文档文本内容
第四章 三角函数与解三角形
§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
两角和与差的正
弦、余弦、正切公
式的应用
2024·全国甲卷
2024·全国新Ⅱ卷
2024·全国新Ⅰ卷
2023·全国新Ⅰ卷
2022·全国新Ⅱ卷
该内容是新高考卷的必考内容，
一般会考查两角和与差的正弦、余
弦、正切公式及倍角公式变形应用和
半角公式变形应用，同时也需掌握升
幂公式和降幂公式，掌握拼凑角思
想，需加强复习备考。
【知识梳理】
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝cos
α cos
β ＋
sin
α sin
β ；
(2)公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝cos
α cos
β －
sin
α sin
β ；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin
α cos
β －
cos
α sin
β ；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin
α cos
β ＋
cos
α sin
β ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2.辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(
α ＋
φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin__α cos
__α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos
2 α －
sin
2 α ＝2cos
2 α －
1 ＝1 －
2sin
2 α .
(3)公式T2α：tan 2α＝.
【名师点拨】
1.两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－＝－1.
2.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
tan2α＝.
3.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，
1－cos 2α＝2sin2α，
1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β 是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意
角α，β 都成立.( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
(5)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√
【解析】(3)变形可以，但不是对任意的α，β 都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).
2.sin π
12 －❑√3cos π
12的值为( )
A.0
B.－❑√2
C.2
D.❑√2
【答案】B
【解析】sin π
12 －❑√3cos π
12＝2(
1
2 sin π
12 −
❑√3
2 cos π
12)
＝2sin(
π
12 −π
3)＝2sin(−π
4)＝－❑√2.
3.若2cos α－sin α＝0，则tan(α −π
4)等于( )
A.－1
3
B.1
3
C.－3
D.3
【答案】B
【解析】因为2cos α－sin α＝0，
则sin α＝2cos α，故tan α＝2，
因此，tan(α −π
4)＝
tan α −tan π
4
1＋tan α tan π
4
＝2−1
1＋2 ＝1
3.
4.若tan α＝1
3 ，tan(α＋β)＝1
2 ，则tan β＝ .
【答案】1
7
【解析】tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α ＋β)−tan α
1＋tan(α ＋β)tan α ＝
1
2 −1
3
1＋1
2 × 1
3
＝1
7 .
【名师点拨】
1.熟记两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(4)tan αtan β＝1－tan α ＋tan β
tan(α ＋β) ＝tan α −tan β
tan(α −β) －1.
2.谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件；
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值
对应的角不唯一.
【必练核心题型】
题型一 两角和与差的三角函数公式
【典例】1.若
cos(
π
4 ＋α)
cos(
π
4 −α)
＝3，则tan(α ＋π
4)等于( )
A.－3
B.－1
3
C.1
3
D.3
【答案】C
【解析】由题意，得
❑√2
2 (cosα −sin α )
❑√2
2 (cosα ＋sin α )
＝1−tan α
1＋tan α ＝3，所以tan α＝－1
2 ，
则tan(α ＋π
4)＝tan α ＋1
1−tan α ＝
−1
2 ＋1
1−(−1
2)
＝1
3.
【典例】2.若cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，则tan α 等于( )
A.
❑√3
3
B.－
❑√3
3
C.❑√3
D.－❑√3
【答案】D
【解析】因为cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，
所以－sin(50°－α)＋cos(20°＋α)＝sin(50°＋α)，
即－sin 50°cos α＋cos 50°sin α＋cos(20°＋α)＝sin 50°cos α＋cos 50°sin α，
所以cos 20°cos α－sin 20°sin α＝2sin 50°cos α，
即(cos 20°－2sin 50°)cos α＝sin 20°sin α，
所以tan α＝cos20°−2sin50°
sin 20°
＝cos20°−2sin(30°＋20°)
sin 20°
＝cos20°−2× 1
2 cos20°−2×
❑√3
2 sin 20°
sin 20°
＝－❑√3.
【解题技巧】
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
【变式训练】
变式1.已知sin(α－β)＝1
3 ，cos αsin β＝1
6 ，则sin(α＋β)等于( )
A.2
3
B.2❑√2
3
C.－2
3
D.－2❑√2
3
【答案】A
【解析】因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1
3 ，
而cos αsin β＝1
6 ，
因此sin αcos β＝1
2 ，
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝2
3.
变式2.(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)等于(
)
A.－3m
B.－m
3
C.m
3
D.3m
【答案】A
【解析】由cos(α＋β)＝m 得cos αcos β－sin αsin β＝m.
①
由tan αtan β＝2 得sin α sin β
cosα cos β ＝2，
②
由①②得{
cosα cos β ＝−m，
sin α sin β ＝−2m，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
【典例】1.已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x.若x＝θ 时，f(x)取得最大值，则cos(θ＋π
4)
等于( )
A.7 ❑√2
10
B.－7 ❑√2
10
C.
❑√2
10
D.－
❑√2
10
【答案】C
【解析】f(x)＝3sin x＋4cos x＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝4
3 ，sin φ＝4
5 ，cos φ＝3
5 ，
∵当x＝θ 时，f(x)取得最大值，∴θ＋φ＝π
2 ＋2kπ，k∈Z，即θ＝π
2 ＋2kπ－φ，k∈Z，
∴cos(θ＋π
4)＝cos(
π
2 ＋2k π −φ＋π
4)
＝cos(
3 π
4 −φ)＝cos 3 π
4 cos φ＋sin 3 π
4 sin φ
＝－
❑√2
2 ×3
5 ＋
❑√2
2 ×4
5 ＝
❑√2
10 .
【典例】2.tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°·tan 20°tan 30°＝ .
【答案】2❑√3
3
【解析】因为tan 30°＝tan(10°＋20°)＝tan10°＋tan 20°
1−tan10° tan 20° ，
故tan 10°＋tan 20°＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°，
所以tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30°
＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30°
＝2tan 30°＝2❑√3
3
.
【解题技巧】
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，
注意公式的正用、逆用和变形使用.
(3)对asin x＋bcos x 化简时，要清楚如何求辅助角φ 的值.
【变式训练】
变式1.若sin α＋❑√3cos α＝1，且α∈(0，π)，则α＝ .
【答案】π
2
【解析】因为sin α＋❑√3cos α＝2sin(α ＋π
3)＝1，
所以sin(α ＋π
3)＝1
2 ，
又α∈(0，π)，所以α＋π
3 ∈(
π
3 ，4 π
3 )，
所以α＋π
3 ＝5 π
6 ，所以α＝π
2 .
变式2.若α＋β＝－3 π
4 ，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
【答案】2
【解析】tan(−3 π
4 )＝tan(α＋β)＝tan α ＋tan β
1−tan α tan β ＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan
β，
则1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.
题型三 角的变换问题
【典例】1.已知sin(α ＋π
4)＝4
5 ，α∈(
π
4 ，π
2)，则cos α 等于( )
A.
❑√2
10
B.3 ❑√2
10
C.
❑√2
2
D.7 ❑√2
10
【答案】A
【解析】由α∈(
π
4 ，π
2)，得α＋π
4 ∈(
π
2 ，3 π
4 )，
则cos(α ＋π
4)＝－❑√
1−sin
2(α ＋π
4)＝－3
5 ，
cos α＝cos[(α ＋π
4)−π
4]＝cos(α ＋π
4)cos π
4 ＋sin(α ＋π
4)sin π
4 ＝－3
5×
❑√2
2 ＋4
5 ×
❑√2
2 ＝
❑√2
10 .
【典例】2.已知α∈(
π
2 ，π)，β∈(0，π
2)，若sin(α＋β)＝1
3 ，cos β＝
❑√3
3 ，则sin
α 等于( )
A.1
3
B.
❑√3
3
C.5 ❑√3
9
D.
❑√3
9
【答案】C
【解析】因为α∈(
π
2 ，π)，β∈(0，π
2)，sin(α＋β)＝1
3>0，cos β＝
❑√3
3 ，所以α＋
β∈(
π
2 ，π)，
则sin β＝
❑√1−co s
2 β ＝
❑√6
3 ，
cos(α＋β)＝－❑√1−sin
2(α ＋β)＝－2❑√2
3
，
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝1
3×
❑√3
3 －(−2❑√2
3 )×
❑√6
3 ＝5 ❑√3
9
.
【解题技巧】
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形
式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α ＋β
2
＋α −β
2
，π
3 ＋α＝
π
2 －(
π
6 −α)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，(
π
4 ＋α)＋(
π
4 −α)＝π
2 等.
【变式训练】
变式1.已知α，β∈(
π
3 ，5 π
6 )，若sin(α ＋π
6)＝4
5 ，cos(β −5 π
6 )＝5
13 ，则sin(α
－β)的值为( )
A.16
65
B.33
65
C.56
65
D.63
65
【答案】A
【解析】由题意可得α＋π
6 ∈(
π
2 ，π)，β－5 π
6 ∈(−π
2 ，0)，
所以cos(α ＋π
6)＝－3
5 ，sin(β −5 π
6 )＝－12
13 ，
所以sin(α－β)＝－sin[(α ＋π
6)−(β −5 π
6 )]＝－4
5 × 5
13 ＋(−3
5)×(−12
13)＝16
65.
变式2.已知θ∈(
π
4 ，π
2)，且sin(θ＋π
4)＝4
5 ，则tan θ 等于( )
A.7
B.4
3
C.1
7
D.12
5
【答案】A
【解析】因为θ∈(
π
4 ，π
2)，所以θ＋π
4 ∈(
π
2 ，3 π
4 )，
又sin(θ＋π
4)＝4
5 ，
所以cos(θ＋π
4)＝－3
5 ，则tan(θ＋π
4)＝－4
3 ，
所以tan θ＝tan(θ＋π
4 −π
4)
＝
tan(θ＋π
4)−tan π
4
1＋tan(θ＋π
4)tan π
4
＝
−4
3 −1
1−4
3
＝7.
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°等于( )
A.
❑√3
2
B.1
2
C.－1
2
D.－
❑√3
2
【答案】D
【解析】原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°＝cos(50°＋160°)＝cos 210°＝－cos 30°
＝－
❑√3
2 .
2.已知α 为锐角，且sin(α ＋π
3)＝sin(α −π
6)，则tan α 等于( )
A.❑√3
B.2＋❑√3
C.❑√6
D.❑√6＋❑√3
【答案】B
【解析】因为sin(α ＋π
3)＝sin(α −π
6)，所以1
2sin α＋
❑√3
2 cos α＝
❑√3
2 sin α－1
2cos α，
所以(❑√3＋1)cos α＝(❑√3－1)sin α，所以tan α＝
❑√3＋1
❑√3−1 ＝2＋❑√3.
3.若sin 18°＝m，则sin 63°等于( )
A.
❑√2
2 (
❑√1−m
2－m)
B.1
2m＋
❑√3
2
❑√1−m
2
C.
❑√2
2 (m＋❑√1−m
2)
D.
❑√3
2 m＋1
2
❑√1−m
2
【答案】C
【解析】因为sin 18°＝m，所以cos 18°＝❑√1−m
2，
所以sin 63°＝sin(18°＋45°)＝
❑√2
2 (sin 18°＋cos 18°)＝
❑√2
2 (m＋❑√1−m
2).
4.已知sin α＋sin β＝1
2 ，cos α＋cos β＝1
3 ，则cos(α－β)的值等于( )
A.－7
12
B.－17
18
C.－59
72
D.59
72
【答案】C
【解析】sin α＋sin β＝1
2⇒sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝1
4 ，
①
cos α＋cos β＝1
3⇒cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝1
9 ，
②
①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝13
36⇒cos(α－β)＝1
2×(
13
36 −2)＝－59
72.
5.已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0 的两个根，则tan 2α 等于( )
A.－1
B.1
C.－2
D.2
【答案】B
【解析】由题意可得tan(α＋β)＋tan(α－β)＝－5，
且tan(α＋β)tan(α－β)＝6，
则tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝tan(α ＋β)＋tan(α −β)
1−tan(α ＋β)tan(α −β) ＝−5
1−6＝1.
6.定义运算|
ab
c d|＝ad－bc，若cos α＝1
7 ，|
sin α sin β
cosα cos β|＝3 ❑√3
14 ，0<β<α<π
2 ，则β 等于(
)
A. π
12
B.π
6
C.π
4
D.π
3
【答案】D
【解析】由题意得，
sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3 ❑√3
14 .
∵0<β<α<π
2 ，∴0<α－β<π
2 ，
∴cos(α－β)＝13
14 .
又∵cos α＝1
7 ，∴sin α＝4 ❑√3
7
，
sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝4 ❑√3
7
×13
14 －1
7 ×3 ❑√3
14 ＝
❑√3
2 ，
∴β＝π
3 .
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.下列等式成立的有( )
A.tan 15°＝
❑√3
6
B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1
D.❑√3sin 15°＋cos 15°＝1
【答案】BC
【解析】对于A，tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°−tan30°
1＋tan 45° tan30° ＝2－❑√3，故A 错误；
对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin(75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B 正确；
对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C 正确；
对于D，❑√3sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝❑√2，故D 错误.
8.下列结论正确的是( )
A.sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)
B.❑√15sin x＋❑√5cos x＝❑√5sin(x＋π
6)
C.f(x)＝sin x
2＋cos x
2的最大值为2
D.tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
【答案】AD
【解析】对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β
－γ)]＝－cos(α－γ)，故A 正确；
对于B，❑√15sin x＋❑√5cos x＝2
❑√5(
❑√3
2 sin x＋1
2 cos x)
＝2❑√5sin(x＋π
6)，故B 错误；
对于C，f(x)＝sin x
2＋cos x
2 ＝❑√2sin(
x
2 ＋π
4)，所以f(x)的最大值为❑√2，故C 错误；
对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan
33°＝1，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知sin(
π
2 ＋α)＝1
2 ，α∈(−π
2 ，0)，则cos(α −π
3)
的值为 .
【答案】－1
2
【解析】由已知得cos α＝1
2 ，sin α＝－
❑√3
2 ，
所以cos(α −π
3)＝1
2cos α＋
❑√3
2 sin α＝－1
2.
10.在△ABC 中，已知tan A＋tan B＋❑√3tan Atan B＝❑√3，则C＝ .
【答案】120°
【解析】由题意可知tan A＋tan B＝❑√3(1－tan Atan B)，
所以tan(A＋B)＝tan A ＋tan B
1−tan A tan B
＝
❑√3(1−tan A tan B)
1−tan A tan B
＝❑√3，
因为0°<A＋B<180°，所以A＋B＝60°，
故C＝180°－(A＋B)＝120°.
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)已知sin(α－β)＝1
2 ，sin(α＋β)＝1
3.
(1)证明：tan α＋5tan β＝0；(6 分)
(2)计算tan(α −β)−tan α ＋tan β
tan
2α tan(α −β)
的值.(7 分)
(1)证明 方法一 由条件sin(α－β)＝1
2 ，
sin(α＋β)＝1
3 ，
得2sin(α－β)＝3sin(α＋β)，
即2sin αcos β－2cos αsin β＝3sin αcos β＋3cos αsin β，
整理得sin αcos β＝－5cos αsin β，
也即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0 得证.
方法二 由条件sin(α－β)＝1
2 ，sin(α＋β)＝1
3 ，
即sin αcos β－cos αsin β＝1
2 ，
sin αcos β＋cos αsin β＝1
3 ，
得sin αcos β＝5
12 ，cos αsin β＝－1
12 ，
从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0 得证.
(2)【解析】由于tan(α－β)＝tan α −tan β
1＋tan α tan β ⇒tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，
所以tan(α −β)−tan α ＋tan β
tan
2α tan(α −β)
＝
tan(α −β)−tan(α −β)(1＋tan α tan β)
tan
2α tan(α −β)
＝
−tan(α −β)tan α tan β
tan
2α tan(α −β)
＝－tan β
tan α ＝1
5.
12.(15 分)如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐
角α 与钝角β 的终边与单位圆O 分别交于A，B 两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于
点M，已知S△OAM＝
❑√5
5 ，点B 的横坐标是－7 ❑√2
10 .
(1)求cos(α－β)的值；(7 分)
(2)求2α－β 的值.(8 分)
【解析】(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，
点A(cos α，sin α)，则有
S△OAM＝1
2|OA|·|OM|·sin α＝
❑√5
5 ，
解得sin α＝2❑√5
5
，
又α 为锐角，则cos α＝
❑√1−sin
2α ＝
❑√5
5 ，
因为钝角β 的终边与单位圆O 的交点B 的横坐标是－7 ❑√2
10 ，
则cos β＝－7 ❑√2
10 ，sin β＝
❑√1−co s
2 β ＝
❑√2
10 ，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝
❑√5
5 ×(−7 ❑√2
10 )＋2❑√5
5
×
❑√2
10 ＝－
❑√10
10 .
(2)由(1)知sin α＝2❑√5
5
，cos α＝
❑√5
5 ，sin β＝
❑√2
10 ，cos β＝－7 ❑√2
10 ，
则sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝2❑√5
5
×(−7 ❑√2
10 )－
❑√5
5 ×
❑√2
10 ＝－3 ❑√10
10
，
从而sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]
＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)
＝2❑√5
5
×(−
❑√10
10 )＋
❑√5
5 ×(−3 ❑√10
10 )＝－
❑√2
2 ，
因为α 为锐角，sin α＝2❑√5
5
>
❑√2
2 ，
则有α∈(
π
4 ，π
2)，即2α∈(
π
2 ，π)，
又β∈(
π
2 ，π)，因此2α－β∈(−π
2 ，π
2)，
所以2α－β＝－π
4 .
【尖子拔高训练】每小题5 分，共10 分
13.(2024·吕梁模拟)tan 80°−❑√3
sin 80°
的值为( )
A.❑√3
B.
❑√3
2
C.2
D.4
【答案】D
【解析】
tan 80°−❑√3
sin 80°
＝sin 80°−❑√3cos80°
sin 80° cos80°
＝
2(sin 80°× 1
2 −cos80°×
❑√3
2 )
1
2 ×2sin 80° cos80°
＝4 sin(80°−60°)
sin160°
＝
4 sin 20
sin(180°−
＝4.
14.已知sin(α ＋π
2)＝sin β，sin α＋cos α＝1＋❑√3
2
，sin β＋cos β＝1＋❑√3
2
，则cos(α
－β)＝ .
【答案】
❑√3
2
【解析】因为sin(α ＋π
2)＝sin β，
所以cos α＝sin β，
所以sin α＋sin β＝cos α＋cos β＝1＋❑√3
2
，
所以
{
(sin α ＋sin β)
2＝sin
2α ＋2sin α sin β ＋sin
2 β ＝2＋❑√3
2
，
(cosα ＋cos β)
2＝co s
2α ＋2cosα cos β ＋co s
2 β ＝2＋❑√3
2
，
两式求和得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2＋2cos(α－β)＝2＋❑√3，
所以cos(α－β)＝
❑√3
2 .
