在
上时
成立，故D 项正确．
角度二、由曲线C 的方程
得
，
．
故选ACD 项．
（2024·河北石家庄·模拟预测）
1．如图，曲线C 过坐标原点O，且C 上的动点
满足到两个定点
，
的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若直线
与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为
C．
周长的最小值为12
D．
面积的最大值为
（24-25 高三上·河南·开学考试）
2．双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有
特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计
作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线
是双纽线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线
的图象关于原点对称
B．曲线
经过7 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线
上任意一点到坐标原点
的距离都不超过3
D．若直线
与曲线
只有一个交点，则实数
的取值范围为
对于C 项，由轨迹方程消元结合基本不等式可判定或消元后利用二次函数的
性质计算即可.
对于C，
角度一、当
时，曲线C 的方程为
，
，
，
当
时，可取“＝”，曲线C 上点的坐标最大值为1；
角度二、由
得
，
令
，
，纵坐标最大值为1．
3．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，
“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆
的方程为
，半椭圆
的方程为
．则下列说法正确的是（ ）
A．点A 在半圆
上，点B 在半椭圆
上，O 为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB 面积的最大
值为6
B．曲线C 上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C．若
，P 是半椭圆
上的一个动点，则cos∠APB 的最小值为
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在
与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆
扩充为整个椭圆
：
后，椭圆
的蒙日圆方程为
4．2021 年3 月30 日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo.设计师的灵感
来源于曲线C：
.其中星形线E：
常用于超轻材料的设计.则下列关
于星形线说法正确的是（ ）
A．E 关于y 轴对称
B．E 上的点到x 轴、y 轴的距离之积不超过
C．E 上的点到原点距离的最小值为
D．曲线E 所围成图形的面积小于2
对于C 项，利用等面积法表示焦点三角形，结合正弦函数的值域计算并验证
即可.
对于C 项，解焦点三角形，
设
，
，
，则
，
∴纵坐标最大值为1，此时
．
（24-25 高三上·广东·开学考试）
5．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设
和
且
，动点
满足
，动点
的轨迹显然是卡西尼卵形线，
记该卡西尼卵形线为曲线
，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线
的方程是
B．曲线
关于坐标轴对称
C．曲线
与
轴没有交点
D．
的面积不大于
6．2022 年卡塔尔世界杯会徽正视图近似伯努利双纽线．伯努利双纽线最早于 1694 年被
瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．定义在平面直角坐标系
中，把到
定点
，
距离之积等于
的点的轨迹称为双纽线，已知点
是
时的双纽线
上一点，下列说法正确的是（ ）
A．双纽线
是中心对称图形
B．
C．双纽线
上满足
的点有2 个
D．
的最大值为
对于C 项，借助轨迹方程结合柯西不等式可判定；对于D 项，联立曲线轨迹
方程与
，由平方式的意义确定
，结合图形的几何意义可判定.
对于C，
∴
，即
取等条件为
即
，此时
，满足，∴
选项D，
有
即
联立
得
，有
故曲线在
及直线
中间有
（24-25 高二上·四川南充·期中）
7．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的
曲线. 用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“
”对应着数学曲线中的
双纽线. 在
平面上，把到两个定点
，
距离之积等于
(
)的动点轨
迹称为双纽线.已知双纽线
：
，
是曲线
上的一个动点，则下列
结论正确的是（ ）
A．曲线
上满足
的点
有且只有一个
B．曲线
经过4 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．若直线
与曲线
只有一个交点，则实数
的取值范围为
D．曲线
上任意一点到坐标原点
的距离都不超过3
利用参数方程结合三角函数的性质可判定D 项，再根据同角三角函数的平方
关系及二次函数的性质可判定C 项.
设曲线C 上点
，由
，∴
化简得
令
，则
，∴
∵
，∴
，∴
或
此时
，∴
，故D 正确
C：当
时
，
，y 最大，则
，
∴
，
当
时，
，故C 正确.
（2023·内蒙古呼和浩特·二模）
8．2021 年3 月30 日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），
设计师的灵感来源于曲线
：
．当
，
，
时，下列
关于曲线的判断正确的有 ．
①曲线
关于
轴和
轴对称
②曲线
所围成的封闭图形的面积小于8
③曲线
上的点到原点
的距离的最大值为
④设
，直线
交曲线
于
、
两点，则
的周长小于8
9．Cassini 卵形线是由法国天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义
是：线上的任何点到两个固定点
，
的距离的乘积等于常数
.
是正常数，设
，
的距离为
，如果
，就得到一个没有自交点的卵形线；如果
，就得到一个双纽
线；如果
，就得到两个卵形线.若
，
.动点
满足
.则动点
的轨迹
的方程为 ；若
和
是轨迹
与
轴交点中距离最远的两点，则
面积的最大值为 .
（24-25 高三上·云南·阶段练习）
10．如图，曲线
是一条“双纽线”，其
上的点满足：到点
与到点
的距
离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A．点
在曲线
上
B．点
在
上，则
C．点
在椭圆
上，若
，则
D．过
作
轴的垂线交
于
两点，则
（2024·辽宁鞍山·二模）
11．在平面直角坐标系中，定义
为点
到点
的
“折线距离”．点
是坐标原点，点
在直线
上，点
在圆
上，
点
在抛物线
上．下列结论中正确的结论为（ ）
A．
的最小值为2
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
（23-24 高二上·福建莆田·期中）
12．小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两
个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究
精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现
的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研
究，假设
、
是平面直角坐标系xOy 内的两个定点，满足
的动
点P 的轨迹为曲线C，从而得到以下4 个结论，其中正确结论的为（ ）
A．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．动点P 的横坐标的取值范围是
C．
的取值范围是
D．
的面积的最大值为
13．已知两定点
，
（
），动点
与
、
的距离比
（
且
），那么点
的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为
，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
最小值为
D．若
满足点
的轨迹方程，则
（24-25 高二上·江苏常州·阶段练习）
14．到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知两定点
，
动点
满足
，设
的轨迹为曲线
，则下列命题错误的是（ ）
A．曲线
过原点
B．
的横坐标最大值是2
C．
的纵坐标最大值是
D．
（2024·广东广州·二模）
15．双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设
为坐标原点，双曲线
的左右焦点分别为
，右顶点
到一条渐近线
的距离为2，右支上一动点
处的切线记为，则（ ）
A．双曲线
的渐近线方程为
B．双曲线
的离心率为
C．当
轴时，
D．过点
作
，垂足为
（23-24 高二上·河北邯郸·期末）
16．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心
为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆
的左右焦点分别为
､
，左右
､
顶点分别为
，点
是椭圆上异于
的动点，点
是该椭圆的蒙日圆上的动点，则
下列说法正确的是（ ）
A．该椭圆的蒙日圆的方程为
B．存在点
使
的面积为25
C．使
的点
有四个
D．直线
的斜率之积
17．卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆
的方程为：
，
为坐标
原点，点
，点
为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是 .
①卵圆
关于
轴对称
②卵圆上不存在两点关于直线
对称
③线段
长度的取值范围是
④
的面积最大值为
18．对于曲线
，若存在非负实常数
和
，使得曲线
上任意一点
有
成立（其中
为坐标原点），则称曲线
为既有外界又有内界的曲线，简称
“有界曲线”，并将最小的外界
成为曲线
的外确界，最大的内界
成为曲线
的内
确界．
（1）曲线
与曲线
是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确
界；若不是，请说明理由；
（2）已知曲线
上任意一点
到定点
，
的距离之积为常数
，
求曲线
的外确界与内确界．
19．如图，已知曲线
，曲线
，
是平面上一点，若存在过点
的直线与
都有公共点，则称
为“
型点”.
（1）证明：
的左焦点是“
型点”；
（2）设直线
与
有公共点，求证：
，进而证明原点不是“
型点”；
（3）求证：
内的点都不是“
型点”.
