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专题 01 集合
【题型归纳目录】
题型一：集合的表示：列举法、描述法
题型二：集合元素的三大特征
题型三：元素与集合间的关系
题型四：集合与集合之间的关系
题型五：集合的交、并、补运算
题型六：含参数问题
【高考考情分析】
考点要求 考题统计 复习目标
2024年 I卷第1题，5分 1、了解集合的含义，了解全集、空集的含
义.
2023年 I卷第1题，5分
（1）集合的概念与表 2、理解元素与集合的属于关系，理解集合间
示 2023年 II卷第2题，5分 的包含和相等关系.
（2）集合的基本关系 2022年 I卷II卷第 1题，5 3、会求两个集合的并集、交集与补集.
分
（3）集合的基本运算 4、能用自然语言、图形语言、集合语言描述
2021年I卷II卷第1题，5分
不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间
2020年I卷II卷第1题，5分 的基本关系和基本运算．.【知识点思维导图】【知识点梳理】
知识点1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为： 和 ．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（ 图）．
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不
在这个集合中就确定了．给定集合 ，可知 ，在该集合中， ，不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
集合 应满足 ．
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分．集合 和 是同一个集合．
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖
线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
题型一：集合的表示：列举法、描述法
【例1】（2018年新课标II卷）已知集合 ，则 中元素的个数为
（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
所以共有9个，
故选：A.
【变式1-1】（2012年课标卷）已知集合 ,则 中所含元素的
个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】列举法得出集合 ，共含 个元素．
故答案选
【变式1-2】（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（江西卷））定义集合运算:
.设 , ,则集合 的所有元素之和为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【解析】根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，
可得集合A*B，进而可得答案根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、
0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．
【变式1-3】（四川省乐山市2024届第三次调查研究考试文科数学试题）已知集合
，则集合 的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由题意知， ， ，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，所以 ，
所以集合 中的元素个数为4.
故选：C.
题型二：集合元素的三大特征
【例2】（山东省菏泽市2024届高三下学期二模数学试题）已知 ，集合
．则集合 中所有元素之和为 ．
【答案】5
【解析】由题意，得 ，
则集合 中所有元素之和为 .
故答案为：5
【变式2-1】已知集合 ，若 ，则实数 .
【答案】
【解析】由 ，可得 或 ，
当 时，集合 不满足集合的互异性；
当 时， 或1（舍去），集合 ，符合题意.
综上， .
故答案为： .
【变式2-2】（上海市格致中学2021届高三上学期9月月考数学试题）已知集合 ，若
，则 .
【答案】
【解析】 ， ，则 或 ，
解得 或 ，
当 时，集合 中有两个相同元素，（舍去），
所以 .
故答案为：
【变式2-3】已知集合 ，若 ，则实数 的值为 .
【答案】 或
【解析】因为 ，则 或 或 ，分别求 ， ， 时集合 ，根据集合
元素的互异性，即可求解.因为 ，则 或 或 ，
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 时， 或 （舍）
当 时， ，符合题意；
综上所述： 或 ，
故答案为： 或
题型三：元素与集合间的关系
【例3】（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设全集 ，集合M满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误
故选:
【变式3-1】（云南省昆明市2025届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学试题）已知集合 ，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
又因为 ，所以 ，则 .
故选：D.
【变式3-2】（江西省重点高中2025届高三上学期1月份联考数学试卷）已知集合 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设 ，
结合各选项，A、B、D错，C对.
故选：C
知识点2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的
元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集 ，记作 （或 ），读作“
包含于 ”（或“ 包含 ”）．
（2）真子集（proper subset）：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集
合B的真子集，记作 （或 ）．读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”．
（3）相等：如果集合 是集合 的子集（ ，且集合 是集合 的子集（ ），此时，
集合 与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 ．
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非
空集合的真子集．
题型四：集合与集合之间的关系
【例4】（2006年普通高等学校招生考试数学试题（江苏卷））若 为三个集合， ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， ，
， ，即 ；
对于A， ， ，A正确；
对于B，当且仅当 时， ，B错误；
对于C，当 时，满足 ，C错误；
对于D，当 时，满足 ，D错误.
故选：A.
【变式4-1】（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））设合集 ，集合
，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．PM C． M P D．
【答案】C
【解析】 = 或 ，所以M P.
故选：C.
【变式4-2】（2002年普通高等学校招生考试数学试题（苏豫粤））设集合
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：比如 ，即 ，对任意 ，则 ，
∵ ，则 ，即 ，
∴ ，且 ，B正确，D错误；
又∵ ，令 ，解得 ，即 ，
∴ ，且 不是 的子集，A、C错误；
故选：B.
知识点3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集，记作
，即 ．
（2）并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的并集，记作
，即 ．
（3）补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全
集 的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 ．
题型五：集合的交、并、补运算
【例5】（2024年北京高考数学真题）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 .
故选：C.
【变式5-1】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】依题意得，对于集合 中的元素 ，满足 ，
则 可能的取值为 ，即 ，
于是 .
故选：C
【变式5-2】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，
故选：D
【变式5-3】（2024年天津高考数学真题）集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合 ， ，
所以 ，
故选：B
【变式5-4】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】因为 ，且注意到 ，
从而 .
故选：A.
【变式5-5】（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集 ，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，则 .
故选：A.
【变式5-6】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集 ,集合
， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为整数集 ， ，所以，
．
故选：A．
【变式5-7】（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设全集 ，集合 ，
则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为全集 ，集合 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故选：A.
【变式5-8】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合 ，集合 ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，则 ，选项A正确；
，则 ，选项B错误；
，则 或 ，选项C错误；
或 ，则 或 ，选项D错误；
故选：A.
知识点4、集合的运算性质
（1） ， ， ．
（2） ， ， ．
（3） ， ， ．
题型六：含参数问题
【例6】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合 ， ，若 ，则
（ ）．A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
【变式6-1】（2024届山东省聊城市高三三模数学试题）已知集合 ，且 ，
则实数 的值为 ．
【答案】3
【解析】 ，则 ，有 或 ，解得 或 或 ，
其中 时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去，
所以实数 的值为3.
故答案为：3
【变式6-2】（江苏省常州市金坛第一中学2024届高三第三次模拟数学试题）集合 ，
，若 ，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由 ，且 ，
当 时， ，则 ，即 ，
当 时，若 ，则 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．【变式6-3】（2024届湖南省衡阳市雁峰区衡阳市第八中学高三模拟预测数学试题）已知集合 ，
集合 ，若 ，则 ．
【答案】0或1
【解析】由 ，得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，且 ，
所以 或 ，
故答案为：0或1
【方法技巧与总结】
（1）若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非
空真子集有 个．
（2）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（3） ．
（4） ， ．【强化测试】
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】全集 ，集合 ，则 .
故选：C.
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知， ， ，
．
故选：B.
3．已知集合 和 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，所以 .
故选：C.4．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知 ， ，
故 .
故选:B.
5．（2025·高三·安徽淮北·开学考试）若集合 ，集合 ，
则 的非空真子集个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合
，
集合 ，
则 ，所以 的非空真子集个数为： 个．
故选：B
6．（2025·陕西咸阳·一模）已知集合 ， ，则 子集
的个数为（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．16
【答案】C
【解析】由 ，，
所以 ，故 子集的个数为 个.
故选：C
7．（2025·高三·广东清远·开学考试）集合 ， ，若 ，则
（ ）
A． B．0 C．2 D． 或2
【答案】C
【解析】由题设 ，若 ，则 ，此时 ，集合A不满足元素的互异性，排除；
若 ，可得 或 （舍），
当 时， ， ，满足题设，
所以 .
故选：C
8．（2025·四川·一模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于 ，
故 ，
故选：B
9．（2025·高三·湖南长沙·开学考试）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】解不等式 ，则其解为 .
又因为 ，所以 .
求解集合 ：解不等式 ，则 ，得 ，所以 . 那么
或 .
所以 .
故选：B.
10．（2025·高三·广东·开学考试）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合 ，得 .
故选：C.
11．（2025·高三·河北·开学考试）若集合 则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为集合
所以 ，
所以 .故选：B.
12．（2025·高三·全国·开学考试）已知集合 ， ，且 ，则
（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
若 ，则 ，或 ，
解得 ，或 ，或 ，
经验证，当 时，不满足集合中元素的互异性，舍去，
所以当 时， ；
当 时， ，
故选：C.
13．（多选题）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合 ，若“ ”是“
”的充分条件，则实数 的取值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】BC
【解析】由题意得 ，解得 ，则BC符合题意.
故选：BC.
14．（多选题）（2025·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素 ，则 或 ，所以阴影部分所表示的集合
为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为 ，
所以选项AD正确，选项BC不正确.
故选：AD.
15．（多选题）（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合 均为 的子集，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为集合 均为 的子集，且 ，
画出韦恩图，如图所示：
结合图像：由 ，所以A正确；由 ，所以B错误；
由 ，所以C错误；由 ，所以D正确.
故选：AD.16．（多选题）已知集合 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由题意得，集合 ， ，
，
所以 ，结合选项，可得A，C正确，B，D错误.
故选：AC.
17．（2025·江西南昌·一模）已知集合 ， ,则 的元素个数为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，则 .
因此，集合 的元素个数为 .
故答案为： .
18．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则实数
.
【答案】 或
【解析】由题知， ，
因为 ，所以 ，
则当 时， ，而 ；
当 时， (舍)或 ，
所以 或 .故答案为： 或
19．（2025·高三·山东聊城·开学考试）已知集合 ， ．若 ，则m的取值范围
是 ．
【答案】 或
【解析】因 ， ， ，则 或 .
故答案为： 或
20．（2025·甘肃·二模）建党百年之际，影片《 》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止 年
月底，《长津湖》票房收入已超 亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影
片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《 》的有 人，观看了《长津湖》的有
人，观看了《革命者》的有 人，数据如图，则图中 ； ；
.
【答案】
【解析】由题意得： ，解得： .
故答案为： ； ； .
21．已知集合 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．【解析】（1）当 时， ，
又 ，
故 ，
．
（2） ，
当 时， ，解得 ，
当 时， 解得 ，
故 的取值范围是 ．
