用坐标表示轴对称
教学目标
（一）教学知识点
1．在平面直角坐标系中，探索关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律．
2．利用关于x 轴、y 轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x 轴、y,轴对称
的图形．
（二）能力训练要求
1．在探索关于x 轴，y 轴对称的点的坐标的规律时，,发展学生数形结合的
思维意识．
2．在同一坐标系中，,感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之
间的关系．
（三）情感与价值观要求
在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心．
教学重点
1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．
2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．
教学难点
用坐标表示轴对称．
教学方法
探索发现法．
教具准备
课件，坐标纸．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[活动1]
1．如图：
（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？
（2）已知右边图脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端
点，右端点的坐标为（4，1），左端点的坐标为（2，1）．
你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？
2．在平面直角坐标系中，将坐标为（2，2），
（4，2），
（4，4），
（2，4），
（2，2）的
点用线段依次连结起来形成一个图案．
（1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起
来，所得的图案与原图案相比有何变化？
（2）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起
来，所得的图案又与原图案相比有何变化？
设计意图：
通过有趣的轴对称图形的研究，激发学生探究坐标特点的好奇心，是一种
形到数的探究，接着又从对坐标实施变化，引起图案的变化，,使学生在坐标的
变化中产生对每对关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律的探究．
师生行为：
[生]1．（1）观察可发现图中的两个圆脸关于y 轴对称．
（2）我们可以设右脸中的左眼为A 点，右眼为B 点，则A（2，3），B（4，3），,嘴
角的左右端为D（2，1），C（4，1）．根据轴对称的性质，A 与A1关于y 轴对称，则A1
到y 轴的距离和A,到y 轴的距离相等，A1、A 到x 轴的距离也相等，∵A1在第二象
限，∴A1的坐标为（-2，3）．
同理，B1、C1、D1的坐标分别为（-4，3）、（-4，1）、（-2，1）．
2．师生共同完成
[生]在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连结如图．A（2，2），B（4，
2），,C（4，4），D（2，4）．
（1）纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到相应四个点为A1（-2，2），B1（-4，2），
C1（-4，4）,，D1（-2，4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，不难发现它们是
关于y 轴对称的．
（2）横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到相应的四个点为A2（2，-2），B2（4，-
2），C2（4，-4），D2（2，-4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，可得它们是关
于x 轴对称的．
[师]A（2，2）与A1（-2，2）关于y 轴对称，
B（4，2）与B1（-4，2）关于y 轴对称，
C（4，4）与C1（-4，4）关于y 轴对称，
D（2，4）与D1（-2，4）关于y 轴对称．
那么关于y 轴对称的点具有什么规律呢？
A（2，2）与A2（2，-2）关于x 轴对称，
B（4，2）与B2（4，-2）关于x 轴对称，
C（4，4）与C2（4，-4）关于x 轴对称，
D（2，4）与D2（2，-4）关于x 轴对称．
那么关于x 轴对称的点有何规律呢？
这节课我们就来研究关于x 轴，y 轴对称的每对对称点坐标的规律．
Ⅱ．导入新课
[活动2]
在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入
表格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．
已知点A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（1
2 ，1），E（4，0）．
关于x 轴的对称点A′（____，____）B′（_____，______）C,′（,_____，,
_____）,,D′（____，_____）E′（_____，_____）．
关于y 轴的对称点A″（_____，____）B″（_____，______）C″（,_____，,
_____）,,D″（____，_____）E″（_____，_____）．
设计意图：
通过学生动手操作，分别作A，B，C，D，E 关于x 轴、y 轴的对称点A′，B′，
C′，D′，E′；A″，B″，C″，D″，E″，并且求出它们的坐标，观察，归纳它们坐
标之间的关系．
师生行为：
教师引导，学生自主探索发现关于x 轴、y 轴对称的每组对称点坐标的规律．
[生]如图，我们先在直角坐标系中描出A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（
1
2 ，1），E（4，0）点．
我们先在坐标系中作出A 点关于x 轴的对称点，即过A 作x 轴的垂线交x
轴于M 点，,M 点的坐标为（2，0）．在AM 的延长线上截A′M=AM，则A′就是A 点
关于x 轴的对称点，所以A′在第一象限，因为A′M=AM，所以A′的纵坐标为3，
因为AA′⊥x 轴，即AA′∥y 轴，,所以A′的横坐标为2，即A′的坐标为（2，
3）．
同理可求得B，C，D，E 关于x 轴的对称点B′，C′，D′，E′的坐标分别为
B′（-1，,-2），C′（-6，5），D′（1
2 ，-1），E′（4，0）．列表如下：
已知点
A（2，-3）
B（-1，2）
C（-6，-5）
关于x 轴的对称点
A′（2，3）
B′（-1，-2） C′（-6，5）
续表
已知点
D（1
2 ，1）
E（4，0）
关于x 轴的对称点
D′（1
2 ，-1）
E′（4，0）
[师]观察上表每对对称点坐标之间的关系，你发现什么规律？
[生]每对对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．
[师]我们不仿再找几对关于x 轴对称的点，写出它们的坐标，还有上面的
C/ .
规律吗？
学生亲自动手进一步尝试，在学生认可的情况下明确关于x 轴对称的每对
对称点的坐标的规律．
[师生共析]
关于x 轴对称的每对对称点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
接着我们再来作出A，B，C，D，E 关于y 轴的对称点，并求出它们的坐标．
[生]同样，我们先作出A 关于y 轴的对称点A″，并求出A″的坐标．
过A 作y 轴的垂线AN，垂足为N，则N 点坐标为（0，-3），然后在AN 的延长线
上截A″N，使A″N=AN，则A″就是所求的A 关于y 轴的对称点．A″在第三象限，
AA″⊥y 轴，,且AN=A″N，所以A″的坐标为（-2，-3），同理可求得B，C，D，E 关
于y 轴的对称点B″，C″，D″，E″的坐标分别为B″（1，2），C″（6，-5），D″（-
1
2 ，1），E″（-4，0）．列表如下：
已知点
A（2，-3）B（-1，2）
C（-6，-5）
关于y 轴对称点
A″（-2，-3） B″（1，2）C″（6，-5）
续表
已知点
D（1
2 ，1）
E（4，0）
关于y 轴对称点
D″（1
2 ，1）
E″（-4，0）
[师]观察上表，比较每对关于y 轴的对称点的坐标，你能发现什么规律？
[生]关于y 轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．
Ⅲ．随堂练习
[活动3]
练习：（教科书P41 练习）
1．分别写出下列各点关于x 轴和y 轴对称的点的坐标：
（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）．
2．如图，△ABC 关于x 轴对称，点A 的坐标为（1，-2），标出点B 的坐标．
3．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC 关于
x,轴和y 轴对称的图形．
设计意图：
巩固关于x 轴、y 轴对称的每对对称点的坐标规律．根据已知点，能求出关
于x,轴、y 轴对称的点的坐标，并能利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，,作
出与已知图形关于坐标轴对称的图形．
师生行为：
学生练习，教师巡视，师生共评．
[生]1．解：根据关于x 轴对称的点的坐标的特点求得（-2，6），（1，-2），
（-1，3），（,-4，-2），（1，0）关于x 轴对称的点的坐标分别为（-2，-6），（1，2），
（-1，-3），（-4，2），（,1，0）．
根据关于y 轴对称的点的坐标的特点可得（-2，6），（1，-2），（-1，3），
（-4，-2），（,1，0）关于y 轴对称的点的坐标分别为（2，6），（-1，-2），（1，3），
（4，-2），（-1，0）．
2．△ABC 关于x 轴对称，则A、B 为关于x 轴的一对对称点，已知A 的坐标为
（1，-2），,则B 的坐标为（1，2）．
3．分析：要作出与△ABC 关于x 轴、y 轴的对称图形，只需把A、B、C 关于x
轴、y 轴的对称点找到即可．
解：△ABC 各顶点的坐标：A（-4，1），B（-1，-1），C（-3，2）它们关于x 轴对称
的点的坐标为A1（-4，-1），B1（-1，1），C1（-3，-2）．在同一直角坐标系中描出A1
（-4，-1），B1（-1，1），C1（-3，-2）连结A1B1，B1C1，C1A1，则△A1B1C1就是△ABC 关于x
轴对称的图形（如图）．
A（-4，1），B（-1，-1），C（-3，2）它们关于y 轴对称的点的坐标为A2（4，1），B2
（1，-1），C2（3，2）．在同一坐标系中描出A2（4，1），B2（1，-1），C2（3，2），连结
A2B2，B2C2，C2A2，则△A2B2C2就是△ABC 关于y 轴对称的图形（如图）．
[活动4]
补充练习：
1．将下图中的点（2，1），（5，1），（2，5）做如下变化：
（1）纵坐标不变，横坐标分别加2．
（2）横坐标不变，纵坐标分别加1．
（3）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2 倍．
（4）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2 倍．
（5）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1．
（6）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1．
（7）纵坐标、横都分别乘以-1，观察变化后的三角形与原三角形有什么变化？
设计意图：
进一步让同学们亲身经历点的坐标的变化与图形变换之间的关系．
师生行为：
学生练习，教师指导．
精析：行根据变化，把每次变化后的三个顶点坐标求出，,在平面直角坐标
系中描出它们，连结成新三角形，然后与原有的三角形进行比较．
精解：（1）纵坐标不变，横坐标分别加2 得三个点依次为（4，1），
（7，1），
（4，
5）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（1）所示，与原图形相比三角形
的形状、,大小不变，整个三角形向右平移了2 个单位长度．
（2）横坐标不变，纵坐标分别加1，得三个点依次为（2，2），（5，2），（2，6）．
将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（2）所示，与原图形相比，三角形的
形状、大小不变，整个三角形向上平移了1 个单位长度．
（3）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2 倍，得三个点依次为（4，1），
（10，
1），（4，5）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（3）所示，与原图形相比，
,整个三角形被横向拉长为原来的2 倍．
（4）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2 倍，得三个点依次为（2，2），（5，
2），,（2，10）．将各点依次用线段连结起来，所得图形如图（4）所示，与原图形相
比，整个三角形被纵向拉长2 倍．
（5）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，得三个点坐标为（-2，1），（-5，1），
（-2，5）,．将各点依次用线段连结起来，如图（5）所示，与原图形相比，三角形的
形状、,大小不变，整个三角形与原三角形关于y 轴对称．
（6）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，得三个点坐标为（2，-1），（5，-1），
（2，-5）．将各点用线段连结起来，如图（6）所示，与原图形相比，三角形的形状、
大小不变，整个三角形与原三角形关于x 轴对称．
（7）横纵坐标都分别乘以-1，得三个点坐标为（-2，-1），
（-5，-1），
（-2，-5）．
将各点用线段依次连结起来，如图（7）所示，与原图形相比，整个三角形的形状、
,大小不变，整个三角形与原三角形关于O 点对称．
Ⅳ．课时小结
本节课的主要内容（由学生在教师的引导下共同回忆总结）：
1．在直角坐标系中，探索了关于x 轴，y 轴对称的对称点坐标规律．
2．利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，作已知图形的轴对称图形，体
现了数形结合的数学思想．
Ⅴ．课后作业
教科书习题12．2─2、3、4 题，第6 题、第7 题（学有余力的同学做）．
Ⅵ．活动与探究
1．如下图，以树干为对称轴，画出树的另一半．
分析：要画出树的另一半，根据轴对称图形的性质，,关于对称轴对称的对应
点的横坐标是互为相反数，纵坐标不变，因此需要在图中先建立直角坐标系，,
写出对称轴左侧某些点的坐标，然后对称地写出右侧的对应点的坐标，再进行
连结．
解：如上图所示建立直角坐标系，对称轴为y 轴，y 轴左侧的点A、C 两点的
坐标为（-4，0）、（-3，4），对称点A′、C′的坐标为（4，0）、（3，4），O、B、D,三点
都在对称轴上，然后用线段连结起来．
2．A、B、C、D、E 各点的坐标如下图所示，确定△ABE、△EBD、△ABC 的面积，你
是怎样做的？你发现了什么规律？
解：A、B、C、D、E 各点的坐标分别为A（0，6），B（0，3），C（6，1），D（-2，-2），E
（-8，0）．
△ABE 的面积为1
2 （8×6-8×3）=12．
△EBD 的面积为8×5- 1
2 ×8×3- 1
2 ×2×5- 1
2 ×6×2=17．
△ABC 的面积为1
2 （6×5-2×6）=9．
规律为可以将每个三角形的面积看成边与坐标轴平行的矩形的一半．
板书设计
§12．2．2 用坐标表示轴对称
一、探索关于x 轴、y 轴对称的每对对称点的规律．
（1）关于x 轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数．
（2）关于y 轴对称的点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．
二、利用关于x 轴、y 轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x 轴、y 轴对称
的图形．
备课资料
（一）参考练习
1．已知A 点坐标为（-1，3）．
（1）与点A 关于y 轴对称的点坐标．
（2）与点A 关于x 轴对称的点坐标．
2．已知△ABC 的顶点坐标分别为（3，3），（2，1），（4，1）．请你在同一坐标系
中作出：
（1）关于x 轴对称的图形．
（2）关于y 轴对称的图形．
3．描出图中的枫叶图案关于x 轴的轴对称图形的简图．
