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第 03 讲 基本不等式
目录
第一部分：题型篇....................................................1
题型一：重点考查基本不等式成的条件...............................1
题型二：重点考查直接使用基本不等式（无需凑配）...................5
题型三：重点考查通过凑配整体使用基本不等式.......................6
题型四：重点考查代入消元使用基本不等式...........................8
题型五：重点考查通过换元化繁为简使用基本不等式..................11
题型六：重点考查“1”的整体代入.................................14
题型七：重点考查二次与二次（一次）的商式变形....................17
第二部分：应用篇...................................................20
应用一：恒成立重要工具之一：基本不等式..........................20
应用二：最值重要工具之一：基本不等式............................24
应用三：对钩函数更胜基本不等式..................................29
第三部分：易错篇...................................................32
易错点一：基本不等式使用时忽略了“一正”“三相等”..............32第一部分：题型篇
题型一：重点考查基本不等式成的条件
典型例题
例题1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若 ，则 成立，当且仅当 时取等，
若 ，不妨设 ，则 不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：C.
例题2．（2023·全国·高三对口高考）下列结论正确的是（ ）
A． 有最小值2 B． 有最小值2
C． 时， 有最大值-2 D． 时， 有最小值2
【答案】C
【详解】解：对于A，没有说 是正数，所以 可以取到负值，故A错误；
对于B，要 取到最小值2，需满足 ，此时 ，不可能成立，故B
错误；
对于C， ， ，当且仅当 时，等号成
立，故C正确；
对于D， ，故D错误．
故选;C.
例题3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）在下列函数中，最小值是2的函数有（ ）
A． B．C． D．
【答案】AD
【详解】对于选项A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得 ，当且仅当 ，即x＝1或 时，
等号成立，故选项A正确；
对于选项B：∵ ，∴0＜ ＜1，由基本不等式可得 ，当且仅当 ，即
时，等号成立，但是 取不到1，所以等号不能成立，故选项B不正确；
对于选项C：由基本不等式可得 ，当且仅当
，即 时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确；
对于选项D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得 ，当且仅当 ，即x＝
log 2时，等号成立，故选项D正确．
3
故选：AD．
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 则
D．若 ，且 ，则
【答案】D
【详解】对于A选项，当 时， ，所以A选项错误.
对于B选项，如 时， ，所以B选项错误.
对于C选项，由于 ，则 ， ，所以C选项错误.
对于D选项，根据基本不等式成立的条件可知D选项正确.故选：D
2．（多选）（2023春·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）下列说法中正确的有（ ）
A．不等式 恒成立
B．存在实数 ,使得不等式 成立
C．若 , ,则
D．若 , 且 ,则
【答案】BCD
【详解】解:不等式 只有在a,b都为非负数的时候才恒成立,
故A错误;
当 时, ,
故B正确;
若 ,
则由基本不等式得 ,
当且仅当 即 时,等号成立,
故C正确;
因为 , ,且 ,
所以 ,
所以
当且仅当 且 时取等号,即 时取等号;
故D正确.
故选:BCD.
3．（多选）（2023春·四川宜宾·高一四川省宜宾市第四中学校校考开学考试）下列说法正确的是（ ）A． 的最小值是
B． 的最小值是
C． 的最小值是
D． 的最小值是
【答案】AB
【详解】当 时， （当且仅当 ，即 时取等号），A正确；
，因为 ，所以 ，B正确；
，当且仅当 ，即 时，等号成立，显然不
成立，故C错误；
当 时， ，D错误.
故选:AB.
题型二：重点考查直接使用基本不等式（无需凑配）
典型例题
例题1．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）若对任意的 恒
成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，而当 时， ，当且仅当 ，即
时取等号，
则 ，所以m的取值范围是 .
故选：C
例题2．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知 ，则 的最小值为（ ）A． B．2 C． D．4
【答案】C
【详解】因为 ，则 ，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以 的最小值为 .
故选：C
例题3．（2023·高一课时练习）已知 ，则 的最大值是______．
【答案】
【详解】∵ ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴ 的最大值是 .
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023·天津南开·统考一模）已知实数 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，当且仅当 即 时取等号.
故答案为： .
2．（2023·高一课时练习）不等式 中等号成立的条件是______．
【答案】
【详解】由题知， ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以等号成立的条件是 ，
故答案为：
3．（2023春·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试）函数 的值域为_________.【答案】
【详解】因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号．
故答案为： ．
题型三：重点考查通过凑配整体使用基本不等式
典型例题
例题1．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）当 时，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
故 的最小值为3.
因为当 时，不等式 恒成立，
所以 .
故选：D.
例题2．（2023·高一课时练习）若正实数 、 满足 ，则 的最小值为______．
【答案】4
【详解】解：因为 、 且 ，
所以 ，当且仅当 ，即 、 时取等号；
故答案为：
例题3．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知 ，则当 ___________时， 取得最
小值.
【答案】
【详解】解：因为 ，所以 ,
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当 时， 取得最小值.
故答案为： .
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，求 的最大值.
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，当 时， 的最大值为
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【详解】 ， 为正数， ，则 ，当且仅当 时取等
号，
所以当 时， 取得最大值9.
故选：C
2．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）若 ，则 的最小值为___________.
【答案】0
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立.
故答案为：0
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值是__________
【答案】1【详解】 ，
，
当且仅当 ， 时，等号成立.
故答案为：1.
4．（2023秋·天津·高一统考期末）若 ，则 的最小值为______．
【答案】
【详解】 ，
当且仅当 ,即 时，取得最小值.
故答案为： .
题型四：重点考查代入消元使用基本不等式
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若正数 ， 满足 ，则 的最小值是
（ ）．
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【详解】解：因为正数 满足 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：B
例题2．（2023秋·江西吉安·高一永丰县永丰中学校考期末）设 ， ， ，则
（ ）
A． 有最大值8 B． 有最小值6
C． 有最大值16 D． 有最小值12
【答案】C
【详解】 ， ， ，所以 ,
则
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 有最小值8，排除A、B选项；
，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 ，
故选：C.
例题3．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）若 ，且
，则 的最小值为_________．
【答案】3
【详解】因为 ，所以 ，
，当且仅当 时，等号成立．
故答案为：3．
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（ ）
A．1 B．3
C．6 D．12
【答案】B
【详解】解：∵x2+2xy-3=0，∴y= ，
∴2x+y=2x+ 2 =3，
当且仅当 ，即x=1时取等号.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值是（ ）A．14 B． C．8 D．
【答案】A
【详解】因为 ，则 ，
于是得 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，
所以当 时， 取最小值14.
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）若正数 ， 满足 ，则 的最小值为________.
【答案】
【详解】解：因为正数 ， 满足 ，
则有 ，即 ，
，即 ，
所以 ，
当且仅当 即 ，又 ，
即 ， 时取得最小值，且最小值为 ．
故答案为： ．
题型五：重点考查通过换元化繁为简使用基本不等式
典型例题
例题1．（2023秋·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）若 ， ，且
，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【详解】设 ，则 ，且 ，题目转化为已知 ，求 的最小值，
即 ，
而 ，
当且仅当 ，即 时等式成立.
所以 .
故选：C.
例题2．（多选）（2023·云南红河·统考一模）已知 ， ，且 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】对于A：由 ，得 ，当且仅当 时，等号成立
，解得 ，即 ，故A不正确；
对于B：由 ，得 ，当且仅当 时，等号成立即
，解得 ，或 （舍去），故B正确；
对于C： ，
令 ， ，即 ，故C正确；
对于D， ，令 ， ，即 ，故D不正
确，
故选：BC．
例题3．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）设 ， 是正实数，且 ，则 的最
大值是________.
【答案】
【详解】令 ，则 ，
可得 ，即 ，且 ，
∵ ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
可得 ，
∴ ，
即 的最大值是 .
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，令 ，则 且
，代入 中得：
当 即 时取“=”,
所以最小值为1.
故选：B
2．（多选）（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知 ， 为正实数，且 ，则
（ ）A． 的最大值为2 B． 的最小值为5
C． 的最小值为 D．
【答案】AC
【详解】依题意，
对于A：因为 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
令 ，则有 ，
解得 ，又因为 ，
所以 ，即 ，
的最大值为2，故A选项正确；
对于B：因为 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
令 ，则有 ，
解得 或 （舍去），
即 ，所以 的最小值为4，
故B选项错误；
对于C：因为 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等式成立，
所以 的最小值为 ，故C选项正确；
对于D：当 ， 时， ，
所以D选项错误；
故选：AC.
3．（多选）（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考期末）若实数 满足 ，则的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】BC
【详解】 ， ，设 ，则由题意得
，即 .因为 ，即 ，当且仅当
，即 时等号成立，解得 ，所以 的取值范围是
故选：BC.
题型六：重点考查“1”的整体代入
典型例题
例题1．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知 ， ，且 ，那么 的最小值
为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【详解】因为 ， ， ，
则
.
当且仅当 即 时取等.
故选：C.
例题2．（2023春·湖南邵阳·高一统考开学考试）若 ， ，且 ，则 的最小
值为________．
【答案】3【详解】由题意得 ， ， ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故答案为：3
例题3．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数 ，且 ，则 的最小值为
___________.
【答案】 ##0.5
【详解】 ，
，
，
当且仅当 时，取等号.
故答案为： .
4．（2023春·山东淄博·高一校考阶段练习）若 ，则 的最小值为__________.
【答案】9
【详解】 （当且
仅当 时等号成立）
故答案为：
精练核心考点
1．（2023春·广西·高三鹿寨县鹿寨中学校联考阶段练习）已知正实数x，y满足 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C．3 D．1【答案】C
【详解】因为 ，则
则 ，
当且仅当 即 时等号成立.
所以 的最小值为 .
故选:C．
2．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）若正数 满足 ，则 的最小值
为（ ）
A．8 B． C．16 D．48
【答案】C
【详解】 ，
当且仅当 时等号成立.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 都是正数，且 ，则 的最小值为__________．
【答案】 ##
【详解】因为 都是正数，且 ，则 ,
则
,
当且仅当 ，结合 ，即 ， 时取等号，
故答案为：
4．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知实数 ，若 ，则 的最小值为__________.【答案】 ##
【详解】因为 ， 且 ，
所以 ，
当且仅当 ， ，即 时，取等号.
所以 的最小值为 .
故答案为：
题型七：重点考查二次与二次（一次）的商式变形
典型例题
例题1．（2023·河北沧州·高一泊头市第一中学校考阶段练习）若 ，则 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故选：B.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 最大值为______．
【答案】
【详解】解：由 且 ，可得 ，代入 ，
又 ，当且仅当 ，即 ，
又 ，可得 ， 时，不等式取等，
即 的最大值为 ，
故答案为： ．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值是________．
【答案】
【详解】当 时， ，
，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，
因此，函数 的最小值为 .
故答案为： .
例题4．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）求 的
最小值；
【答案】 ；
【详解】
当且仅当 即 时取等号， 此时取得最小值 ；
精练核心考点
1．（2023·辽宁大连·高一育明高中校考）“ ”是“关于 的不等式 （ ）有解”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由题意知 ，可得 ，则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以当 时， 的最小值为 ，
当 时，可得关于 的不等式 有解成立，即充分性成立，
反之：关于 的不等式 有解时， 不一定成立，即必要性不成立，
所以“ ”是“关于 的不等式 有解”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·全国·高一专题练习）若 ，则函数 的最小值为___________.
【答案】3
【详解】由题意， ，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
所以函数 的最小值为3.
故答案为：3.
3．（2023·江苏泰州·高一校考阶段练习）求函数 的最小值.
【答案】 ；
【详解】解： ，
，
，
当且仅当 时，即 时，函数有最小值 ；
4．（2023·高一课时练习）已知 ，求函数 的值域；
【答案】
【详解】设 ，因为 ，可得 ，且 ，故 ，
因为 ，可得 ，当且仅当 时，即 时，等号成立．
所以函数 的值域为 ．
第二部分：应用篇
应用一：恒成立重要工具之一：基本不等式
典型例题
例题1．（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）关于 的不等式 的解集为单元素
集，且 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【详解】由已知 ，又 ，∴ ， ，
，当且仅当 时等号成立，所以 的
最小值是1，
不等式 恒成立，则 ， ，解得 ．
故选：A．
例题2．（多选）（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知 ，且 ，若不等式
恒成立，则 的值可以为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】AB
【详解】要使不等式 恒成立，只需要 即可.
由 ，得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 的最小值为 ，即 ，
故 的最大值为 .
故选：AB.
例题3．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于 的不等式 对任意 恒成立，
则正实数 的取值集合为______．
【答案】
【详解】∵ ，则 ，
原题意等价于 对任意 恒成立，
由 ， ，则 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时取得等号，
∴ ，解得 ．
故正实数 的取值集合为 .
故答案为： ．
例题4．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，解关于 的不等式 .
(2)不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)【详解】（1）解： 等价于 ，
所以， 等价于 ，
因为 ，
所以，当 时， ， 的解集为 ，
当 时， ， 的解集为 ，
当 时， ， 的解集为 ，
综上，当 时 的解集为 ；当 时， 的解集为 ；当 时，
的解集为 .
（2）解：因为不等式 对任意 恒成立，
所以 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，
因为 ，所以 ，
所以 对任意 恒成立，
因为 ，当且仅
当 ，即 ， 时等号成立，
所以， ，即实数 的取值范围为
精练核心考点
1．（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考期末）若关于x的不等式 对于一切实
数x都成立，则实数a的范围是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
【答案】C
【详解】关于x的不等式 对于一切实数x都成立，则 ，其中 .
又 ，则由基本不等式有：
，当且仅当 ，即 时取等
号.
则 .
故选：C
2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）当 ， ， 时， 恒成立，则
的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AB
【详解】因为 ， ，所以 ，当且仅当 时，等号成立．
因为 ．
若 恒成立，则 ，解得 ．
故选：AB.
3．（2023春·安徽·高一淮北一中校联考开学考试）已知正数x，y满足 ，若不等式 对任
意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为__________．
【答案】
【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以实数m的取值范围为 ．
故答案为： ．
4．（2023秋·江西宜春·高一校考期末）已知 ．
(1)当 且 时，求函数 的取值范围；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，
令 ，由 ，得 ， ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 的取值范围 ．
（2）令 ，由 ，得 ，则 ，
对任意的 ， 恒成立，即对任意的 ， 恒成立，
则对任意的 ， 恒成立，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
则当 时， 取最大值 ，
所以实数 的取值范围
应用二：最值重要工具之一：基本不等式
典型例题
例题1．（2023春·安徽·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）公元前3世纪，古希腊数学家阿波
罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多
关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被
人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点 和 ，且该平面内的点 满足 ，若点
的轨迹关于直线 对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设点 的坐标为 ，因为 ，则 ，
即 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
因为 点的轨迹关于直线 对称，所以圆心 在此直线上，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：D.
例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形 中， ， ，
， ，动点 在边 上，且满足 （ ， 均为正数），则 的最
小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，以A为原点， 所在直线为x轴， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设 ，
则 .
因为 ，
所以 ，消去 ，得 ，因为 ， ，所以 ，
当且仅当 时等号成立.
故 的最小值为 .
故选：D
例题3．（2023春·辽宁大连·高二大连市第一中学校考阶段练习）一个篮球运动员投篮一次得3分的概
率为 ，得2分的概率为 ，不得分的概率为 ， ，且 ，已知他投篮一次得分的数
学期望为2，则 的最小值为______．
【答案】 ##
【详解】因为一位篮球运动员投篮一次得3分概率为 ，得2分概率为 ，不得分的概率为c，
，且 ，已知他投篮一次得分的数学期望为2，
则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
例题4．（2023·全国·模拟预测）若函数 的图象恒过定点 ，且 ，
，当 有最小值时， ______．
【答案】4
【详解】由函数 的图象恒过定点 得 ，
即 ．
解法一：
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，此时 ．解法二：
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，此时 ．
故答案为：4
精练核心考点
1．（2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试）已知函数 （ 且 ）图像恒过的
定点 在直线 上，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为函数 （ 且 ）图像恒过的定点 ，
又因为定点 在直线 上，所以 ，
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 最小值为 ，
因为关于 的不等式 恒成立，所以 ，
所以 ，即得 ， ，解得 ，
所以，实数 的取值范围为 .
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 满足 ，若存在 、 ，使得
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，由 可得 ，解得 ，因为 ，则 ， ，可得 ，
由已知 、 ，所以，
，
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故选：D.
3．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知函数 ，若正实数
满足 ，则 的最小值为__________.
【答案】16
【详解】由函数 ，
设 ，则 的定义域为 ，
，
则 ，所以 是奇函数，
则 ，
又因为正实数 满足 ，
所以 ，
，
当且仅当 时取到等号.
故答案为：16.
4．（2023春·安徽宿州·高一统考期中）平面内给定三个向量 ，且
.(1)求实数 关于 的表达式；
(2)如图，在 中， 为中线 的中点，过点 的直线与边 分别交于点 （ 不与 重
合）.设向量 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ,
所以 ，即 .
（2）由（1）可知， ，由题意可知 .
因为 ，
所以 ；
因为 三点共线，所以. .
所以 ，
当且仅当 时，取等号，
即 时， 取最小值 .
应用三：对钩函数更胜基本不等式
典型例题
例题1．（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）函数 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．以上都不对【答案】B
【详解】令 ，则 ，
因为 在 上单调递增，
所以当 时 取得最小值 ，
故选：B
例题2．（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知关于 的不等式 的解集为
，其中 ，则 的最小值为（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．
【答案】D
【详解】由题设， ，可得 ，且 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，显然等号取不到，
而 在 上递增，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：D
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若存在 ，任
意 ，使得 ，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】若 在 上的最大值 ， 在 上的最大值 ，
由题设，只需 即可.
在 上， 当且仅当 时等号成立，
由对勾函数的性质： 在 上递增，故 .在 上， 单调递增，则 ，
所以 ，可得 .
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，
其中 ，则 的最小值为（ ）
A．－4 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【详解】由 的解集为 ，
则 ，且 ， 是方程 的两根，
由根与系数的关系知 ，
解得 ， ，当且仅当 时等号成立，
故 ， 设 ，
函数 在 上单调递增，
所以
所以 的最小值为5.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝x＋ （x≥2）取得最小值时的x值为________．
【答案】2
【详解】依题意，
y＝x＋ ＝x＋1＋ －1(x≥2)，
设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋ －1在[3,＋∞)上单调递增，所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋ (x≥2)取得最小值．
故答案为：2.
3．（2023·全国·高三专题练习）函数f（x）＝ ＋1的最小值为________．
【答案】 ＋1
【详解】f（x）＝ ＋1＝ ＋1＝ ＋ ＋1，
令 ，t∈[ ，＋∞），
则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋ ＋1，t∈[ ，＋∞）．令u（t）＝t＋ （t≥ ），
则由u（t）在[ ，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥ ＋ ＝ ，
则g（t）≥ ，
所以函数f（x）的最小值为 ；
故答案为： .
第三部分：易错篇
易错点一：基本不等式使用时忽略了“一正”“三相等”
基本不等式使用时勿忘使用条件“一正”，“三相等”
例题1．（多选）（2023秋·四川凉山·高一统考期末）下列不等式中正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 ， 时， D．当 ， 时，
【答案】BCD【详解】当 时， ，可得 ，当且仅当 时取到等号；
当 时， ，可得 ，当且仅当 时取到等号，故A错误；
当 时，因为 为增函数，所以 ，故B正确；
当 ， 时， ，当且仅当 时取到等号，故C正确；
当 ， 时， ，即得 ，故D正确.
故选：BCD
例题2．（多选）（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）下列结论错误的是（
）
A．函数 的最小值是2
B．当 时，函数 的最小值是4
C．当 时，函数 的最小值是5
D．当 且 时，函数 的最小值为2
【答案】ABD
【详解】对于A，当 时， ，所以A错误；
对于B， ， ，
因为 在 上单调递减，所以 ，所以B错误；
对于C， ，
时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最小值是5，C正确；
对于D，当 时， ，所以D错误.
故选：ABD.
例题3．（多选）（2023春·广西柳州·高二柳州市第三中学校考阶段练习）下列命题中，真命题的是（
）
A． ， 是 的充分不必要条件；B．“ ”是“ ”的充要条件；
C．函数 的最小值为6；
D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”。
【答案】AD
【详解】对于A，当 ， 时， ，但是当 时，得到 ， 不一定成立，例如，
，故 ， 是 的充分不必要条件，故A正确；
对于B，若 ，则 ，若 ，则 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故B错
误；
对于C, ，等号成立的条件是 ，
解得： ，不成立，所以等号不成立，所以函数 的最小值不是6，故C错误；
对于D，命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故D正确.
故选：AD
