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专题01 直线与椭圆的位置关系
测试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本大题共8 小题，每个小题5 分，共40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．椭圆
与直线
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．无法确定
【解析】直线过定点
在椭圆内，故直线与椭圆相交.故选:B.
2．在平面直角坐标系
中，已知点
，
在椭圆
上，且直线
，
的斜率
之积为
，则
（ ）
A．1
B．3
C．2
D．
【解析】因为点
，
在椭圆
上，所以
，
因为直线
，
的斜率之积为
，所以
，
可得
，化简得
，
则
.故选：A.
3．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，直线
与C 交于A，B 两点，若
面
积是
面积的2 倍，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
1
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【解析】将直线
与椭圆联立
，消去
可得
，
因为直线与椭圆相交于
点，则
，解得
，
设
到
的距离
到
距离
，易知
，则
，
，
，解得
或
（舍去），故选：C.
4．已知实数x，y 满足：
，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．5
【解析】令
，则直线
与
有交点情况下，直线在x 轴上截距最大，
假设直线与椭圆相切，则
，即
，
所以
，可得
，即
，
要使
在x 轴上截距最大，即
.故选：B.
5．已知椭圆
方程为
，过平面内的点
作椭圆
的两条互相垂直的切线，则点
的轨迹方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】设点
，当切线斜率存在且不为0 时，设切线方程为
，
2
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联立
，消去
得
，
则
，
即
，两切线垂直故其斜率之积为-1，
则由根与系数关系知
，即
.
当切线斜率不存在或为0 时，此时点
坐标为
，
，
，
，满足方程
，
故所求轨迹方程为
.故选：A.
6．已知椭圆
的右焦点为
，离心率为
，过坐标原点
作直线交椭圆于
两点，
若
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由椭圆离心率为
，知
，
由题意可设
，则
，
由
可得
，即
，
结合
可得
，故
，则
，
所以直线的方程为
，故选：B
3
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7．若直线被圆
所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由题意，圆
的圆心为
，半径为
.
设直线方程为
，直线到圆心
的距离为
，由弦长公式得
，所以
.
由点到直线的距离公式得，
，即
.
对于选项A，直线到该圆圆心的距离为
，
取
，满足条件，而
，直线与圆没有公共点，故A 排除；
对于选项B，当
时，对于直线有
，
，
，
联立椭圆方程得
，所以必有公共点；
当
时，联立直线与椭圆方程得
，
，所以必有公共点；故B 正确；
对于选项C，联立直线与抛物线方程得
，
若
时，则
，有解
；
若
时，
，取
，则
，方程无解，此时无公共点，故C 错误；
4
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对于选项D，当
时，对于直线有
，
，
，
联立双曲线方程得
，
取
，则直线：
，与双曲线不存在公共点，故D 排除.
故选：B.
8．在椭圆
上求一点
，使点
到直线
的距离最大时，点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】如下图所示：
根据题意可知，当点
在第三象限且椭圆在点
处的切线与直线
平行时，
点
到直线
的距离取得最大值，可设切线方程为
，
联立
，消去
整理可得
，
，因为
，解得
，
所以，椭圆
在点
处的切线方程为
，
因此，点
到直线
的距离的最大值为
,联立
，
可得点
的坐标为
.故选：B.
二、多选题：本大题共4 小题，每个小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
5
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合题目要求的.
9．在平面直角坐标系
中，已知直线：
，椭圆
：
，则下列说法
正确的有（ ）
A．恒过点
B．若恒过
的焦点，则
C．对任意实数
，与
总有两个互异公共点，则
D．若
，则一定存在实数
，使得与
有且只有一个公共点
【解析】方程
可化为
，所以直线恒过点
，A 正确；
设椭圆的半焦距为
，则点
的坐标可能为
或
，
若直线恒过点
，则
，故
，矛盾，
直线恒过点
，则
，故
，所以
，B 错误；
联立
，消
可得，
，
由对任意实数
，与
总有两个互异公共点，
可得方程
有
个不相等的实数解，
所以
，所以
，所以
，C 正确；
因为
，
所以
时，则
，即
时，
可得
，此时方程组有且只有一组解，故与
有且只有一个公共点，D 正确.
6
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故选：ACD.
10．直线
，
与椭圆
共有四个交点，它们逆时针方向依次为
，
则（ ）
A．
B．当
时，四边形
为正方形
C．四边形
面积的最大值为
D．若四边形
为菱形，则
【解析】A 选项，可以看出
，由椭圆的对称性知四边形
是平行四边形，
设
，
，联立
与
得，
，其中
，解得
，A 正确.
B 选项，由韦达定理得
，
，
，
平行四边形的高即为两平行线之间的距离
，
当
时，
，
，故
，B 错误.
C 选项，
，
7
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设
，
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，C 正确.
D 选项，若四边形
是菱形，则
，即
故
，解得
，
，D 正确.
故选：ACD
11．
为椭圆
的两个焦点，过
的直线l 与椭圆交于A，B 两点，则
的内切圆半径的r
值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由已知可得，
，
，
如图，根据椭圆的定义可得，
的周长为
，
所以
.设
，
，设
，
，
则
.
由已知可得，直线与
轴不重合，
，设直线的方程为
，
联立直线与椭圆的方程
可得，
.
8
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，且
，
所以，
.
令
，则
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以，
，所以
，所以，
，
所以，
，解得
.故选：BCD.
12．已知
，
是椭圆
：
的左右顶点，过点
且斜率不为零的直线与
交于
，
两点，
，
，
，
分别表示直线
，
，
，
的斜率，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．直线
与
的交点的轨迹方程是
【解析】对于A：设交点
，因为
在椭圆上，故
，
所以
.选项
正确；
对于B：设
，
，直线
：
，联立
，
9
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消去
，得
，则
①，
②，
所以
，故选项B 正确；
对于C：联立
和
，相除得
，故选项C 错误；
对于D：设直线
方程：
③，
直线
方程：
④，联立③④，消
得，
，
结合选项B 中①②得
，
所以
.D 正确；
故选：ABD.
三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设椭圆中心在坐标原点，
是它的两个顶点，直线
与线段AB 相交于点D，
与椭圆相交于E，F 两点．若
，则实数k 的值为 .
【解析】依题意得椭圆的方程为
，直线AB，EF 的方程分别为
，
.
如图，
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设D，E，F 三点的坐标分别为
，
，
，其中
，
由
得
，则
满足方程
，
故
，由
知
，得
，
由点D 在直线AB 上，知
，即
，
所以
，化简得
，解得
或
.
14．已知椭圆
，过点
的直线与椭圆
交于
两点（点
位于
轴上方），若
，则直线的斜率
的值为 ．
【解析】依题意，点
位于
轴上方且
，则直线的斜率存在且不为，
设
（
），则
，
，
则可得
，设直线l 方程为
，
联立直线与椭圆
可得
，显然
，
，
，
，
，解得
，则直线的斜率为
.
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15．已知椭圆C:
，过右焦点
的直线交椭圆于A，B，若原点O 在以AB 为直径的
圆上，则a 的取值范围为 ．
【解析】已知椭圆
，则其右焦点坐标为
，则
，且
，过右焦点的
直线交椭圆于A，B，满足原点O 在以AB 为直径的圆上，所以
，
则设直线AB 方程为
，
则
，所以
，
显然
恒成立，所以
，
则
整理得
，所以
，
又
，
在
单调递增，所以
，
所以
，解得
．故答案为：
16．已知椭圆C：
，圆O：
，直线l 与圆O 相切于第一象限的点A，与椭圆C 交于
12
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P，Q 两点，与x 轴正半轴交于点B．若
，则直线l 的方程为 ．
【解析】取
中点
，连接
,由于
,所以
,进而
,
设
，设直线上任意一点
，
由于
是圆的切线，所以
,所以
，
令
则
，所以
，由中点坐标公式可得
，
设
,则
，两式相减可得
，
所以
,又
，
,
所以
，解得
，进而
故直线l 的方程为
，即
四、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆
的右焦点为
，上顶点为
，
，离心率为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
与椭圆
相交于
两点，且点
，当
的面积最大时，求直线
的方程．
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【解析】（1）由题意，可得
，且
，所以
，则
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）由直线的方程为
，则点
到直线的距离为
，
联立方程组
，整理可得
，
由判别式
，解得
，
设
，则
，
可得
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以所求直线的方程为
或
．
18．如图，在平面直角坐标系
中，
两点分别为椭圆
的右顶点和上顶点，且
，椭圆上的点到直线
的距离的最大值为6.
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(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点
的直线交椭圆于另一点
，交直线于点
，且以
为直径的圆经过原点，求直线
的方程.
【解析】（1）由题意得
，解得
，故椭圆的标准方程为：
.
（2）由题意得直线
不垂直
轴，设直线
，
联立
，可得
，且
.
设
，则
，则
，易知
.
联立
，可得
.
以
为直径的圆经过原点，
，解得
.
直线方程为：
或
.
19．以椭圆
的四个顶点所围成的四边形的面积为
，一个焦点
(1)求椭圆的标准方程
(2)过F 的直线与椭圆C 交于A，B 两点，是否存在一条定直线：
，使得上的任何一点P 都
满足PA，PF，PB 的斜率成等差数列？若存在，求出直线的方程，若不存在说明理由
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【解析】（1）
椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为
，
，
∴
∴
，
， ∴椭圆方程
（2）假设存在一条定直线，使得上的任何一点P 都满足PA，PF，PB 的斜率成等差数列，
（Ⅰ）当AB 斜率k 不存在时，
，
，
，
，故当斜率不存在时成立.
（Ⅱ）当AB 斜率k 存在时，设AB 直线方程
，
，
,
联立
，可得
，
由韦达定理可知
，
,又
,
,
,
,
,
,
16
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,
,∴
时，k，t 任意值都成立,
∴存在直线
成立,
综上，存在一条定直线，使得上的任何一点P 都满足PA，PF，PB 的斜率成等差数列.
20．已知圆
：
，点
，
是圆
上任意一点，线段
的垂直平分线和半径
相
交于
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)经过点
和
的圆与直线：
交于
，
，已知点
，且
、
分别与
交于
、
.
试探究直线
是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.
【解析】（1）如图所示，
∵
，且
，∴点
的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，
设椭圆方程
，则
，
，∴
，
.
所以点
的轨迹方程为：
.
（2）设直线
的方程为：
，由
，得
设
，
，则
，
.
所以，
，
因为直线
的方程为：
，令
，得
，
所以，
，同理可得
，
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以
为直径的圆的方程为：
，
即
，
因为圆过点
，所以，
，
得
，代入得
，
化简得，
，解得
或
（舍去），
所以直线
经过定点
，
当直线
的斜率为0 时，此时直线
与
轴重合，直线
经过点
，
综上所述，直线
经过定点
.
21．已知椭圆C：
的离心率
，短轴长为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知经过定点
的直线l 与椭圆相交于A，B 两点，且与直线
相交于点Q，如果
，
，那么
是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意得
，解得
，
，故椭圆C 的方程为
；
（2）当直线l 的斜率不存在时，
，
，
，
,
则
，
，
，
，
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此时
，
，
；
当直线l 的斜率存在时，设斜率为k，则直线l 的方程为
，
联立
可得
，设
，
，
联立
可得
，
则
，
，因为
，
，所以
，
，
所以
，
22．已知椭圆
的焦距与短轴长相等，点
在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若
为椭圆上两点，
是以
（斜率存在）为斜边的直角三角形（
为坐标原点），求
的最大值.
【解析】（1）由题意，可知
，即
，所以
，
把点
的坐标代入椭圆方程得
，所以
所以椭圆方程为
.
（2）设直线方程为
，
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与椭圆联立，得
则
，
设
，则
，
是以
为斜边的直角三角形，
，即
，
，
所以
，即
，满足
，
，
，
（当且仅当
时取等号），
，
综上，
的最大值为3.
20
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