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第八章直线和圆、圆锥曲线
§8.7 离心率的范围问题
【考情分析·探规律】
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
考点1 离心率求值
或范围综合
2024·北京卷、2023·天津卷、2022·
天津卷
熟练掌握直线方程的求
解，会求斜率值或范围；弦长
等距离的求解，会定值定点定
直线的求解及证明，该内容也
是高考命题热点。
考点2 双曲线的离
心率及其应用
2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ
卷、2023·全国新Ⅰ卷、2023·北京
卷、2022·全国乙卷、2022·全国甲
卷、2022·浙江卷、2021·全国甲
卷、2021·天津卷、2021·北京卷
2021·全国新Ⅱ卷
考点3 圆锥曲线中
的最值及范围问题
2021·全国乙卷、2021·全国乙卷、
2021·全国新Ⅰ卷
【名师点拨】圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征
关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更
简洁。
题型一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
【典例】1.已知椭圆M：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P 为椭圆
M 上任意一点，且|PF1|·|PF2|最大值的取值范围为[2c2，3c2](其中c2＝a2－b2，c>0)，
则椭圆M 的离心率的取值范围是( )
A.[
❑√3
3 ，
❑√2
2 ]
B.[
❑√2
2 ，1)
C.[
❑√3
3 ，1)
D.[
1
3 ，1
2]
【答案】A
【解析】由基本不等式及椭圆定义可知
|PF1|·|PF2|≤(
|P F1|＋|P F2|
2
)
2
＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为a2，
由题意知2c2≤a2≤3c2，
∴❑√2c≤a≤❑√3c，∴
❑√3
3 ≤e≤
❑√2
2 .
【典例】2.已知F1，F2 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，
∠F1PF2＝60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为( )
A.2❑√3
B.1
C.
❑√3
2
D.2
【答案】C
【解析】不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)，
椭圆的长半轴长为a1，离心率为e1，双曲线的实半轴长为a2，离心率为e2，两曲线的
半焦距均为c，
由椭圆及双曲线的定义得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，于是m＝a1＋a2，n＝a1－a2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
m2＋n2－2mncos 60°＝4c2⇒(a1＋a2)
2＋(a1−a2)
2－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，
则a1
2＋3a2
2＝4c2，得
1
e1
2 ＋3
e2
2＝4，
由基本不等式得4＝1
e1
2 ＋3
e2
2≥2❑√
3
e1
2e2
2⇒e1e2≥
❑√3
2 ，
当且仅当e1＝
❑√2
2 ，e2＝
❑√6
2 时，等号成立，
所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为
❑√3
2 .
【解题技巧】此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，
构造关于a，b，c 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的取值
范围.
【变式训练】已知双曲线C：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2❑√6，0)，点A
的坐标为(0，1)，点P 为双曲线左支上的动点，且△APF 的周长不小于18，则双曲
线C 的离心率的取值范围为 .
【答案】(1，
❑√6
2 ]
【解析】由右焦点为F(2❑√6，0)，点A 的坐标为(0，1)，可得|AF|＝❑√24＋1＝5.
因为△APF 的周长不小于18，
所以|PA|＋|PF|≥13.
设F2(－2❑√6，0)为双曲线的左焦点，可得|PF|＝|PF2|＋2a，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋
2a，
当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a 取得最小值，最小值为|AF2|＋2a，即5＋2a，
所以5＋2a≥13，即a≥4，
因为c＝2❑√6，所以e＝c
a ＝2❑√6
a
≤
❑√6
2 ，
又e>1，所以e 的取值范围为(1，
❑√6
2 ].
题型二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
【典例】2.已知双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在
双曲线的右支上，且|PF1|＝5|PF2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )
A.4
3
B.3
2
C.2
D.5
3
【答案】B
【解析】根据双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝2a，
因为|PF1|＝5|PF2|，
所以|PF1|＝5a
2 ，|PF2|＝a
2，
因为点P 在双曲线的右支上，
所以|PF2|≥c－a，
即a
2≥c－a，所以3a
2 ≥c，
所以1<e＝c
a≤3
2，
所以双曲线的离心率e 的最大值为3
2.
【典例】2.已知F1，F2分别是椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P，Q
是C 上位于x 轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若|PF1|＋|QF2|≥b，则C 的离心率的
取值范围是( )
A.(0，1
2]
B.[
1
2 ，1)
C.(0，
❑√3
2 ]
D.[
❑√3
2 ，1)
【答案】C
【解析】由点P，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，延长PF1交椭圆于另一交点，记
为A，
由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，
易知|AF1|＝|QF2|，所以|PF1|＋|QF2|＝|PA|，
由椭圆过焦点的弦中通径最短，
所以当PA 垂直于x 轴时，|PA|最短，
所以b≤|PA|min＝2b
2
a ，所以ab≤2b2，即b
a≥1
2，
又0<e<1，e＝❑√
1−b
2
a
2≤
❑√3
2 ，即0<e≤
❑√3
2 .
【解题技巧】利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、
曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(或不等式组)来求解离心率的范围问题.
【变式训练】已知双曲线E：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
点P 在E 上，若对所有的点P 均满足|PF1|＋|PF2|≥4a－4b，则E 的离心率的取值范
围为( )
A.(2，＋∞)
B.(1，2❑√7−2
3 ]
C.[
2❑√7−2
3
，2)
D.[
2❑√7−2
3
，＋∞)
【答案】D
【解析】由题意，根据双曲线的对称性，不妨设点P 在E 的右支上，由双曲线的定义
可得|PF1|－|PF2|＝2a，
即|PF1|＝|PF2|＋2a，
由|PF1|＋|PF2|≥4a－4b，可得2|PF2|＋2a≥4a－4b，即|PF2|≥a－2b，
又|PF2|的最小值为c－a(当点P 为双曲线右顶点时取得最小值)，
可得c－a≥a－2b，即2a－c≤2b.
当2a－c≤0，即c
a≥2 时，不等式显然成立；
当2a－c>0，即1<c
a<2 时，
(2a－c)2≤4b2＝4c2－4a2，
可得2❑√7−2
3
≤c
a<2.
综上可知，双曲线E 的离心率的取值范围为[
2❑√7−2
3
，＋∞).
题型三 利用几何图形的性质求离心率的范围
【典例】1.已知双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F 且倾斜角为
60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(
)
A.(1，2)
B.[4，＋∞)
C.(2，＋∞)
D.[2，＋∞)
【答案】D
【解析】若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线
的斜率小于等于渐近线的斜率的绝对值b
a，∴b
a≥❑√3，∴e2＝c
2
a
2＝1＋(
b
a)
2
≥4，故此
双曲线离心率的取值范围是[2，＋∞).
【典例】2.已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3 上移动，
椭圆C 以A，B 为焦点且经过点P，则椭圆C 的离心率的最大值为( )
A.
❑√5
5
B.
❑√10
5
C.2❑√5
5
D.1
5
【答案】A
【解析】椭圆C 以A，B 为焦点，
即c＝1，b2＝a2－1，
故可设椭圆方程为x
2
a
2 ＋
y
2
a
2−1
＝1(a>1)，
联立方程{
x
2
a
2 ＋
y
2
a
2−1
＝1,
y ＝x＋3,
消去y 得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，
即a4－6a2＋5≥0，
得a2≥5 或a2≤1(舍去)，解得a≥❑√5，
所以0<e＝c
a ＝1
a≤
❑√5
5 ，
所以e 的最大值为
❑√5
5 .
【解题技巧】利用几何图形中几何量的大小，【典例】如线段的长度、角的大小等，
构造几何度量之间的关系来求解离心率的范围问题.
【变式训练】已知F1，F2分别是双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若在
双曲线右支上存在点A 使得点F2到直线AF1的距离为2a，则双曲线离心率e 的取值
范围是( )
A.[❑√2，＋∞)
B.(❑√2，＋∞)
C.(1，❑√2)
D.(1，❑√2]
【答案】B
【解析】设直线AF1：y＝k(x＋c)(|k|< b
a)，
即kx－y＋kc＝0，
则点F2(c，0)到直线AF1的距离为
|kc−0＋kc|
❑√1＋k
2
＝2a，
即|k|＝a
b<b
a，即a2<b2，所以e＝❑√
1＋b
2
a
2>❑√2.
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点A，使得
∠F1AF2＝π
3 ，则椭圆离心率的取值范围为( )
A.(0，1
2)
B.(
1
2 ，1)
C.(0，1
2]
D.[
1
2 ，1)
【答案】D
【解析】由题意，设椭圆的上顶点为B，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝π
3 ，
则只需∠F1BF2≥π
3 即可.
当∠F1BF2＝π
3 时，△F1BF2为正三角形，此时a＝2c，故当∠F1BF2≥π
3 时，a≤2c，即
1
2≤c
a.
又0<e<1，故离心率e 的取值范围为[
1
2 ，1).
2.已知椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与椭圆
有四个交点，则椭圆离心率的取值范围为( )
A.(
❑√2
2 ，1)
B.[
❑√2
2 ，1)
C.(
1
2 ，1)
D.[
1
2 ，1)
【答案】A
【解析】因为以F1F2为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b<c，
即b2<c2，a2－c2<c2，a2<2c2，
所以e2>1
2，即e>
❑√2
2 ，
又因为0<e<1，
所以椭圆离心率的取值范围为(
❑√2
2 ，1).
3.若双曲线C1：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝1 有公共点，则
C1的离心率的取值范围为( )
A.(1，2❑√3
3 )
B.(1，2❑√3
3 ]
C.(1，2)
D.(1，2]
【答案】B
【解析】∵双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，且渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1 有公共点，
∴圆心(2，0)到渐近线的距离小于等于半径，
即
2b
❑√a
2＋b
2≤1，
∴3b2≤a2，∴c2＝a2＋b2≤4
3 a2，
∴1<e＝c
a≤2❑√3
3
.
4.已知F1，F2分别为双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的
任意一点，当|P F2|
2
|P F1| 取最小值时，双曲线离心率e 的取值范围是( )
A.(1，＋∞)
B.(2，3]
C.(1，3]
D.(1，2]
【答案】C
【解析】因为F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，
所以|PF2|－|PF1|＝2a，
代入|P F2|
2
|P F1| ，得|P F2|
2
|P F1| ＝(|P F1|＋2a)
2
|P F1|
＝|PF1|＋4a＋4 a
2
|P F1|
≥2❑√
|P F1|×
4 a
2
|P F1|
＋4a＝8a，
当且仅当|PF1|＝2a 时取等号，即|PF1|＝2a，
又点P 是双曲线左支上任意一点，
所以|PF1|≥c－a，即2a≥c－a⇒e≤3，
又e>1，所以1<e≤3.
5.已知椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的长轴长大于4❑√3，当m 变化时，直线x－my＋2－
2m＝0 与C 都恒过同一个点，则C 的离心率的取值范围是( )
A.(0，
❑√2
2 )
B.(
❑√2
2 ，1)
C.(0，1
2)
D.(
1
2 ，1)
【答案】B
【解析】因为直线x－my＋2－2m＝0 即x＋2＝m(y＋2)，
所以该直线过定点(－2，－2)，
所以点(－2，－2)在C 上，则4
a
2 ＋4
b
2＝1，
即4(a2＋b2)＝a2b2，
则4(2a2－c2)＝a2(a2－c2)，
所以a2＝4(2a
2−c
2)
a
2−c
2
＝4(2−e
2)
1−e
2
，
因为C 的长轴长大于4❑√3，
所以a>2❑√3，a2>12，所以2−e
2
1−e
2>3，
解得1
2<e2<1，所以
❑√2
2 <e<1.
6.设F1，F2分别为椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为直线x＝5a
4 上一点，
若∠F2PF1＝30°，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )
A.[
3
4 ，1)
B.[
5
8 ，1)
C.(
3
4 ，1)
D.(
5
8 ，1)
【答案】B
【解析】设P 的坐标为(
5
4 a，t)，
根据椭圆的对称性，不妨设t>0，椭圆的半焦距为c，则F1(－c，0)，F2(c，0)，
设直线PF1的倾斜角为θ，直线PF2的倾斜角为α，则tan θ＝
t
5
4 a＋c ，tan α＝
t
5
4 a−c
，
因为α－θ＝30°，所以tan(α－θ)＝
❑√3
3 ，
故
❑√3
3 ＝
t
5
4 a−c
−
t
5
4 a＋c
1＋
t
5
4 a−c
×
t
5
4 a＋c
＝
2ct
25
16 a
2−c
2＋t
2，
由基本不等式有25
16a2－c2＋t2≥2❑√
25
16 a
2−c
2·t，
故
❑√3
3 ≤
2c
2❑√
25
16 a
2−c
2
＝
4 c
❑√25a
2−16c
2 ＝
4 e
❑√25−16e
2，
当且仅当25
16a2－c2＝t2时，等号成立，
故e≥5
8，又0<e<1，
所以椭圆的离心率的取值范围为[
5
8 ，1).
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.已知双曲线C：
x
2
λ＋6 －
y
2
3−λ ＝1，则( )
A.λ 的取值范围是(－6，3)
B.C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上
C.C 的焦距为6
D.C 的离心率e 的取值范围为(1，3)
【答案】AC
【解析】对于A，∵
x
2
λ＋6 －
y
2
3−λ＝1 表示双曲线，
∴(λ＋6)(3－λ)>0，解得－6<λ<3，故A 正确；
对于B，由A 项可得－6<λ<3，故λ＋6>0，3－λ>0，
∴C 的焦点只能在x 轴上，故B 错误；
对于C，设C 的半焦距为c(c>0)，则c2＝λ＋6＋3－λ＝9，
∴c＝3，即焦距2c＝6，故C 正确；
对于D，离心率e＝
3
❑√λ＋6，
∵－6<λ<3，∴0<❑√λ＋6<3，
∴e 的取值范围是(1，＋∞)，故D 错误.
8.已知椭圆Γ：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(❑√2
，1)在椭圆Γ 外，点Q 在椭圆Γ 上，则( )
A.椭圆Γ 的离心率的取值范围是(
❑√2
2 ，1)
B.当椭圆Γ 的离心率为
❑√3
2 时，|QF1|的取值范围是[2－❑√3，2＋❑√3]
C.对任意点Q 都有⃗Q F1·⃗Q F2>0
D.
1
|Q F1| ＋
1
|Q F2|的最小值为2
【答案】AB
【解析】由题意得a＝2，
又点P(❑√2，1)在椭圆Γ 外，
则2
4 ＋1
b
2>1，解得0<b<❑√2，
所以椭圆Γ 的离心率e＝c
a ＝
❑√4−b
2
2
>
❑√2
2 ，
即椭圆Γ 的离心率的取值范围是(
❑√2
2 ，1)，故A 正确；
当e＝
❑√3
2 时，c＝❑√3，b＝❑√a
2−c
2＝1，
所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，
即[2－❑√3，2＋❑√3]，故B 正确；
设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由于⃗A F1·⃗A F2＝b2－c2＝2b2－a2<0，
所以存在点Q 使得⃗Q F1·⃗Q F2≤0，故C 错误；
(|QF1|＋|QF2|)(
1
|Q F1| ＋
1
|Q F2|)
＝2＋|Q F2|
|Q F1| ＋|Q F1|
|Q F2|≥2＋2＝4，
当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2 时，等号成立，
又|QF1|＋|QF2|＝4，所以
1
|Q F1| ＋
1
|Q F2|≥1，故D 错误.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c，且在该椭圆
上存在异于左、右顶点的一点P，满足2a·sin∠PF1F2＝3c·sin∠PF2F1，则椭圆离心率的
取值范围为 .
【答案】(
1
3 ，1)
【解析】在△PF1F2中，由正弦定理知
sin∠P F1 F2
sin∠P F2 F1
＝|P F2|
|P F1| ＝3c
2a，
又∵P 在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a，
又P 是异于左、右顶点的一点，
∴|PF1|＝
4 a
2＋3e ∈(a－c，a＋c)，
即1－e<
4
2＋3e <1＋e，
又0<e<1，解得1
3<e<1.
10.已知双曲线C：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F 的直线l 与C 交于点A，
B，且满足|AB|＝2a 的直线l 恰有三条，则双曲线C 的离心率的取值范围为
.
【答案】(1，❑√2)
【解析】显然满足|AB|＝2a 的直线l 其中有1 条为x 轴，此时A，B 为左、右顶点.
当直线l 过F，刚好垂直于x 轴时，令x＝c，可求得|AB|＝2b
2
a ，此时直线l 只有1 条，
加上前面的1 条，总共2 条，不满足题意.
如图，由双曲线的对称性知当2a>2b
2
a 时，刚好有2 条，总共3 条，满足题意，
即b2<a2，则e＝c
a ＝❑√
1＋b
2
a
2<❑√2，又由于e>1，
则双曲线C 的离心率的取值范围为(1，❑√2).
