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专题01 柯西不等式与权方和不等式
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题型01 二维形式下的柯西不等式..............................................................1
题型02 三维形式下的柯西不等式..............................................................4
题型03 权方和不等式.......................................................................10
题型01 二维形式下的柯西不等式
【解题规律·提分快招】
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
【典例训练】
一、单选题
1．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯
西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量
,
,由
得到
,当且仅当
时取等号.现已知
,
,
,则
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
,令
代入公式,结合已知条件
,
,
即可得到结果.
【详解】因为
,
令
,又
,
,
,
1
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所以
,
当且仅当
即
时等号成立,
即
,
故选:D.
2．若实数a，b，c，d 满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】利用柯西不等式及均值不等式可求最小值.
【详解】根据题意，有
，
而
，当且仅从
时等号成立.
同理
，当且仅当
式等号成立，
记题中代数式为M，于是
，
等号当
时取得，因此所求代数式的最小值为2．
故选：B.
3．（2024·浙江·一模）若
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先把已知整理成
的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进
行放缩，得到关于
的一元二次不等式进行求解.
【详解】由已知
整理得
，
由柯西不等式得
，
2
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当
时取等号，
所以
，即
，
解得
，所以
的最小值为
.
故选：C．
二、多选题
4．（2024 高三上·新疆·期中）已知
，
，且不等式
恒成立，
则
的取值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】将不等式变为
，利用柯西不等式和基本不等式可求得
的最小值，进而构造不等式求得
的取值范围，从而得到结果.
【详解】由
得：
，
（当且仅当
，即
时取等号），
（当且
仅当
时取等号），
即当
时，
，
，解得：
，
可能的取值为
.
故选：BCD.
三、填空题
5．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设
了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知
识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量
时，有
，即
，当且仅当
时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数
变换，得到了一个新不等式：
，当且仅当
时等号成立，并取名
为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当
时，
的最小值是 ．
3
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【答案】
【分析】根据不等式
构造不等式左侧
求解即可.
【详解】由题意得
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
即
，则
，
所以
，最小值为
，此时
．
故答案为：
.
题型02 三维形式下的柯西不等式
【解题规律·提分快招】
柯西不等式的扩展：
，当
且仅当
时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对
，并不是不等式的形状，但变成
就可以用柯西不等式了.
【典例训练】
一、填空题
1．（2024 高三下·浙江·阶段练习）若
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用柯西不等式
可直接求得结果.
【详解】由柯西不等式得：
，
4
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即
，
（当且仅当
时取等号），
的最小值为
.
故答案为：
.
2．2024 高三下·浙江·阶段练习）已知
，
，则
的最
小值为 .
【答案】9
【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.
【详解】∵
∴
,当且仅当
时等号成立，即
，
∵
，当且仅当
时等号成立，可取
故答案为：9
3．（24-25 高三上·陕西西安·阶段练习）存在正数
使得不等式
成立，
则
的最大值是 .
【答案】3
【分析】运用柯西不等式计算即可.
【详解】解:由柯西不等式可知
由
能成立
.
故答案为：3.
4．已知
，且
，实数
满足
，且
，则
的最小值是 ．
【答案】
/0.25
【分析】在平面直角坐标系中，令
，由此求出
与
的坐标，再用x，y 表示出
，
5
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然后借助柯西不等式求解作答.
【详解】在平面直角坐标系中，令
，设
，则
，
，解得
，则
，依题意，不妨令
，
，
而
，则
，有
，
当且仅当
，即
时取“=”，而
，则
，当且仅
当
时取“=”，
因此，
，当且仅当
且
，即
且
时取“=”，
所以当
，
，
时，
取得最小值
.
故答案为：
【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，
利用代数方法解决.
二、解答题
5．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
，
，当且仅当
时，等号成立.我们从不等式
出发，可以得到一个非常优美的不
等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：
，且
，
，当且仅当
时，等号成立.
(1)若
，求
的最小值；
(2)求
的最大值；
(3)若
，
，不等式
恒成立，求m 的取值范围.
【答案】(1)3
(2)9
(3)
6
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【分析】（1）构造应用柯西不等式计算即可；
（2）构造应用柯西不等式计算即可；
（3）先化简得出
，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算
即可
求解；
【详解】（1）因为柯西不等式可得
，
又因为
，
所以
，即得
.
当且仅当
取最小值3；
（2）因为柯西不等式可得
，
又因为
，
所以
，
即得
，化简得
，
当且仅当
取最大值9；
（3）因为
，
所以
，所以
，
所以
，
因为柯西不等式可得
，
又因为
，
，所以
，令
，
所以
，
即得
，当且仅当
取最小值24；
所以m 的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：化简构造柯西不等式结合基本不等式是解题的关键点.
6．（23-24 高三下·黑龙江佳木斯·期中）在
中，
，
，
对应的边分别为
，
，，
7
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.
(1)求
；
(2)若
为
边中点，
，求
的最大值；
(3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789 年-1857 年），.法国著名数学家，柯西在数学领
域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西
不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若
，P 是
内
一点，过P 作AB，BC，AC 垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式：
，
，
，
，当且仅当
时等号成立.求
的最小
值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出
.
（2）利用余弦定理及基本不等式求出
，再由
，将两边平方，根据数量积的运算律
求出
的最大值；
（3）将
构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可
解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
由余弦定理
，
所以
，即
，
若
，等式不成立，则
，可得
，
因为
，所以
.
（2）
8
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由余弦定理
，即
，所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，当且仅当
时取等号，
因为
为
边中点，所以
，
所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最大值为
.
（3）
.
又
，
所以
.
由三维分式型柯西不等式有
.
当且仅当
即
时等号成立.
由余弦定理
得
，
所以
即
，则
.
令
，则
因为
，解得
，当且仅当
时等号成立.
9
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所以
.则
.
令
，则
在
上递减，
当
即
时，
有最大值
，此时
有最小值
.
题型03 权方和不等式
【解题规律·提分快招】
权方和不等式：若
，则
，当且仅当
时，等号成立.
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证
当且仅当
时，等号成立
即
，当且仅当
时，等号成立.
证明2：对柯西不等式变形，易得
在
时，就有了
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当
时，等号成立．
推广1：
当
时，等号成立．
推广:2：若
，则
，当
时，等号成立.
推广3：若
，则
，当
时，等
号成立.
【典例训练】
一、填空题
1．已知正实数
、
且满足
，求
的最小值 .
【答案】
【分析】设
，
，
，由权方和不等式计算可得.
【详解】设
，
，
，
由权方和不等式，可知
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
2．（2024 高三·全国·专题练习）
的最小值为 .
【答案】
/
【分析】
，进而利用权方和不等式可求最小
值.
【详解】
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，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】√2
【分析】根据分离常量法可得
，结合权方和不等式计算可得
，即
，即可求解.
【详解】
，
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以
，得
，
所以
或
（舍去），
即
的最小值为
.
故答案为：
一、单选题
1．实数x、y 满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】A
【分析】由
得
，运用柯西不等式有
，进而得解.
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【详解】解：
实数x、y 满足
，
，
，
，
当且仅当
时取等号，
的最小值是
.
故选：A.
【点睛】考查柯西不等式的应用，基础题.
2．若实数
，则
的最小值为（ ）
A．14
B．
C．29
D．
【答案】B
【分析】直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】根据柯西不等式：
，即
，
当且仅当
，
，
时等号成立.
故选：B.
【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.
3．已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依题意得
，则
，进而由柯西不等式可得最大值.
【详解】由
可得
，即
.
由
可知
，所以
.
由
，
可得
，
由柯西不等式得
，
所以
，当
即
时，取等号.
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所以
的最大值为
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：在得出
之后，关键在于根据题目特点应用柯
西不等式求最大值.
二、多选题
4．设非负实数
，
，
满足
，则
的（ ）
A．最小值为
B．最小值为
C．最大值为
D．最大值为
【答案】AC
【详解】利用柯西不等式可取最值.
【分析】由柯西不等式可知：
，
故
即
，
当且仅当
时，
取到最大值
．
的最小值为
，证明如下．
根据题意，
，
于是
，解得
，
于是当
时，
取得最小值
．
故选：AC
5．（24-25 高三上·新疆·期中）已知
，
，且不等式
恒成立，
则
的取值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
14
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【分析】将不等式变为
，利用柯西不等式和基本不等式可求得
的最小值，进而构造不等式求得
的取值范围，从而得到结果.
【详解】由
得：
，
（当且仅当
，即
时取等号），
（当且
仅当
时取等号），
即当
时，
，
，解得：
，
可能的取值为
.
故选：BCD.
三、填空题
6．已知正实数
、
且满足
，求
的最小值 .
【答案】
【分析】设
，
，
，由权方和不等式计算可得.
【详解】设
，
，
，
由权方和不等式，可知
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
7．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，求
的最小值为
【答案】
【分析】应用权方和不等式即可求解.
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【详解】
当且仅当
时取等号
故答案为：60
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知a，b，c 为正实数，且满足
，则
的最
小值为 .
【答案】2
【分析】直接根据权和不等式即可得结果.
【详解】由权方和不等式，可知
=
=
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为2.
故答案为：2.
9．（23-24 高三下·全国·强基计划）已知
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据柯西不等式可得
，即可得
，根据不等式性质结合两点
间距离公式可得
，即可得结果.
【详解】因为
，
则
，且
，可得
，
当且仅当
，
，
时，等号成立；
又因为
，则
，
可得
．
且
，
设点
和标准单位圆面内点
，则
，
又因为
，可得
，
16
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则
，
当且仅当
时，等号成立；
综上所述：所求的取值范围是
．
故答案为：
.
四、解答题
10．（23-24 高三下·山东·期中）在
中，
对应的边分别为
.
(1)求
；
(2)奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以
他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛
的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：
；
②已知三维分式型柯西不等式：
，当且仅当
时等号
成立.若
是
内一点，过
作
的垂线，垂足分别为
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由正弦定理边化角，利用三角恒等式化简即可求值；
（2）①利用数量积的定义，得到
，再利用数量积和模的坐标表示，即可证明结果；②根据条
件及三角形面积公式，利用
，得到
，结合余弦定理，令
，得到
，再求出的范围，即可求出结果.
【详解】（1）在
中，
，
由正弦定理得，
，
因为
，所以
，
17
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所以
，
所以
，即
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，
故
，又
，所以
；
（2）①设
，由
，得
，
从而
，即
；
②
.
又
，
.
由三维分式型柯西不等式有
.
当且仅当
即
时等号成立.
由余弦定理
得
，
所以
，即
，
则
，
令
，则
.
因为
，得
，当且仅当
时等号成立，
所以
，则
，
令
，则
在
上递减，
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当
即
时，
有最大值
，
此时
有最小值
（此时
与
可以同时取到）
【点睛】关键点点睛：本题关键是仿照三维分式型柯西不等式的形式进行构造，找到所求要素与柯西不等
式的内在联系，再结合余弦定理和基本不等式等知识进行求解.
19
