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专题02 不等式（九大题型7 大易错题）
【题型1 不等式的性质】
1．（2024·山东聊城·三模）“a+b<−2，且ab>1”是“a<−1，且b<−1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a>b，则b+c
a+c > b
a
B．若a>b，c>d，则a−d >b−c
C．若a<b<0，则a
2<ab<b
2
D．若a>b，则
1
a−b > 1
a
3．（2024·广东茂名·模拟预测）已知a>0，b>0，则下面结论正确的是（ ）
A．若ab= 4，则a+b≤4
B．若a>b，则ac
2>bc
2
C．若a+2b=2，则2
a+ 4
b有最小值4
D．若a>b>m>0，则b
a > b+m
a+m
4．（2024·上海宝山·二模）已知a>b>0，则（ ）
A．a
2>b
2
B．2
a<2
b
C．a
1
2 <b
1
2
D．log 1
2
a＞log 1
2
b
5．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a，b，c，d满足：a>b>0>c>d，则下列不等式一
定正确的是（ ）
A．a+d >b+c
B．ad >bc
C．a+c>b+d
D．ac>bd
6．（2024·北京丰台·二模）若a,b∈R，且a>b，则（ ）
A．
1
a
2+1
<
1
b
2+1
B．a
2b>ab
2
C．a
2>ab>b
2
D．a> a+b
2
>b
7．（2024·四川成都·模拟预测）命题“|x + y|+|x−y|≤2”是“|x|≤1，且|y|≤1”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
1
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8．多选题（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d 为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等
式正确的有（ ）
A．c
2<cd
B．a−c<b−d
C．ac<bd
D．c
a −d
b >0
9．多选题（2024·湖北武汉·二模）下列说法正确的是（ ）
A．若ac
2>bc
2，则a>b
B．b
a + a
b
的最小值为2
C．∀a>b,m>0, b
a < b+m
a+m
D．√sin
2 x +1+
1
√sin
2 x +1
的最小值为2
10．多选题（2024·福建厦门·三模）若a<b<0，则（ ）
A．a
2>b
2
B．ab<b
2
C．2
a>2
b
D．a
b + 4 b
a ≥4
【题型2 大小比较】
11．（2024·湖北黄冈·二模）已知a,b,c ,d分别满足下列关系：
16
a=15,b= log1716,log 15
16
c = 17
16 ,d = tan 3
2，则a,b,c ,d的大小关系为（ ）
A．a<b<c<d
B．c<a<b<d
C．a<c<b<d
D．a<d <b<c
12．（2024·辽宁·一模）设a= 2
3 ，b=2−e
1
3 ，c =1−e
−2
3则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．b<c<a
D．a<c<b
13．（2024·云南昆明·模拟预测）设a= 1
6 ,b=ln5
10 ,c =ln6
12
，则（ ）
A．c<b<a
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
14．（2024·云南贵州·二模）已知a= ln(√2e),b=e+1
e
,c = ln5
5 +1，则a,b,c的大关系为
（ ）
A．c>a>b
B．b>a>c
C．a>b>c
D．b>c>a
【题型3 基本不等式求函数最值】
2
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15．（2024·宁夏·二模）直线ax +by −1=0过函数f ( x)= x +
1
x−1
图象的对称中心，则
4
a + 1
b
的最小值为（ ）
A．9
B．8
C．6
D．5
16．（2024·山西太原·三模）已知△ABC 中，A =120
∘， D是BC的中点，且 AD =1，
则△ABC 面积的最大值（ ）
A．√3
B．2√3
C．1
D．2
17.（2024·四川遂宁·模拟预测）在△ABC中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若⃗
AF = x⃗AB+2 y⃗AC (x>0, y >0)，则1
x + 2
y
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．9
18．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C1: x
2
m
2 + y
2
n
2 =1(m>n>0)与双曲线
C2: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)有共同的焦点F1, F2
，点P为两曲线的一个公共点，且
∠F1 P F2=60
∘，椭圆的离心率为e1
，双曲线的离心率为e2
，那么e1
2+e2
2最小为（ ）
A．2+√3
4
B．2+√3
2
C．3+2√2
4
D．3+2√2
2
19．（2024·湖南长沙·二模）已知 m>0 ，n>0，直线 y = 2
e x +m 与曲线
y =2ln x−n+ 4 相切，则 1
m + 1
n
的最小值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
20．（2024·安徽·模拟预测）已知m,n∈(0,+∞)，1
m +n= 4，则m+ 9
n
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
21．（2024·贵州黔东南·二模）已知正实数a，b满足e
2a−2+e
b=e
2−2a+e
−b，则a−1
2b
的最
大值为（ ）
3
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A．0
B．1
2
C．1
D．3
2
22．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若x>0，y >0，且x + y =1，则4
x + 1
y
的最小值为 ．
23．（2024·重庆·模拟预测）已知f (x)=2 x−2
x + ln x，若实数m，n 满足f (m)+ f(
1
n
2)=0，
则4 m+ 1
n
2的最小值为
24．（2024·江西赣州·二模）已知y > x>0，则
y
y −x −
4 x
2 x + y
的最小值为 .
25．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，⃗BD = 2
3⃗BC，P 是线段AD 上的动点
（与端点不重合），设⃗CP = x⃗CA + y⃗CB，则x + y
xy
的最小值是 .
26．（2024·广西河池·模拟预测）若实数a>1>b>0，且a
2+2b=b
2+2a，则
1
a−1 + 1
b
的最
小值为 .
27．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知lg x +lg y =2，则x + y的最小值为 .
【题型4 利用基本不等式求参数】
28．（2024·江西·模拟预测）已知平面向量⃗a=(2 λ
2+1, λ)，⃗b=(μ,1)，其中λ>0，若⃗a//⃗b，
则实数μ的取值范围是（ ）
A．[2√2,+∞)
B．[2,+ ∞)
C．[√2,+∞)
D．[1,+∞)
29．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合A ={x|√x ≤a}，B ={x | x
2−2 x −3≤0}，且A ⊆B，
则a的取值范围为（ ）
A．[0,1]
B．[0,√3]
C．(−∞,1]
D．(−∞,√3]
30．（2024·广西·模拟预测）已知a,b∈(−∞,0)，且a+ 4 b=ab−5，则ab的取值范围为
（ ）
A．[25,+ ∞)
B．[1,+ ∞)
C．(0,5]
D．(0,1]
【题型5 一元二次不等式求解】
4
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31．（2024·河南郑州·三模）已知集合A ={x|x
2−3 x−4≤0},B ={ y|y =ln(x
2+1)}，则
A ∩B =（ ）
A．[−1,4]
B．[0,1]
C．(0,4]
D．[0,4]
32．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知集合A ={x∈N | x
2<16}，B ={x| x−2≤0}，则
A ∩B =（ ）
A．{1,2}
B．{0,1,2}
C．{x∣−4< x ≤2}
D．{x∣0< x ≤2}
33．（2024·安徽马鞍山·三模）已知集合A ={x∣x
2−4 x>0},B ={x∣ln x>0}，则
(∁R A)∩B =（ ）
A．(0,4)
B．(0,4 ]
C．(1,4 ]
D．［1，4]
34．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知集合A = {x∣x +2>0}，B ={x ∣x
2−x −2<0}，则
A ∩B =（ ）
A．{x∣−2< x<1}B．{x∣−2< x<2} C．{x∣−1< x<1}
D．{x∣−1< x<2}
35．（2024·河北·模拟预测）已知集合A ={x∈N|x ≤5}，集合B ={x|x
2−4 x +3>0}，则
A ∩B =（ ）
A．{2}
B．{0,1,3,4,5}
C．{0,4,5}
D．{4,5}
【题型6 根据一元二次不等式解求参数】
36．（2024·陕西·二模）若2∈¿，则a 的取值范围为（ ）
A．(−3,−1)
B．[−3,−1]
C．(−∞,−3]∪[−1,+ ∞)
D．(−∞,−3)∪(−1,+∞)
37．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合P ={x||x +1|<2}，
Q ={x| x
2−(a+1)x +a<0}．若P∪Q = P，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−3,1)
B．[−3,1]
C．(1,3]
D．(−∞,1)
38．（2024·浙江·模拟预测）若不等式k x
2+(k −6) x +2>0的解为全体实数，则实数k的取
5
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值范围是（ ）
A．2≤k ≤18
B．−18<k <−2
C．2<k <18
D．0<k <2
39．（2024·上海·高考真题）已知x∈R ,则不等式x
2−2 x−3<0的解集为 ．
40．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合A ={x|x
2+mx ≤0}，B ={−1
3 ,m−1}
，且A ∩B有
4 个子集，则实数m的最小值是 .
41．（2024·辽宁·三模）若“∃x∈(0,+∞)，使x
2−ax + 4<0”是假命题，则实数a的取
值范围为 .
【题型7 不等式恒成立问题】
42．（2024·陕西榆林·三模）已知α ∈(0,2π)，若当x∈[0,1]时，关于x的不等式
(sinα +cosα +1) x
2−(2sinα +1) x +sinα >0恒成立，则α的取值范围为（ ）
A．(
π
12 , 5π
12 )
B．(
π
6 , 5π
6 )
C．(
π
6 ,π
3 )
D．(
π
3 , 5π
6 )
43．（2024·湖北·二模）已知等差数列{an}的前n 项和为Sn
，且Sn=n
2+m，n∈N
*，若对
于任意的a∈[0,1]，不等式an
n < x
2−(1+a) x−2a
2−a+2恒成立，则实数x 可能为
（ ）
A．−2
B．0
C．1
D．2
【题型8 基本不等式的其他应用】
44．（2024·北京延庆·一模）已知在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB =1，P是正方形
ABCD内的动点，PA ≥PC1，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（ ）
A．1
8
B．1
4
C．π
16
D．π
8
45．（2024·山东济南·三模）三棱锥S−ABC中，SA ⊥平面ABC，AB⊥BC．若该三棱
锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（ ）
A．9
2 √7
B．27
2 √3
C．18
D．36
6
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46．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆
规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案
的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四
边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足cosα = 1
3
，则这块四边形木板周长
的最大值为（ ）
A．10(√30+√15)
3
cm
B．10(√30−√15)
3
cm
C．10(√10+√5)
3
cm
D．10(√10−√5)
3
cm
47．（2020·上海浦东新·三模）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优
美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线C：( x
2+ y
2)
3=16 x
2 y
2为四叶玫瑰
线，下列结论正确的有（ ）
（1）方程( x
2+ y
2)
3=16 x
2 y
2( xy <0)，表示的曲线在第二和第四象限；
（2）曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2；
（3）曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π；
（4）曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点).
7
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A．（1）（2）
B．（1）（2）（3）
C．（1）（2）（4）
D．（1）（3）（4）
48．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形AOB，计划在空地
上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，
∠AOB =60°，OA =2.在方案1 中，若设OE = x，EF = y，则x，y满足的关系式为
，比较两种方案，沙坑面积最大值为 .
49．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在△ABC中，D 为BC 边的中点，且AD =√5．
(1)若△ABC的面积为2，cos∠ADC = √5
5
，求B；
(2)若A B
2+ A C
2=18，求△ABC的周长的最大值．
50．（2024·江西·模拟预测）△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且b 是a，c
的等比中项．
(1)求B 的最大值：
(2)若C 为钝角，求acosB+bcos A
bcosC +ccosB
的取值范围．
【题型9 不等式与线性规划综合】
51．（2024·陕西西安·模拟预测）若x，y 满足约束条件¿，则z =−2 x−y的最小值为
（ ）
A．0
B．-4
C．-5
D．-6
52．（2024·全国·模拟预测）在不等式组¿表示的平面区域内任取一点P(x , y)，则满足
8
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y ≥x−2的概率为（ ）
A．7
9
B．2
3
C．5
9
D．4
9
53．（2024·四川·模拟预测）若关于x , y的不等式组¿表示的平面区域是直角三角形区域，
则实数k =（ ）
A．−1
B．1
C．−1或0
D．0 或1
54．（2024·全国·模拟预测）已知x , y满足约束条件¿，则x
2+ y
2的最小值为（ ）
A．2
B．18
C．20
D．22
55．（2024·四川·模拟预测）若x，y满足约束条件¿，则z = x + 4 y的最大值为 ．
56．（2024·陕西·模拟预测）已知实数x , y满足约束条件¿，则由可行域围成区域的面积为
.
【易错点1 忽视字母的取值范围而致错】
1．（2024·北京东城·一模）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【易错点2 多次运用不等式性质而致错】
1．（2024·全国·模拟预测）已知实数
满足
，则
的取值范围是
．
2．（2024 高三·全国·专题练习）若实数x，y 满足1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，则xy5的取值范围是
．
【易错点3 忽视字不等式种高次项的系数】
1．（23-24 高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“
”为假命题，则
9
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实数m 的取值范围是 ．
2．（23-24 高三上·全国·阶段练习）对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
【易错点4 运用不等式基本性质求最值时，忽略不等式成立的三个条件】
1.（没有考虑等号能否取到）
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知全集
，集合
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（忽视一元二次不等式种两根大小）
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知集合
，集合
，若
，则
.
3.（没有考虑“一正”）
1．（2024 高三·天津·专题练习）已知正项等比数列
中，
，
，
成等差数列．若
数列
中存在两项
，
，使得
为它们的等比中项，则
的最小值为（ ）
A．1
B．3
C．6
D．9
10
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11
